Урок по теме: "Логарифмы. Свойства логарифмов"

Злобова Людмила Викторовна
учитель математики МБОУ ВСШ

Тема: «Логарифм. Свойства логарифма».

Класс: 12 общеобразовательный.

Тип урока: изучение нового материала.

Цели урока:

1.1. Образовательные: введение понятия логарифма; основных свойствлогарифма; основного логарифмического тождества; формирование умений и навыков применять свойства логарифмов для преобразования логарифмических выражений; развитие математического мышления; умения    логически     и рационально мыслить;техники вычисления.

1.2. Воспитание познавательной активности; творческих способностей обучающихся; умения слушать и аргументировать свой ответ; уважения друг  к другу.  

1.3.Усиление практической направленности данной темы для качественной подготовки к экзамену, умение выделять главное, умение работать с Интернетом. 

2.1.Развивающие: развитие математического мышления; техники вычисления логарифмов; умение работать в парах; развитие навыков самоконтроля.

3.1.Воспитательные: воспитание познавательной активности;воспитание культуры общения;взаимопонимания.

Формы  проведения учебного занятия:

• Коллективная.

• Исследовательская.  

• Индивидуальная.

• В парах.

• Фронтальная.

Оборудование: компьютер, интерактивная доска, презентация «Логарифм. Свойства логарифма», теоритический и практический раздаточный материал.

Методы обучения: частично-поисковый, проблемный. 

Структура урока:

1. Организационный момент.

2. Сообщение темы, целей урока.

3. Проверка домашнего задания (по свойствам степеней).

4. Этап исследования: введение новых знаний

• фронтальная работа с тренировочными упражнениями;

• индивидуальная работа;

• закрепление: работа в парах.

5. Подведение итога урока. Рефлексия.

6. Домашнее задание.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.

2. Сообщение темы, целей урока.

3. Проверка домашнего задания(по свойствам степеней).

4. Этап исследования.

4.1.Определение логарифма_.

1.Представим число 2 при помощи различных математических действий:

_{6:3=4-2=2*1=1+1=2}¹_=2.

_{Возможен ли другой вариант получения числа 2?}

_{Учитель. Рассмотрим следующую запись:}

log₆36= log₅25= log₄16= log₇49=2.

Обучающиеся. Заметим:

6²=36; 5²=25; 4²=16; 7²=49.

_{Учитель. Рассмотрим ещё одну запись:}

log_1/24= log₂1/4= log_1/39= log₅1/25=-2.

Обучающиеся:

(1/2)^-2₌ 4; (2)^-2=1/4; (1/3)^-2=9; (5)^-2=1/25.

_{Учитель. Рассмотрим ещё одну запись:}

log₄2= log₃₆6= log₈₁9= log₂₅5=1/2=0,5.

Обучающиеся:

4^1/2₌ 2; 36^1/2=6; 81^1/2=9; 25^1/2=5.

_{Учитель. Рассмотрим ещё одну подобную запись и постараемся сделать определенные выводы:}log₄₂1= log₇₆1= log₈₃1= log₂₉1=0; то есть

42⁰₌1; 76⁰=1; 83⁰=1; 29⁰=1.

Попробуйте составить слово из букв:

БУКВЫ

a^x₌ b,

гдеа> 0,

а= 1.

2^х =16,

2^х=2⁴,

X=4.

₂^х_=7?

х₌ log₂7

_{Значит, a}^log_a^b_=b;

гдеа> 0, а= 1,_b> 0.

А

log₆36=2

4

6²=36

_{Логарифмом числа b по основаниюа называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить b (основное логарифмическое тождество).}

И

log₅25=2

6

5²=25

О

log₂₉1=0

2

29⁰=1

Ф

log_1/24=-2

7

(1/2)^-2₌ 2²₌ 4

Г

log₄₂1=0

3

42⁰₌1

Р

log₄2=1/2=0.5

5

4^0,5₌(2²)^0,5=2

М

log₅(1/25)=-2

8

(5)^-2=(1/5)²=1/25

Л

log₇49=2

1

7²=49

В каждом представленном случае мы использовали новую запись, включающую себя логарифм (log) , которая читается так:

log_аb

- логарифм числа b по основанию а.

log_еb = lnb

_{В зависимости от основания а логарифм может быть} записан следующим образом:

- натуральный логарифмLчисла b по основанию е

(e=2,7182818…, e> 0).

log₁₀b=lgb

- десятичный логарифм

числа b по основанию 10.

Краткая информация из истории логарифмов о происхождении терминов и обозначений (учитель).

1. Замените данное равенство логарифмом:

а) 127⁰=1; log₁₂₇1=0

б) 2⁴=16; log₂16=4

в) (81)^3/4=27; log₈₁27=3/4

3.Замените число 3 любыми пятью логарифмами по любому основанию (пять учащихся у доски показывают свой вариант с доказательством).

Например:

log₂8= log₃27= log₄81= lg1000=lne³=3.

4.Замените число -1 любыми пятью логарифмами(пять учащихся у доски показывают свой вариант с доказательством).

Например:

log₂(1/2)= log_1/33= log₁₄(1/14) = lg0,1=ln(1/e)=-1.

5. Проверьте справедливость равенств

(поочередно обучающиеся решают у доски с пояснением):

log_√39=4, (√3)⁴=(3^1/2)⁴=3²=9,

lg0,001=-3, 10^-3=1/(10)³=1/1000=0,001,

ln(1/e)⁵=-5, (e)^-5=(1/e)⁵.

6. Найдите число b (обучающиеся решают самостоятельно в тетрадях, затем сверяют с доской):

a) log_1/8 b= -1, b= (1/8)^-1=(8/1)¹=8,

б) log√6 b= 2, b=(√6)²=6,

в) lg b = 4,b=10⁴=10000,

г) lnb=7, b=(е)⁷=е⁷.

7. Запишите число 3, -2, 0 в виде логарифма с основаниема=4 (работа в парах).

a) log₄b= 3, b= (4)³=64,

б) log₄ b= -2, b=(4)^-2=(1/4)²=1/16,

в) lоg₄b = 0, b=4⁰=1.

8. Найдите число а, если:

a) log_а 125= 3, (а)³=125,(а)³=5³, а=5;

б) log_а(1/27)=-3, (а)^-3=1/27, (а)^-3=(1/3)³, (а)^-3=3^-3, а= -3;

в) lоg_а25 = -2, (а)^-2=25, (а)^-2=5², (а)^-2=(1/5)^-2,а=1/5, а=0,2.

4.2. Основные свойства логарифмов.

log_а1= 0

1)

,так как а⁰=1.

Например:

1.

log₇1= 0,

7⁰=1,

2.

log₁₅1= 0,

15⁰=1,

3.

log₉₉1= 0,

99⁰=1.

log_aa=1

2) , так как а¹=а.

Например:

1.

log₇7= 1,

7¹=7,

2.

log₁₅15= 1,

15¹=15

3.

log₉₉99= 1

99¹=99

log_ax+ log_ay = log_a(x*y)

3)

Например:

1.

log₂16 + log₂4= log₂(16*4) = log₂64= 6, так как 2⁶=64 .

2.

log₂16=4, т.к. 2⁴=16

log₂4=2, т.к. 2²=4

log₂16 + log₂4=4+2=6.

log_ax- log_ay = log_a(x/y)

4)

Например:

1.

log₂16 – log₂4= log₂(16/4) = log₂4=2, так как 2²=4 .

2.

log₂16=4, т.к. 2⁴=16

log₂4=2, т.к. 2²=4

log₂16 – log₂4=4-2=2.

log_ax^p₌plog_ax

5)

Например:

1.

log₂ 16= log₂ (2⁴)= 4* log₂2=4*1=4, таккакlog_аа= log₂2=1

2.

log₃ 3⁵= 5* log₃ 3= 5*1=5.

3.

