Урок по теме "Квадратные уравнения"

ТЕМА УРОКА: квадратные уравнения.

ЦЕЛЬ УРОКА: систематизировать, обобщить и расширить знания и умения учащихся по теме; формировать вычислительные навыки, способствовать формированию у учащихся желания и потребности обобщения изучаемых фактов; развивать самостоятельность и творчество; прививать любовь к предмету.

ТИП УРОКА: обобщение и систематизация знаний

ФОРМА ПРОВЕДЕНИЯ: урок- соревнование

ОБОРУДОВАНИЕ: тест «Квадратные уравнения», карточки для самостоятельной работы; таблицы, опорный конспект

ЭПИГРАФ

Посредством уравнений, теорем Я уйму всяких разрешил проблем

ГОСЕР

ХОД УРОКА

I.      Организационный момент.

Слово учителя

В классе выбираем 2 команды «Дискриминант» и «Корень» и 2 группы болельщиков.

В каждой команде выбираем капитана. В каждой группе выбираем ведущего.

Слово ведущего.

Чтобы найти все множество корней,

Дискриминант ты вычислить сумей.

Нужно только очень постараться:

В квадрат минус 4ас Быстро мы тепер находим:

Минус в плюс-минус Д под корнем,

Делим на 2а - и будь таков!

Уравнения ответ готов!

II.      Разминка команд. Тест «Квадратные уравнения»

Каждый участник получает лист с вопросами теста.

ЗАДАНИЯ ТЕСТА
В-1

1.      Квадратным уравнением называется уравнение вида............ , где а, b, с- числа, а

.... , х - ....    

2.      Уравнение х = а, где a >0 , имеет корни: x =........ , x =....

3.      Уравнения ах = 0, где а0, называется........ квадратным уравнением.

4.      Уравнение ах+bх =0, где а =0, b =0 называется....... квадратным уравнением.

5.  Если ах+bх+с=0 квадратное уравнение (а0) , то b называют …… коэффициентом.

6. Корни квадратного уравнения ах+bх+с=0 вычисляют по формуле x=

7. Приведенное квадратное уравнение х+рх +g =0 совпадает с уравнением общего вида, в котором а =...., b=…, с =....

8. Если x и x— корни уравнения х+рх +g =0, то справедливы формулы x+ x =…

x* x=…..

В-II

1. Если ах+bх+с=0 квадратное уравнение, то a называют …… коэффициентом, c - …. членом.

2. Уравнение х=а, где а <0 не имеет ……

3. Уравнение вида ах +с =0, где аО, с0 называют ……… квадратным уравнением.

4. Корни квадратного уравнения ах +bх +с =0 вычисляют по формулам

            

5. Квадратное уравнение ах+bх+с=0  имеет два различных действительных корня, если

b-4ac….

6. Квадратное уравнение вида x+px+g=0 называется …..

7. Сумма корней приведеного квадратного уравнения равна............ коэффициенту,

взятому с .... знаком,  произведения корней равно......... члену.

8. Если таковы р, g, x , x, что x+ x= -р,  x* x= ….. , то x и x— корни уравнения.

После заполнения пропусков тексты собираются на проверку.

III. Блицтурнир.

I.       Определить вид уравнения. Какие из уравнений этой группы являются лишними?

Команда I	Команда II
А)   1. 3х-х=0	Б)   1. х-9х+18=0
2. х-9=0	2. 5х-8х-4=0
3. 3х-5х+2=0	3. х-х-6=0
4. 3х=0	4. х+4х+4=0

Ответы:

А) 3 - лишнее, так как это полное квадратное уравнение 1,2,4- неполные квадратные уравнения

Б) 2 - лишнее, так как это уравнение общего вида 1, 3, 4 - приведенные квадратные уравнения

2.      Не решая уравнения, найти корни

Команда I	Команда II
1)                  х (х+0,2)=0 2)                   (х-3)(х+9)=0 3)                   х-4х=0 4)                   3,7х=0 5)                   16х-1=0	1)                   (х-0,3)х=0 2)                  (х-4)(х+10)=0 3)                  16х-9=0 4)                  0,03х=0 5)                  х-5х=0

2. Какие из уравнений не имеют корней?

Команда I	Команда II
1.  25-х=0	1.  7х+4=0
2. (х-2)=0	2.  (х-2)+3=0
3. (х-1)+6=0	3.  х+8=0
4.  х-7=0	4.  (х-5)=0
5.  х+3=0	5.  х-3=0
6.  (-3х)+0,2=0	6.  (-5х)+0,4=0

IV.      Кто первый?

Задание командам.

1)     Найти дискриминант и определить число корней:

а). 4х+4х+1=0

б).  5х-22х-15=0

в). 2а=-3а+1

г). 6х=-3х-1

2)      Решите уравнения

а).  х-6х+8=0

б).  5х-8х-4=0

в). (х+3) =2х+6

г).

д). 3х(5х+3)=2х(6х+5)+2

V.         Конкурс болельщиков.

1 . Как можно решить приведенное квадратное уравнение?

