Урок по теме "Объем тел вращения"

Тема урока: «Объем тел вращения»

(11 класс)

Цели: показать учащимся прикладную направленность темы « Объем тел вращения»; развивать познавательную активность, любовь к предмету.

« Предмет математики настолько серьёзен, что полезно не упускать случаев делать его немного занимательным»

Блез Паскаль

« Математика – это то, посредством чего люди управляют природой и собой»

А.Н. Колмогоров

Структура урока :

I. Организационный момент. Постановка цели урока.

Выявлять связь школьного курса математики с жизнью и другими учебными предметами всегда важно и интересно. Действительно, математика проникает во все сферы человеческой деятельности. Трудно назвать хотя бы один раздел науки или какую-либо профессиональную область, где не присутствовала бы математика или её методы. Образы математических объектов окружают нас и в повседневной жизни. Поэтому необходимость математического образования для успешного формирования личности не вызывает сомнений. На сегодняшнем уроке мы с вами остановимся на прикладной направленности последнего раздела курса стереометрии XI класса.

II. Актуализация знаний по теме « Тела вращения».

С телами вращения мы с вами ежедневно встречаемся в повседневной жизни. Большинство деталей, вытачиваемых из дерева или металла на токарных станках, - тела вращения. И посуда, изготавливаемая на гончарных кругах, и стеклянные банки, бутылки, графины, стаканы, пробирки, и различные катушки, барабаны, валы, шайбы, заклепки, линзы, патроны, снаряды, спортивные диски, мячи, обручи – все это материальные тела, имеющие форму тел вращения. И где бы ни очутился выпускник школы после её окончания, он наверняка будет иметь дело с подобными телами.

Цилиндрические резервуары и цистерны, хоккейные шайбы, графитные стержни, электроды для электросварки, круглые карандаши – имеют форму прямого кругового цилиндра. И шахтный ствол, буровая неглубокая скважина, отверстие, просверленное в доске перпендикулярно к её поверхности, цилиндр двигателя внутреннего сгорания или поршневого насоса – тоже цилиндры.

Естественно насыпанные на горизонтальной поверхности кучи песка, земли, зерна, угля, породы имеют форму конусов. При этом каждому сыпучему материалу соответствует определенный угол естественного укоса (угол наклона образующей к плоскости основания конуса). Так, например, песку соответствует угол укоса в 25⁰, земле – 45^0; глине – 30⁰, щебню – 33⁰, углю – 42⁰.

Другие примеры материальных конусов: нижняя часть углубления, сделанная сверлом в металле, верхние части многих нефтехранилищ, концы кёрнеров – инструментов для выбивания маленьких воронок в местах сверления. Форму усеченного конуса имеют ведра, тазики, кадушки, ролики многих подшипников.

Примеры материальных шаров – шарики подшипников, шары в дробилках, некоторые окатыши, многие резервуары на нефтеперерабатывающих заводах, конфеты драже, мячи, бильярдные шары.

III. Проверка выполнения домашнего задания.

1 вариант: Круглое бревно весит 30 кг. Сколько весит бревно, которое вдвое толще, но вдвое короче?

От увеличения радиуса бревна вдвое, его объем увеличится в 4 раза; а от уменьшения высоты бревна вдвое, его объем уменьшится в 2 раза, т.е после данных операций объем бревна увеличиться в 2 раза. Поэтому бревно станет вдвое тяжелее прежнего, т.е его вес 60 кг.

2 вариант: Какая из банок вместительнее – широкая, или втрое более высокая, но вдвое более узкая?

Площадь основания широкой банки в 4 раза больше, чем площадь основания узкой; высота широкой в 3 раза меньше высоты узкой. Значит объем широкой в 4\3 раза больше, чем объем узкой, т.е. если содержимое из узкой перелить в широкую, то оно займет лишь 3\4 её объема. Итак, узкая менее вместительная.

IV. Решение прикладных задач по теме «Объем тел вращения».

1. « Гордый холм»

При взгляде на конические кучи щебня или песка вспоминается старинная легенда восточных народов, рассказанная у А.С. Пушкина в «Скупом рыцаре».

Читал я где-то,

Что царь однажды воинам своим

Велел снести земли по горсти в кучу, -

И гордый холм возвысился,

И царь мог с высоты с весельем озирать

И дол, покрытый белыми шатрами,

И море, где бежали корабли.

Это одна из тех немногих легенд, в которых при кажущемся правдоподобии нет и зерна правды. Мы сейчас с вами геометрически докажем, что, если бы какой-нибудь древний деспот вздумал осуществить такого рода затею, он был бы обескуражен мизерностью результата, перед ним бы высилась куча земли, что никакая фантазия не в силах была бы раздуть её в легендарный «гордый холм».

Сделаем примерный расчет. В древнем мире самое многочисленное войско было у Атиллы ( 700 000 человек). Примем, что горсть древнего воина равнялась по объёму 0,2 л ( дм³). Отсюда определяется объем холма :

V = 0,2 ∙700 000 = 140 000 дм³ = 140 м³.

Значит, холм представляет собой конус объёмом не более 140 куб.м. Продолжим расчеты, чтобы вычислить высоту холма. Для этого нужно знать угол естественного откоса, в нашем случае он равен 45⁰, более крутых склонов нельзя допустить, так как земля будет осыпаться.

Дано: конус,

V = 140 м³, α = 45⁰.

Найти: h

Решение.

V_конуса = πR²h, т.к. α = 45⁰ , то h = R, т.е V = πh³, h = = ≈ ≈ 5,2 м.

Мне кажется, такая высота вряд ли удовлетворила честолюбие Атиллы.

2. Железобетонная панель имеет размеры см. По всей длине панели располагаются 6 цилиндрических отверстий диаметром 14 см. Найдите массу панели, если плотность бетона 2,5 т\м³.

Дано: прямоугольный параллелепипед,

a = 1,2 м, b= 0,22 м, с = 6 м 6 цилиндров d = 0,14 м

p= 2,5 т\м³

Решение.

1. v_панели = v_{параллелепипеда} – 6 v_{цилиндра};

V_пар-да = 6 ∙ 1,2 ∙0,22 = 1,584 ≈ 1,6 м³

V _цил = πr²h = π ∙ 0,07² ∙ 6 ≈ 0,1 м³ , 6v_цил = 0,6 м³,

V_панели = 1,6 – 0,6 = 1 м³.

2. m=V_панели∙p = 2,5 ∙1 = 2,5 т

Ответ: 2,5 т

3. « Сбор смолы с сосен»

Смолу для промышленных нужд собирают в конические воронки, подвешенные к соснам.

Сколько воронок диаметром 10 см с образующей 13 см нужно собрать, чтобы заполнить 10-ти литровое ведро?

Дано: конус, d= 10 см, l = =13 см, V_ведра= 10 дм³

Найти: количество воронок

Решение:

1. h= = = 12 см.

2. v_конуса = πr²h = π ∙ 5² ∙ 12 ≈300 см³ = 0,3 дм³

3. n = ≈ 33 воронки

Ответ: 33 воронки

4. Диаметр струи нефтяного фонтана у основания равен 20 см. Нефть вытекает со скоростью 23 м/с. Сколько м³ нефти выбрасывает фонтан за 1 час?

Дано: цилиндр,

d =0,2 м , h= 23 м

Найти: V за 1 час

Решение:

1. V_{цилиндра} = π ∙ r² ∙ h = π ∙ 0,1² ∙ 23 ≈ 0,7 м³ нефти за 1 секунду.

2. V_{за1 ч} = 0,7 ∙ 3600 = 2520 м³

Ответ: 2520 м³

5. Необходимо пользуясь лишь измерительной линейкой вычислить объем бутылки с круглым дном, которая частично наполнена жидкостью. Дно бутылки предполагается плоским. Доливать и выливать жидкость нельзя.

Так как дно бутылки круг, то его площадь легко найти с помощью линейки, измерив диаметр, это будет S_осн. Измерим высоту жидкости в бутылке, это будет h₁, тогда объем той части, что занимает жидкость - будет Sh₁.

Перевернем бутылку вверх дном и измерим h₂ ( от уровня жидкости до дна). Объем этой части будет Sh₂, остальную часть бутылки занимает жидкость с объемом Sh₁, тогда весь объем составляет Sh₁ + Sh₂.

V. Постановка домашнего задания.

1 ряд: Двое спорят о содержимом бочки. Один говорит, что воды в бочке более чем наполовину, а второй, что менее. Как убедиться, кто прав, не употребляя ни палки, ни веревки, ни каких-либо приспособлений для измерения?

Путем наклона бочки: если воды половина, то её уровни: у края бочки и высшая точка дна. Это следует из того, что плоскость, проведенная через диаметрально противоположные точки верхней и нижней окружности бочки, делит её на две равные части. Если воды более половины, то при наклоне верхняя часть дна будет под водой. Если менее, то при наклоне должен выступать из воды больший или меньший сегмент дна.

2 ряд: Вычислите объём мяча, если в вашем распоряжении только нитка и измерительная линейка.

Пусть d – диаметр мяча.

С помощью нитки и линейки найдем длину наибольшей окружности на поверхности мяча, и вычислим Lокр.= πd.

Тогда V=πd³.

3 ряд: Найдите объем стакана, имея в своем распоряжении лишь весы?

Т.к. плотность воды равна 1 , то измерим с помощью весов массу стакана с водой( m₁), затем - массу пустого стакана ( m₂) .

Тогда Vст.= m₁ – m₂.

VI. Подведение итогов урока. Выставление отметок.