2* log₂ √8=log₂ (√8)²=log₂8=3, так как 2³=8.

4.

2*log₂ √8= 2*log₂ (8)^1/2= 2* (½)log₂8=2*(½)*3=3, так как √8=(8)^1/2.

log_ax^p₌log_(a)^1/px

6)

Например:

1.

1=log₁₆ 16= log₁₆ (2⁴)= log₍₁₆₎^1/42=log₍₂⁴₎^1/42=log₂2=1, таккакlog_аа= =log₂ 2=1, (а^m)ⁿ=a^mn.

2.

log₈₁ 3²= log₍₈₁₎^1/2 3= log₉3=1/2=0,5, таккак (81)^1/2= √81=9; (9)^1/2= √9=3.

log_(a)^px=(1/p)*log_ax

7)

Например:

1.

log₆₂₅5= log₍₅₎⁴5=(1/4)* log₅5=0.25*1=0,25, так как 625=5⁴, log_аа= =log₅5=1.

2.

log₆₄8= log₍₈₎² 8=(1/2)* log₈8=0.5*1=0,5, 64=8², log_аа= log₈5=1.

log_(a)^px=log_ax^1/p

8)

Например:

1.

1= log₆₂₅625=log₍₅₎⁴5⁴= log₅(5⁴)^1/4= log₅5=1, т.к. (а^m)ⁿ=a^mn , log_аа=1.

2.

log₆₂₅625=log₍₅₎⁴5⁴=4*(1/4) log₅5= 1*1=1, т.к. log_аа= log₅5=1.

log_ax=log_mx/log_ma

9) -формула перехода от

одного основания логарифма

к другому основанию.

Например:

1.

log₂ 16 =log₄ 16/ log₄ 4 =2/1, так как 4²=16, log_аа= log₄ 4 =1.

2.

log₂25/ log₂5 = log₅25= 2, т.к. 5²=25.

log_ax=1/log_xa

10)

Например:

1.

log₁₆2=1/log₂ 16= ¼=0,25, так как2⁴=16.

2.

1/log₁₀₀₀10= log₁₀1000=3, так как10³=1000.

log_ax*log_xa=1

11)

Например:

1.

log₁₆2*log₂ 16= 1.

2.

log₄₉5*log₅ 49=1.

log_ax*log_xb=log_ab

12)

Например:

1.

log₁₆2*log₂ 256= log₁₆ 256=2, так как16²=256.

2.

log₁₆2*log₂ 256=(1/4)*(8)=2, log₁₆2=1/4, log₂ 256=8.

_a^loga^b_=b

13) - основное логарифмическое

тождество

Например:

1.

7^log₇ ²=2, 17^log₁₇²⁸=28, e^lne= e^log_e^e=eилиe^lne=e¹=e,lne=1.

2.

49^log₇ ²=7^2log₇ ²=7^log₇⁴=4, так как 2²=4.

3.

49^log₇ ²=7^2log₇ ² =(7^log₇ ²)²=2²=4, так как (а^m)ⁿ=a^mn.

4.

7^log₄₉²⁵=7^{(1/2)log7 25}=7^log₇⁵=5, так как 25^1/2=5.

_a^logm^b_{= b}^logm^a

14)

Например:

1.

7^log₅ ²=2^log₅⁷, 17^log₁₃²⁸=28 ^log₁₃¹⁷, e^lgП=П^lgе.

5. Рефлексия. Что нужно знать, чтобы вычислить логарифм?

Что нужно знать, чтобы выполнить действия с логарифмами? С какими еще свойствами неразрывно связаны свойства логарифмов?Так зачем нужны логарифмы?

6. Домашняя работа.

1. Выучить определение логарифма и свойства логарифмов.

2. На каждое свойство придумать свой пример(можно использовать Интернет и открытый банк заданий ЕГЭ-2016) и занести его в карточку для парной работы на следующий урок.

3. Само решение оформить в тетради.

4. Доклад или презентация «Изобретение логарифмов» (2 -3 человека по желанию).