Урок по теме "Логарифмическая функция, ее свойства и график"

Бывалина Л.Л., учитель математики МБОУ СОШ с.Киселевка Ульчского района Хабаровского края

Алгебра 10 класс

Тема урока: «Логарифмическая функция, её свойства и график».

Тип урока:  изучение нового материала.

Цели урока:

•         сформировать представление о логарифмической функции, ее основных свойствах;

•         сформировать умение выполнять построение графика логарифмической функции;

•         содействовать развитию умений выявлять свойства логарифмической функции по графику;

•         развитие навыков работы с текстом, умения анализировать информацию, способность ее систематизировать, оценивать, использовать;

•         развитие умений работать в парах, микрогруппах (навыки общения, диалога, принятие совместного решения)

Используемая технология: технология развития критического мышления, технология работы в сотрудничестве

Используемые приемы: верные, неверные утверждения, ИНСЕРТ, кластер, синквейн

Оборудование: презентация PowerPoint, интерактивная доска, раздаточный материал (карточки, текстовый материал, таблицы), листы бумаги в клетку,

Ход урока:

Стадия вызова:

Вступление учителя. Мы работаем над освоением темы «Логарифмы». Что на данный момент мы знаем и умеем?

Ответы учащихся.

Знаем: определение, свойства логарифма, основное логарифмическое тождество, формулы перехода к новому основанию, области применения логарифмов.

Умеем: вычислять логарифмы, решать простейшие логарифмические уравнения, производить преобразования логарифмов.

С каким понятием тесно связано понятие логарифма? (с понятием степени, т.к. логарифм – показатель степени)

Задание учащимся. Используя понятие логарифма, заполните две любые таблицы при

а > 1 и при 0 < a < 1(Приложение №1)

х				1	2	4	8	16		х				1	2	4	8	16
	-3	-2	-1	0	1	2	3	4			3	2	1	0	-1	-2	-3	-4

х			1	3	9		х			1	3	9
	-2	-1	0	1	2			2	1	0	-1	-2

Проверка работы групп.

Что представляют собой представленные выражения? (показательные уравнения, показательные функции)

,      ,             ,            

Задание учащимся. Решите показательные уравнения с помощью выражения переменной х через переменную у.

В результате этой работы получаются формулы:

 ,    ,  ,      

В полученных выражениях поменяем местами х и у. Что получилось у нас?

 ,    ,  ,      

Как бы вы назвали эти функции? (логарифмические, так как переменная стоит под знаком логарифма). Как записать эту функцию в общем виде? .

Тема нашего урока «Логарифмическая функция, её свойства и график».

Логарифмическая функция – это функция вида   , где а – заданное число, а>0, а≠1.

Наша задача – научиться строить и исследовать графики логарифмических функций, применять их свойства.

На столах у вас лежат карточки с вопросами. Все они начинаются со слов «Верите ли вы, что…»

Ответ на вопрос может быть только «да» или «нет». Если «да», то справа от вопроса в первом столбце поставьте знак «+»,  если «нет», то знак «-». Если сомневаетесь - поставьте знак «?».

Работайте в парах. Время работы 3 минуты.  (Приложение №2)

№ п/п	Вопросы:	А	Б	В
Верите ли вы, что…
1.	Ось Оу является вертикальной асимптотой графика логарифмической функции.			+
2.	Показательная и логарифмическая функции взаимно обратные функции			+
3.	Графики показательной у=ах и логарифмической функций симметричны относительно прямой у = х.			+
4.	Область определения логарифмической функции – вся числовая прямая х (-∞, +∞)			-
5.	Область значений логарифмической функции – промежуток у (0, +∞)			-
6.	Монотонность логарифмической функции зависит от основания логарифма			+
7.	Не каждый график логарифмической функции проходит через точку с координатами (1; 0).			-
8.	Логарифмическая кривая это та же экспонента, только по-другому расположенная в координатной плоскости.			+
9.	Выпуклость логарифмической функции не зависит от основания логарифма.			-
10.	Логарифмическая функция не является ни чётной, ни нечётной.			+
11.	Логарифмическая функция имеет наибольшее значение и не имеет наименьшего значения при а > 1 и наоборот при 0 < a < 1			-

После окончания работы учитель предлагает поделиться своим мнением с классом (2 мин).

Заслушав ответы учащихся, заполняется первый столбец сводной таблицы на доске.

Стадия осмысления содержания (10 мин).

Подводя итоги работы с вопросами таблицы, учитель готовит учеников к мысли, что, отвечая на вопросы, мы пока не знаем, правы мы или нет.

Задание группам. Ответы на вопросы можно найти, изучив текст §4 стр.240-242. Но предлагаю не просто читать текст, а выбрать одну из четырёх ранее полученных функций:,, , , построить её график и выявить по графику свойства логарифмической функции.  Каждый член группы это делает в тетради. А затем на большом листе в клетку строят график функции. После завершения работы представитель каждой из групп выступает с защитой своей работы.

Задание группам. Обобщите свойства функции для  а > 1 и  0 < a < 1 (Приложение №3)

Свойства функции у = log_a x при a > 1.

1)         область определения:  х (0; +∞);

2)         множество значений: у (-∞, +∞);

3)      возрастает на (0; +∞ );

4)      не является ни четной, ни нечетной;

5)      не ограничена сверху, не ограничена снизу (неограниченная);

6)      не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

7)      непрерывна;

8)      выпукла вверх;

9)      у>0 при х>1, у<0 при 0<х<1.

Свойства функции  у = log_a x ,  при  0 < a < 1.

1)   область определения:  х (0; +∞);

2)   множество значений: у (-∞, +∞);

3)      убывает на (0; +∞ );

4)      не является ни четной, ни нечетной;

5)      не ограничена сверху, не ограничена снизу (неограниченная);

6)      нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

7)      непрерывна;

8)      выпукла вниз;

9)      у<0 при х>1, у>0 при 0<х<1.

 

Ось Оу является вертикальной асимптотой графика логарифмической функции и в случае, когда a>1, и в случае, когда 0<a<1.

График функции  у = log_a x проходит через точку с координатами (1;0)

Задание группам. Докажите, что показательная и логарифмическая функции взаимно обратны.

Ученики в одной системе координат изображают график логарифмической и показательной функции

Рассмотрим одновременно две функции: показательную у = а^х и логарифмическую у = log_a х.

На рис.2 схематически изображены графики функций у = а^x и у = log_a х в случае, когда a>1.

На рис.3 схематически изображены графики функций у = а^x и у = log_a х в случае, когда 0 < a < 1.

	рис.3.

рис.2.

Справедливы следующие утверждения.

•         График функции у = log_a х симметричен графику функции у = а^x относительно прямой у = х.

•         Множеством значения функции у = а^x  является множество у>0 , а областью определения функции у = log_a х является множество х>0.

•         Ось Ох является горизонтальной асимптотой графика функции у = а^x  , а ось Оу является вертикальной асимптотой графика функции у = log_a х.

•         Функция у = а^x  возрастает при а>1 и функция у = log_a х также возрастает при а>1. Функция у = а^x  убывает при 0<а<1 и функция у = log_a х также убывает при 0<а<1

          Поэтому показательная у = а^x  и логарифмическая у = log_a х функции взаимно обратны.

            График функции у = log_aх называют логарифмической кривой, хотя на самом деле нового названия можно было не придумывать. Ведь это та же экспонента, что служит графиком показательной функции, только по-другому расположенная на координатной плоскости.

      Стадия рефлексии. Предварительное подведение итогов.

            Вернемся к вопросам, рассмотренным в начале урока, и обсудим полученные результаты. Посмотрим, может быть, наше мнение после работы изменилось.