2.      Сформулировать теорему Виета. Использование таблицы.

x+px+g=0       x+ x= -р       x* x= g

3.    Как используется теорема Виета при решении квадратного уравнения общего вида ах+bх+с=0, а0  Использование таблицы

ах+bх+с=0, а0  х+х+=0

ГИМН ТЕОРЕМЫ ВИЕТА

По праву достойна в стихах батъ воспета
О свойствах корней теорема Виета
Что лучше, скажи, постоянства такого:

Умножишь ты корни - и дробь уж готова?

В числителе с, в знаменателе а,

А сумма корней тоже дроби равна.

Хоть с минусом дробь, что за беда!

В числителе в, а в знаменателе а.

Назовите коэффициенты в каждом уравнении и найдите сумму коэффициентов.

Таблица 1.

1)   х-5х+1=0 2)  9х-6х+10=0 3)  х+ 2х - 2=0 4)  х-3х - 1=0 5) х+ х - 2=0 6) х+ 2х -3=0 7) х-3х+2=0 8) 5х-8х+3=0

1)   1 – 5 + 1=-3 2)  9-6+10=13 3)  1+ 2 - 2=1 4)  1-3 - 1=-3 5) 1+ 1 - 2=0 6) 1+ 2 -3=0 7) 1-3+2=0 8) 5-8+3=0

Закономерность (уравнение № 5 - 8)

1.     первый корень 1;

2.      второй корень с или

3.    сумма коэффициентов равна 0

 Итак, корни в уравнениях № 5-8 равны:

5)      х= 1, х = -2

6)      х= 1, х = -3

7)      х = 1,  х = 2

8)      х = 1,  х =

9)      Вывод. Если в уравнении аx+bx+с=0, а+b+с=0 то один из корней равен 1, а второй  ; если а-b+с =0, то х= -1, х = -

Вывешивается таблица:

аx+bx+с=0 а+b+с=0 х= 1, х = если a=1 то х= 1, х = с

аx+bx+с=0 а - b+с=0 х= -1, х = - если a=1 то х= 1, х = -с

Каждая команда и болельщики выполняют задания под девизом «Оперативно и быстро».

Задание. Найти корни.

Команда 1 х+23х - 24=0 2х+х - 3=0 -5х+4,4х + 0,6=0 х+5х + 4 =0 2х+5х + 3 =0

Ответы х= 1, х = -24 х= 1, х =- х= 1, х =-0,12 х= -1, х = -4 х= -1, х =-

Закономерность таблицы 2 (уравнения 1-4)

5х-х-6=0 х+3х+2=0 2х-3х - 5=0 х-4х - 5=0

a-b+c 5+1-6=0 1-3+2=0 2+3-5=0 1+4-5=0

1.       первый корень - 1                     

2.      второй корень - c, или  -  

3.      a-b+c=0

Итак, корни в равнения №1-№4

1)                  х= -1, х =

2)                  х= -1, х = -2

3)                  х= -1, х =

4)                  х= -1, х = 5

4.      Не решая уравнения х- 6х+5=0, найти:

1.     сумму корней....

2.      произведение корней.....

3.      квадрат суммы корней..

4.      удвоенное произведение....

5.

6. подобрать корни....

5. Найти сумму и произведение корней следующих уравнений (х+ х, х* х)

х+х-6=0

х- 9х+14=0

2х-5х+18=0

3х+15х+1=0

6. Составить приведенное квадратное уравнение, если известны его корни: х= -3, х = 1

х= -3, х =1, х+ х =-3+1=-2, p=-( х+ х)=2

х* х = g,  х* х = -3,  g=-3

x+px+g=0

x+2x-3=0

Подведение итогов.

VI.      Конкурс капитанов.

1. При каких значениях а можно представить в виде квадрата двучлена выражение?

А) х+ах+9

⁷                                                                                 

Б) двучлен 2а-1,6а равен трехчлену 1,8а+0,4а+5

СЛОВО УЧИТЕЛЯ.

Мы с вами решали квадратные уравнения различными способами: выделением квадрата двучлена (на первых уроках); по формуле корней; с помощью теоремы Виета - и каждый раз убеждались в том, что уравнение можно решить легче и быстрее. Сегодня мы вспомним еще один способ решения квадратных уравнений, который позволяет устно и быстро находить корни квадратного уравнения.

VII.      Конкурс «Экскурсия в историю»

История возникновения квадратных уравнений.

2.      Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне.

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени, еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.

Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. в Вавилоне.

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятия отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

3.      Квадратные уравнения в Индии.

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в 499г. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика Хвист. Бхаскары:

Обезьянок резвых стая,

Всласть поевши, развлекалась
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась
А 12 по лианам
Стали прыгать, повисая.

Сколько было обезьянок,

Ты скажи мне, в этой стае?

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знаком с двузначностью корней квадратных уравнений

4.      Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII в.в.

Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной 1202г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи.

Эта книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду х+bх=с было сформулировано в Европе лишь в 1544г. Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни.

Итальянские математики XVI в. учитывают, помимо положительных и отрицательные корни. Лишь в XVII в.благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых, способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

VIII.      Награждение победителей.

IX.            Домашнее задание

Выучить §20,22      

Решить № 1022, 1032