Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок по теме "Нестандартные методы решения уравнений", 11 класс

Урок по теме "Нестандартные методы решения уравнений", 11 класс


  • Математика

Название документа Конспект урока алгебры и начала анализа в 11 классе.doc

Поделитесь материалом с коллегами:

Конспект урока алгебры и начала анализа в 11 классе.


Тема: Нестандартные методы решения уравнений.


Цели урока: (Слайд № 2)

- обучающие: познакомить с основными способами решения нестандартных уравнений; разобрать решения заданий повышенного и высокого уровня по указанной теме;

- развивающие: развивать у учащихся умения анализа условия задачи перед выбором способа ее решения; развивать навыки исследовательской деятельности, синтеза, обобщения; учить видеть задачу целиком, логически мыслить при переходе от частного к общему;

- воспитывающие: воспитывать у учащихся уверенность в себе.


Ход урока:

  1. Организационный момент (сообщить учащимся тему урока, поставить перед ними задачи урока)

  2. Активизация знаний учащихся.

Устная работа:

1.Укажите множество значений функций (Слайд №4)

          1. y=x2+1

          2. y=cos x

          3. y=|x+7|

          4. y=|x|+7

          5. y=sin x

2.Укажите множество значений функции y=ax2+bx+c.

III. Изучение нового материала.


  1. Использование неотрицательности функции (Слайд №5)


Пусть левая часть уравнения F(x)=0 (1) есть сумма нескольких функций F(x)=f1(x)+f2(x)+…+fn(x). (2)

Каждая из которых неотрицательна для любого x из области существования.

Тогда уравнение (1) равносильно системе уравнений hello_html_4eeb438f.gif

Пример 1: Решить уравнение (Слайд № 6)

hello_html_2f489295.gif


Решение: Перепишем уравнение в виде hello_html_5b30ae2c.gif

Это равносильно системе hello_html_m1c7a7bcb.gif

Первое уравнение этой системы имеет единственное решение х=0, которое не удовлетворяет второму уравнению системы. Следовательно, система решений не имеет, а значит, и равносильное ей уравнение не имеет решение.

Ответ: Нет решений


Пример 2: Решить уравнение (Слайд № 7)

hello_html_m5a12c2d4.gif




Решение: Перепишем уравнение в виде hello_html_4ad98b5e.gif.

Это уравнение равносильно системе уравнений

hello_html_m51b9e556.gif.

Первое уравнение системы имеет единственное решение х=3, которое является также решением второго уравнения системы. Следовательно, система, а значит, и равносильное ей уравнение имеют единственное решение х=3.

Ответ: 3


2) Использование ограниченности функции. (Слайд № 8)


Пусть множество М есть общая часть (пересечение) областей существования функций f(x) и g(x) и пусть для любого х из множества М справедливы неравенства f(x) A и g(x) A, А – некоторое число. Тогда уравнение f(x)=g(x) равносильно системе уравнений hello_html_7d617a69.gif.


Пhello_html_m55376468.gifример 3: Решить уравнение (Слайд № 9)



Рhello_html_2b9611b5.gifешение: Обе части уравнения определены для всех х. Перепишем уравнение в виде



Для любого х справедливы неравенства




Следовательно, уравнение равносильно системе уравнений







Система не имеет решений. Следовательно, и равносильное ей уравнение не имеет решение.

Ответ: Нет решений


Пример 4: Решить уравнение (Слайд № 10)

hello_html_m4acbe8bb.gif

Решение:

Решим уравнение методом оценки, так как квадратные трехчлены, входящие в уравнение не раскладываются на линейные множители.

hello_html_30e632c8.gif

hello_html_m7ed03fe4.gif,

Тогда уравнение равносильно системе hello_html_m56900ec6.gif,

Решим второе уравнение системы х = 1 и проверим является ли это число корнем первого уравнения.

Проверка: hello_html_m2f1a0bd0.gif

Ответ: 1


  1. Использование числовых неравенств(Слайд № 11)


Иногда применение того или иного числового неравенства к одной из частей уравнения позволяет заменить его равносильной ему системой уравнений.

Чhello_html_733122f3.gifасто применяется неравенство между средним арифметическим и среднем геометрическим:


(1)


(причем равенство здесь возможно лишь при a=b)

hello_html_m951f07d.gif

И его следствие

(2)


(причем равенство выполняется только при a=1)


Пример 5: Решить уравнение (Слайд №12)

hello_html_m44b5f29f.gif




Решение: Обе части уравнения определены для всех x. Для любого x, применяя неравенство (1), получаем, что справедливо неравенство

hello_html_3242f678.gifhello_html_3d5eb56d.gif

Для любого x справедливо неравенство


Уравнение превращается в верное равенство лишь для тех x, для которых обе части уравнения равны 2, т.е. для x, удовлетворяющих системе уравнений

hello_html_m72e24940.gif






Первое уравнение системы имеет единственное решение x=0, которое

удовлетворяет и второму уравнению этой же системы. Поэтому система, а значит, и равносильное ей уравнение имеют единственное решение х=0.