            Учащиеся в группах сопоставляют свои предположения с информацией, полученной в ходе работы с учебником, построения графиков функций и описаний их свойств, вносят в таблицу изменения, делятся мыслями с классом, обсуждают ответы на каждый вопрос.

            Стадия вызова. Как вы думаете, в каких случаях, при выполнении каких заданий можно применить свойства логарифмической функции?

            Предполагаемые ответы учащихся: решения логарифмических уравнений, неравенств, сравнения числовых выражений, содержащих логарифмы, построения, преобразования и исследования более сложных логарифмических функций.

            Стадия осмысления содержания.

Работа на распознавание графиков логарифмических функций, нахождение области определения, определение монотонности функций. (Приложение №4)

1. Найдите область определения функции:

1) у= log_0,3 х    2)  у= log₂ (х-1)    3) у= log₃ (3-х)

а)      (0; +∞)    б) (1;+∞)  в) (-∞; 3)   г) (0;1]

2. При каких значениях х имеет смысл функция:    1) у = log₃ х²    2) у = log₅ (-х)  3) у = lg │х│ 

а) х≠0   б) х>0   в)  x<0

3. Какие из перечисленных функций являются возрастающими?

а) у=log₅ х    б)                  в) у= log_π х   г)

4. Укажите рисунок, на котором изображен график функции

           а)                           б)                    в)                       г)

5. Какие их точек А,  В,  С(5;-1) принадлежат графику функции

6. Сравните числа:

а)                                         б)

7. Установите знак выражения:

 

а)                      б)

Ответы.

1	2	3	4	5	6	7
1)а, 2)б, 3)в	1)а, 2)в, 3)а	а, в	в	В, С	а)<  б) >	а)<0  б) <0

            Чтобы расширить знания по изучаемому вопросу, обучающимся предлагается текст «Применение логарифмической функции в природе и технике». (Приложение №5) Используем технологический прием «Кластер» для сохранения интереса к теме.

            «Находит ли эта функция применение в окружающем нас мире?», ответим на этот вопрос после работы над текстом о логарифмической спирали.

                Составление кластера «Применение логарифмической функции». Ученики работают в группах, составляя кластеры. Затем происходит защита кластеров, обсуждение их.

Пример кластера.

 

Рефлексия

·         О чем вы не имели представления до сегодняшнего урока, и что теперь вам стало ясно?

·         Что нового вы узнали о логарифмической функции и ее приложениях?

·         С какими трудностями вы столкнулись при выполнении заданий?

·         Выделите тот вопрос, который для вас оказался менее понятным.

·         Какая информация вас заинтересовала?

·         Составьте синквейн «логарифмическая функция»

·         Оцените работу своей группы (Приложение №6 «Лист оценки работы группы»)

Синквейн.

1.      Логарифмическая функция

2.      Неограниченная, монотонная

3.      Исследовать, сравнивать, решать неравенства

4.      Свойства зависят от величины основания логарифмической функции

5.      Экспонента

Домашнее задание: § 4 стр.240-243, № 69-75 (четные)

Литература:

1.      Азевич А.И. Двадцать уроков гармонии: Гуманитарно-математический курс. - М. : Школа-Пресс,1998.-160 с.: ил. (Библиотека журнала «Математика в школе». Вып. 7.)

2.      Заир.Бек С.И. Развитие критического мышления на уроке: пособие для учителей общеобразоват. учреждений. – М. Просвещение, 2011. – 223 с.

3.      Колягин Ю.М. Алгебра и начала анализа. 10 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый и профильный уровни. – М .: Просвещение, 2010.

4.      Корчагин В.В. ЕГЭ-2009. Математика. Тематические тренировочные задания. – М.: Эксмо, 2009.

5.      ЕГЭ-2008. Математика. Тематические тренировочные задания/ Корешкова Т.А. и др.. – М.: Эксмо, 2008