Урок по теме "Нестандартные методы решения уравнений", 11 класс

Конспект урока алгебры и начала анализа в 11 классе.

Тема: Нестандартные методы решения уравнений.

Цели урока: (Слайд № 2)

     - обучающие: познакомить с основными способами решения нестандартных уравнений; разобрать решения заданий повышенного и высокого уровня по указанной теме; 

    - развивающие: развивать у учащихся умения анализа условия задачи перед выбором способа ее решения; развивать навыки исследовательской деятельности, синтеза, обобщения; учить видеть задачу целиком, логически мыслить при переходе от частного к общему;

     - воспитывающие: воспитывать у учащихся уверенность в себе.

Ход урока:

I.                   Организационный момент (сообщить учащимся тему урока,  поставить перед ними задачи урока)

II.               Активизация знаний учащихся.

Устная работа:

1.Укажите множество значений функций (Слайд №4)

1.     y=x²+1

2.     y=cos x

3.     y=|x+7|

4.     y=|x|+7

5.     y=sin x

2.Укажите множество значений функции  y=ax²+bx+c.

III. Изучение нового материала.

1)    Использование неотрицательности функции (Слайд №5)

Пусть левая часть уравнения      F(x)=0     (1)   есть сумма нескольких функций F(x)=f₁(x)+f₂(x)+…+f_n(x).             (2)

Каждая из которых неотрицательна для любого x из области существования.

Тогда уравнение (1) равносильно системе уравнений

Пример 1: Решить уравнение (Слайд № 6)

 

Решение:  Перепишем уравнение в виде    

Это равносильно системе

Первое уравнение этой системы имеет единственное решение  х=0, которое не удовлетворяет второму уравнению системы. Следовательно, система решений не имеет, а значит, и равносильное ей уравнение не имеет решение.

Ответ: Нет решений

Пример 2:  Решить уравнение (Слайд № 7)

 

Решение: Перепишем уравнение в виде .

Это уравнение равносильно системе уравнений

.

Первое уравнение системы имеет единственное решение х=3, которое является также решением второго уравнения системы. Следовательно, система, а значит, и равносильное ей уравнение имеют единственное решение х=3.

Ответ:  3

2) Использование ограниченности функции. (Слайд № 8)

Пусть множество М есть общая часть (пересечение) областей существования функций f(x) и g(x) и пусть для любого х из множества М справедливы неравенства f(x) ³ A и g(x) £ A, А – некоторое число. Тогда уравнение f(x)=g(x) равносильно системе уравнений .

Пример 3:  Решить уравнение (Слайд № 9)

Решение: Обе части уравнения определены для всех х. Перепишем уравнение в виде

Для любого х справедливы неравенства

Следовательно, уравнение равносильно системе уравнений

Система не имеет решений. Следовательно, и равносильное ей уравнение не имеет решение.

Ответ:   Нет решений

Пример 4:  Решить уравнение (Слайд № 10)

                          

Решение:

Решим уравнение методом оценки, так как квадратные трехчлены, входящие в уравнение не раскладываются на линейные множители.

 

,

Тогда уравнение равносильно системе ,  

Решим второе уравнение системы х = 1 и  проверим является ли это число корнем первого уравнения.

Проверка:

Ответ: 1

3)    Использование числовых неравенств(Слайд № 11)

Иногда применение того или иного числового неравенства к одной из частей уравнения позволяет заменить его равносильной ему системой уравнений.

Часто применяется неравенство между средним арифметическим и среднем геометрическим:

                                                                                                (1)

(причем равенство здесь возможно лишь при a=b)

 

И его следствие

                                                                                                 (2)

(причем равенство выполняется только при a=1)

Пример 5:  Решить уравнение  (Слайд №12)

 

Решение:   Обе части уравнения определены для всех x.  Для любого x, применяя неравенство (1), получаем, что справедливо неравенство

 

Для любого x справедливо неравенство

Уравнение превращается в верное равенство лишь для тех x, для которых обе части уравнения равны 2, т.е. для x, удовлетворяющих системе уравнений

 

Первое уравнение системы имеет единственное решение  x=0, которое

удовлетворяет и второму уравнению этой же системы. Поэтому система, а значит, и равносильное ей уравнение имеют единственное решение х=0.

Ответ: 0

 4) Использование свойств синуса и косинуса (Слайд № 13)

Решение большого количества тригонометрических уравнений может быть сведено к решению систем уравнений. Примерами таких уравнений могут служить следующие:

где , A и B – данные действительные числа, n и m – данные натуральные числа. При решении таких уравнений используется следующее свойство синуса: если для некоторого числа х₀ справедливо строгое неравенство  , то такое число х₀ не может быть корнем ни одного из уравнений.

Аналогично, при решении уравнений

 

используется свойство косинуса: если для некоторого числа х₀ справедливо строгое неравенство , то такое число х₀ не может быть корнем ни одного из этих уравнений.

Пример 6:    Решить уравнение (Слайд №14, №15)

Решение:     Если  x₀ -  решение уравнения, то либо sin x₀=1, либо sin х₀= - 1.

Действительно, если бы |sin x₀|<1, то из уравнения следовало  бы, что

 |cos 4x₀|>1, что, естественно, невозможно.

Но если sin x₀=1, то из уравнения следует, что cos 4x₀=1,  если же sin x₀= - 1, то cos 4x₀= -1.  Следовательно, любое решение уравнения является решением совокупности двух систем уравнений.