Ответ: 0


4) Использование свойств синуса и косинуса (Слайд № 13)


Рhello_html_m7c500d0b.gifешение большого количества тригонометрических уравнений может быть сведено к решению систем уравнений. Примерами таких уравнений могут служить следующие:







где hello_html_m7b773699.gif, A и B – данные действительные числа, n и m – данные натуральные числа. При решении таких уравнений используется следующее свойство синуса: если для некоторого числа х0 справедливо строгое неравенство hello_html_m5798af7c.gif, то такое число х0 не может быть корнем ни одного из уравнений.


Аналогично, при решении уравнений

hello_html_m153eade3.gif




используется свойство косинуса: если для некоторого числа х0 справедливо строгое неравенство hello_html_1f6da1c.gif, то такое число х0 не может быть корнем ни одного из этих уравнений.


Пhello_html_2afab7d0.gifример 6: Решить уравнение (Слайд №14, №15)



Решение: Если x0 - решение уравнения, то либо sin x0=1, либо sin х0= - 1.

Действительно, если бы |sin x0|<1, то из уравнения следовало бы, что

|cos 4x0|>1, что, естественно, невозможно.

Но если sin x0=1, то из уравнения следует, что cos 4x0=1, если же sin x0= - 1, то cos 4x0= -1. Следовательно, любое решение уравнения является решением совокупности двух систем уравнений.

hello_html_100e9fa2.gif








Лhello_html_2e023314.gifюбое решение системы (1) и любое решение системы (2) есть решение уравнения. Следовательно, уравнение равносильно совокупности систем уравнений (1) и (2). Решим системы.

Первое уравнение системы (1) имеет решения

Вhello_html_29033044.gifсе они удовлетворяют второму уравнению этой системы, т.е. являются решениями системы (1).

Первое уравнение системы (2) имеет решения


Ни одно из этих чисел не удовлетворяет второму уравнению этой системы. Поэтому система (2) не имеет решений.

Итак, решения исходного уравнения совпадает с решениями системы (1).

hello_html_2e023314.gif

Ответ:


  1. Закрепление изученного материала (Слайд № 16)


Решить уравнения: 1) hello_html_m5b4746ca.gif

2) hello_html_175ce869.gif

3) hello_html_m117b2407.gif

4) hello_html_6448e65.gif


  1. Подведение итогов урока


Домашнее задание (Слайд № 17)

  1. Решить уравнение hello_html_m6d117c82.gif

  2. Найти нули функции hello_html_2fcc9834.gif

  3. Решить уравнение hello_html_49301dc5.gif

Название документа Нестан методы решения.ppt

Поделитесь материалом с коллегами:

Нестандартные методы решения уравнений Макеева Оксана Вячеславовна учитель ма...
Цели и задачи: Познакомить учащихся с основными способами решения нестандартн...
Содержание Использование неотрицательности функции Использование ограниченнос...
Устная работа 1.Найдите множество значений функций: 2. Укажите множество знач...
Использование неотрицательности функции Пусть левая часть уравнения (1) есть...
Пример 1. Решить уравнение Решение Ответ: нет решений
Пример 2: Решить уравнение Решение Ответ: x=3
Использование ограниченности функции Пусть множество М общая часть(пересечени...
Пример 3: Решить уравнение Решение: Ответ: нет решений
Пример 4: Решить уравнение Решение: Решим уравнение методом оценки, так как к...
Использование числовых неравенств Иногда применение того или иного числового...
Пример 5: Решить уравнение Решение: Обе части уравнения определены для всех x...
Использование свойств синуса и косинуса Решение уравнений вида где А и В – да...
Пример 6: Решить уравнение Решение: Если x - решение уравнения, то либо sin...
Решим эти системы. Первое уравнение системы (1) имеет решения Все они удовлет...
Решить уравнения:
Домашнее задание Решить уравнения: Найти нули функции
1 из 17

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Нестандартные методы решения уравнений Макеева Оксана Вячеславовна учитель ма
Описание слайда:

Нестандартные методы решения уравнений Макеева Оксана Вячеславовна учитель математики ГБОУ СОШ № 621 Колпинского района Санкт - Петербурга

№ слайда 2 Цели и задачи: Познакомить учащихся с основными способами решения нестандартн
Описание слайда:

Цели и задачи: Познакомить учащихся с основными способами решения нестандартных уравнений; развивать у учащихся умения анализа условия задачи перед выбором способа ее решения; развивать навыки исследовательской деятельности, синтеза, обобщения.

