Урок по теме "Преобразования графиков"

27.09.2020 г.

План-конспект урока

 по теме «Преобразования графиков»

(урок алгебры, 10 «4» класс, 2 ч.)

Урок – лекция

Цели: повторить, закрепить и обобщить понятие функции, графика функции; рассмотреть геометрические преобразования графиков функций, выработать у учащихся навыки по построению графиков функций, используя различные их преобразования; развивать логику, мышление.

Ход урока:

I.      Организационный момент

II.   Проверка домашнего задания

III.      Устная работа

1.     №44 (в), №51(б)

2.     Привести пример аналитически заданной функции, определенной:

а) на всей числовой прямой;            (f(x) =х² + 2х - 3)

б) на всей числовой прямой, кроме точки х = 2;     (f(x) = )

в) на всей числовой прямой, кроме точек х = - 1; 1;  

(f(x) = )

г) на [0; + ∞);     (f(x) = )

д) на [- 2; 2].       (f(x) = )

IV. Работа по учебнику (с помощью рисунков)

1.     Проверить решение №46 (устно по рис.27)

2.     Устно решить №42 (по рис.26)

3.     Решить на доске №47.

IV.      Изучение нового материала (лекция)

Запас функций, графики которых вы умеете строить, пока невелик – это функции y = kx + b, y = ax² + bx + c, y = , y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x. Покажем, что, применяя известные из курса геометрии сведения о преобразованиях фигур, этот список можно существенно расширить.

1) Рассмотрим сначала параллельный перенос на вектор (0; b) вдоль оси ординат. Обозначая здесь и далее через (х^/; y^/) координаты точки, в которую переходит произвольная точка (х; у) плоскости при данном преобразовании, получим известные вам формулы

      (1)

Пусть f – произвольная функция с областью определения D(f). Выясним, в какую фигуру переходит график этой функции при данном переносе. Из формул (1) сразу получаем, что произвольная точка (x; f(x)) графика переходит в точку (x; f(x) + b). Это означает, что график f переходит в фигуру, состоящую из всех точек (x; f(x) + b), где х € D(f).

По определению графика функции эта фигура является графиком функции у = f(x) + b. Сказанное позволяет сформулировать правило:

Для построения графика функции f(x) + b, где b – постоянное число, надо перенести график f на вектор (0; b) вдоль оси ординат.

Пример 1

Построим графики функций: а) y = sin x + 2.

                                                             y    

                                                                 

                                                                                                   y = sin x + 2

у = sin x                                 1

                                                              

    - 3 π           - 2 π              - π                0               π              2 π             3 π        х

        - 1

В соответствии с правилом переносим график функции y = sin x на вектор (0; 2), т. е. вверх по оси Оу на 2 единицы.

б) y = x² – 5.

                                                       y

 

                                                               y = x²

                                                                     y = x² - 5

 

                                            -1   0    1                                x

 

                                                       - 5

Построение осуществляется переносом параболы y = x² на вектор (0; -5), т. е. вниз по оси Оу на 5 единиц.

2) Новым для вас преобразованием является растяжение вдоль оси Оу с коэффициентом k, которое задается формулами

                    (2)

Для построения точки М^/, в которую переходит данная точка М при растяжении, надо построить на прямой АМ, где А - проекция М на ось Ох, точку, гомотетичную М относительно центра А (коэффициент гомотетии равен коэффициенту k растяжения).

Выясним, в какую фигуру переходит график функции f при растяжении. Из формул (2) сразу получаем, что произвольная точка (x; f(x)) графика f переходит в точку (x; k f(x)). Отсюда следует, что график f переходит в фигуру, состоящую из всех точек (x; k f(x)), где x € D(f). Эта фигура является графиком функции у = k f(x).

Сказанное позволяет сформулировать правило:

Для построения графика функции у = k f(x) надо растянуть график функции у = f(x) в k раз вдоль оси ординат.

Пример 2

Построим графики функций: а) y = - 2x²; б) y = cos x.

                                                         у

                                                              у = 2х²

                                                                 у = х²

                                                          

                                                         2  М^/

 

                                        -2  -1  0    1   2                        х

                                                          -2 M^//

 

                                                                у = - 2х²

б) y = cos x.

                                                    у    

 

                                                         1 у = cos x

                                                y = 1/3 cos x                                                  

              - π            - π/2            0                  π/2             π                               х

                                                      -1

Построение осуществляется в первом случае из графика функции у = х², а во втором случае сначала строим график функции у = cos x, а затем воспользуемся растяжением вдоль оси ординат с коэффициентом .

Замечание. Если 0 < | k | < 1, то растяжение с коэффициентом k часто называют сжатием. Например, растяжение с коэффициентом  называют сжатием в 2 раза. Отметим также, что если k < 0, то для построения графика функции y = k f(x) надо сначала растянуть график f в | k | раз, а затем отразить его симметрично относительно оси абсцисс.

3) Параллельный перенос вдоль оси абсцисс на вектор (а; 0) задается формулами

                      (3)

Каждая точка графика функции f  переходит согласно формулам (3) в точку (х + а; f(x)). Поэтому с помощью переменных x^/, y^/ можно записать, что график f переходит в фигуру Ф, состоящую из точек (x^/_; f(x^/ - a)), где x^/ принимает все значения вида х + а (x «пробегает» D(f)).

Именно при этих значениях x^/ число x^/ - а принадлежит D(f) и f(x^/ - а) определено. Следовательно, фигура Ф есть график функции y = f(x – a). Итак, можно сделать вывод:

График функции y = f(x – a) получается из графика f  переносом (вдоль оси абсцисс) на вектор (а; 0).

Обратите внимание: если а > 0, то вектор (а; 0) направлен в положительном направлении оси абсцисс, а при а < 0 – в отрицательном.

Пример 3

Построение графиков функций y =  и y = cos (x - ).

                                             у     у =                     у =

 

                             M^/                    M

                             - 1     0       1                                х

 

                                           у  

                                            1  y = cos(x – π/4)          у = cos x

                                                                                    M            M^/

           - π                        0                             π                                        х

                                            -1

4) Растяжение вдоль оси Ох с коэффициентом k задается формулами

                         (4)

Произвольная точка графика функции f переходит при таком растяжении в точку (kx; f(x)). Переходя к переменным x^/, y^/, можно записать, что график y = f(x) переходит в фигуру, состоящую из точек (x^/; f()), где x^/ принимает все значения вида x^/ = kx, а x € D(f).

Эта фигура есть график функции y = f(). Итак:

Для построения графика функции y = f() надо подвергнуть график функции f растяжению с коэффициентом k вдоль оси абсцисс.

Пример 4

Построение графиков функций y = cos 2x  и y = sin x.

                                                   у

                                                 1            у = cos 2x

 

                 - π                       0                        π                               х

                                                 -1          y = cos x

                                               y         

                                                                              y = sin x

                                                 1                   

 

            - π                             0                            π                               x

                                                 - 1                  y = sin x

V.   Закрепление изученного материала.

1.     Повторить виды преобразований.

2.     № 56 (устно).

VI.                 Итоги урока.

VII.             Домашнее задание.

        §2, п. 3 (выучить), № 54, №55.