 

Любое решение системы (1) и любое решение системы (2) есть решение уравнения. Следовательно, уравнение равносильно совокупности систем уравнений (1) и (2). Решим системы.

Первое уравнение системы (1) имеет решения

Все они удовлетворяют второму уравнению этой системы, т.е. являются решениями системы (1).

Первое уравнение системы (2) имеет решения

Ни одно из этих чисел не удовлетворяет второму уравнению этой системы. Поэтому система (2) не имеет решений.

Итак, решения исходного уравнения совпадает с решениями системы (1).

Ответ:

III.             Закрепление изученного материала  (Слайд № 16)

Решить уравнения:  1)

                                   2)

                                   3)

                                   4)

IV.            Подведение итогов урока

Домашнее задание (Слайд № 17)

1)    Решить уравнение

2)    Найти нули функции

3)    Решить уравнение

• 1 слайд

  Нестандартные методы решения уравнений
  Макеева Оксана Вячеславовна
  учитель математики
  ГБОУ СОШ № 621 Колпинского района
  Санкт - Петербурга
  
  
  

• 2 слайд

  Цели и задачи:
  Познакомить учащихся с основными способами решения нестандартных уравнений;
  развивать у учащихся умения анализа условия задачи перед выбором способа ее решения;
  развивать навыки исследовательской деятельности, синтеза, обобщения.
  

• 3 слайд

  Содержание
  Использование неотрицательности функции
  Использование ограниченности функций
  Использование числовых неравенств
  Использование свойств синуса и косинуса
  

• 4 слайд

  Устная работа
  1.Найдите множество значений функций:
  
  
  
  
  
  
  
  2. Укажите множество значений функции
  
  

• 5 слайд

  Использование неотрицательности функции
  Пусть левая часть уравнения
  (1)
  есть сумма нескольких функций
  (2)
  Каждая из которых неотрицательна для любого x из области существования.
  Тогда уравнение (1)
  равносильно системе
  уравнений
  

• 6 слайд

  Пример 1. Решить уравнение
  Решение
  Ответ: нет решений
  

• 7 слайд

  Пример 2: Решить уравнение
  Решение
  Ответ: x=3
  

• 8 слайд

  Использование ограниченности функции
  Пусть множество М общая часть(пересечение) областей существования функций f(x) и g(x) и пусть для любого x из множества М справедливы неравенства f(x)A и g(x)A, где А – некоторое число.
  Тогда уравнение f(x)=g(x) равносильно системе уравнений
  

• 9 слайд

  Пример 3: Решить уравнение
  Решение:
  Ответ: нет решений
  

• 10 слайд

  Пример 4: Решить уравнение
  Решение:
  Решим уравнение методом оценки, так как квадратные трехчлены, входящие в уравнение не раскладываются на линейные множители.
  Тогда уравнение равносильно системе
  ,
  Решение второго уравнения системы есть х=1. Проверка показывает,
  что это число является и решением первого уравнения системы.
  Следовательно, х=1 является решением исходного уравнения
  
  Ответ: х=1
  

• 11 слайд

  Использование числовых неравенств
  Иногда применение того или иного числового неравенства к одной из частей уравнения позволяет заменить его равносильной ему системой уравнений.
  Часто применяется неравенство между средним арифметическим и среднем геометрическим:
  
  (1)
  
  (причем равенство здесь возможно лишь при a=b)
  И его следствие
  (2)
  
  (причем равенство выполняется только при a=1)
  

• 12 слайд

  Пример 5: Решить уравнение
  Решение:
  Обе части уравнения определены для всех x.
  Для любого x, применяя неравенство (1), получаем,
  что справедливо неравенство
  Для любого x справедливо
  неравенство
  Уравнение превращается в верное равенство лишь для тех x, для
  которых обе части уравнения равны 2, т.е. для x, удовлетворяющих
  системе уравнений
  Первое уравнение системы имеет единственное решение x=0, которое
  удовлетворяет и второму уравнению.
  Ответ: x=0
  

• 13 слайд

  Использование свойств синуса и косинуса
  Решение уравнений вида
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  где А и В – данные отличные от нуля, m и n – данные натуральные числа, может быть сведено к решению систем уравнений, если использовать ограниченность синуса и косинуса. Для решения таких уравнений применяют способ «рассуждений с числовыми значениями».
  

• 14 слайд

  Пример 6: Решить уравнение
  Решение:
  Если x - решение уравнения, то либо sin x=1, либо sin х= - 1.
  Действительно, если бы |sin x|1, то из уравнения следовало бы, что |cos 4x|>1, что, естественно, невозможно.
  Но если sin x=1, то из уравнения следует, что cos 4x=1,
  если же sin x= - 1, то cos 4x= -1.
  Следовательно, любое решение уравнения является
  решением совокупности двух
  систем уравнений.
  
  

• 15 слайд

  Решим эти системы.
  Первое уравнение системы (1) имеет решения
  
  Все они удовлетворяют второму уравнению этой системы,
  т.е. являются решениями системы (1).
  Первое уравнение системы (2) имеет решения
  Ни одно из этих чисел не удовлетворяет второму уравнению
  этой системы. Поэтому система (2) не имеет решений.
  Итак, решения исходного уравнения совпадает
  с решениями системы (1).
  Ответ:
  

• 16 слайд

  Решить уравнения:
  

• 17 слайд

  Домашнее задание
  Решить уравнения:
  
  
  
  
  Найти нули функции