№ слайда 3 Содержание Использование неотрицательности функции Использование ограниченнос
Описание слайда:

Содержание Использование неотрицательности функции Использование ограниченности функций Использование числовых неравенств Использование свойств синуса и косинуса

№ слайда 4 Устная работа 1.Найдите множество значений функций: 2. Укажите множество знач
Описание слайда:

Устная работа 1.Найдите множество значений функций: 2. Укажите множество значений функции

№ слайда 5 Использование неотрицательности функции Пусть левая часть уравнения (1) есть
Описание слайда:

Использование неотрицательности функции Пусть левая часть уравнения (1) есть сумма нескольких функций (2) Каждая из которых неотрицательна для любого x из области существования. Тогда уравнение (1) равносильно системе уравнений

№ слайда 6 Пример 1. Решить уравнение Решение Ответ: нет решений
Описание слайда:

Пример 1. Решить уравнение Решение Ответ: нет решений

№ слайда 7 Пример 2: Решить уравнение Решение Ответ: x=3
Описание слайда:

Пример 2: Решить уравнение Решение Ответ: x=3

№ слайда 8 Использование ограниченности функции Пусть множество М общая часть(пересечени
Описание слайда:

Использование ограниченности функции Пусть множество М общая часть(пересечение) областей существования функций f(x) и g(x) и пусть для любого x из множества М справедливы неравенства f(x)A и g(x)A, где А – некоторое число. Тогда уравнение f(x)=g(x) равносильно системе уравнений

№ слайда 9 Пример 3: Решить уравнение Решение: Ответ: нет решений
Описание слайда:

Пример 3: Решить уравнение Решение: Ответ: нет решений

№ слайда 10 Пример 4: Решить уравнение Решение: Решим уравнение методом оценки, так как к
Описание слайда:

Пример 4: Решить уравнение Решение: Решим уравнение методом оценки, так как квадратные трехчлены, входящие в уравнение не раскладываются на линейные множители. Тогда уравнение равносильно системе , Решение второго уравнения системы есть х=1. Проверка показывает, что это число является и решением первого уравнения системы. Следовательно, х=1 является решением исходного уравнения Ответ: х=1

№ слайда 11 Использование числовых неравенств Иногда применение того или иного числового
Описание слайда:

Использование числовых неравенств Иногда применение того или иного числового неравенства к одной из частей уравнения позволяет заменить его равносильной ему системой уравнений. Часто применяется неравенство между средним арифметическим и среднем геометрическим: (1) (причем равенство здесь возможно лишь при a=b) И его следствие (2) (причем равенство выполняется только при a=1)

№ слайда 12 Пример 5: Решить уравнение Решение: Обе части уравнения определены для всех x
Описание слайда:

Пример 5: Решить уравнение Решение: Обе части уравнения определены для всех x. Для любого x, применяя неравенство (1), получаем, что справедливо неравенство Для любого x справедливо неравенство Уравнение превращается в верное равенство лишь для тех x, для которых обе части уравнения равны 2, т.е. для x, удовлетворяющих системе уравнений Первое уравнение системы имеет единственное решение x=0, которое удовлетворяет и второму уравнению. Ответ: x=0

№ слайда 13 Использование свойств синуса и косинуса Решение уравнений вида где А и В – да
Описание слайда:

Использование свойств синуса и косинуса Решение уравнений вида где А и В – данные отличные от нуля, m и n – данные натуральные числа, может быть сведено к решению систем уравнений, если использовать ограниченность синуса и косинуса. Для решения таких уравнений применяют способ «рассуждений с числовыми значениями».

№ слайда 14 Пример 6: Решить уравнение Решение: Если x - решение уравнения, то либо sin
Описание слайда:

Пример 6: Решить уравнение Решение: Если x - решение уравнения, то либо sin x=1, либо sin х= - 1. Действительно, если бы |sin x|1, то из уравнения следовало бы, что |cos 4x|>1, что, естественно, невозможно. Но если sin x=1, то из уравнения следует, что cos 4x=1, если же sin x= - 1, то cos 4x= -1. Следовательно, любое решение уравнения является решением совокупности двух систем уравнений.

№ слайда 15 Решим эти системы. Первое уравнение системы (1) имеет решения Все они удовлет
Описание слайда:

Решим эти системы. Первое уравнение системы (1) имеет решения Все они удовлетворяют второму уравнению этой системы, т.е. являются решениями системы (1). Первое уравнение системы (2) имеет решения Ни одно из этих чисел не удовлетворяет второму уравнению этой системы. Поэтому система (2) не имеет решений. Итак, решения исходного уравнения совпадает с решениями системы (1). Ответ:

№ слайда 16 Решить уравнения:
Описание слайда:

Решить уравнения:

№ слайда 17 Домашнее задание Решить уравнения: Найти нули функции
Описание слайда:

Домашнее задание Решить уравнения: Найти нули функции


Автор
Дата добавления 02.11.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров56
Номер материала ДБ-314428
Получить свидетельство о публикации

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх