Урок по теме "Решение Квадратных уравнений графическим способом"

ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ

 ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
«СЕВЕРО - КАВКАЗСКИЙ АГРАРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

План–конспект урока по теме:

«Решение квадратных уравнений

графическим способом»

Преподаватель математики

                                                                                                                           ГАПОУ  «СКАТК»

Дзигасова Роза Романовна

 «Математика – это язык, на котором

говорят все точные науки»

Н. И. Лобачевский.

г.Ардон 2015год.

   «Математика – это язык, на котором

говорят все точные науки»

Н. И. Лобачевский.

Математика

1 курс (урок №6 повторения за курс 9-ти летней школы Источники:

А. Г. Мордкович Алгебра. 8 класс. М: 2010, 129 c.)

Дзигасова Роза Романовна ГАПОУ  «СКАТК»

Тема: «Решение квадратных уравнений графическим способом»

Цель урока: Способствовать формированию умения решать квадратные уравнения графическим способом.

Задачи урока:

1.      Образовательные:    обобщить ранее изученные графические способы решения квадратных уравнений, виды графиков и свойства функций у = 1/х, у = х², закрепить навыки построения графиков функций.

2.      Развивающие: развивать навыки творческой, познавательной, мыслительной деятельности,

логическое мышление, вырабатывать умение анализировать и сравнивать, делать выводы.

3.Воспитательные: воспитывать сознательное отношение к учебному труду,  развивать интерес  к математике, самостоятельность, прививать аккуратность и трудолюбие.

Оборудование: проектор, компьютер, переносная доска с графиком у=х².

Тип урока: обобщающий урок,  урок закрепление  знаний.

Вид урока: урок – практикум.

Методы урока: словесные, наглядные, практические.

Организационные формы общения: индивидуальная, коллективная.

Структура урока:

1. Мотивационная беседа с последующей постановкой цели.

2. Актуализация опорных знаний – устная работа, с помощью которой ведётся повторение основных фактов, свойств на основе систематизации знаний.

3. Обобщение материала – рассматриваются графические способы решения квадратных уравнений.

4. Закрепление материала.

5. Практическая работа.

6. Обогащение знаний – знакомство с траекториями движения космических аппаратов

7. Подведение итогов урока.

8. Творческое домашнее задание.

9. Рефлексия.

Ход урока.

I. Мотивационная беседа.

Преподаватель: Как вы думаете, зачем надо изучать математику?

      Ответ на этот вопрос вы найдёте, если узнаете, что означает в переводе с греческого слово «математика». «Математика» - знание, наука. Именно поэтому, если человек был умен в математике, то это всегда означало высшую ступень учености. А умение правильно видеть и слышать – первый шаг к мудрости. Вот поэтому мне, сегодня очень хочется, чтобы вы стали, немного мудрее и расширили свои знания по математике.

   Итак, запишите в тетрадь число и тему урока.    Цель урока -  обобщить графические способы решения квадратных уравнений, закрепить этот способ решения практической работой с использованием готового графика функции.

  У вас находятся одинаковые трафареты, состоящие из 10 комбинаций, которые обозначены римскими цифрами.

I             II                      III              IV             V

         VI                   VII                     VIII                                                                                  

                IX                                      X

  В каждую клетку нужно вписать букву или знак препинания. Тогда сложится фраза. Но на трафарете нет места для самого первого слова зашифрованной фразы. Это слово мы получим, решив практическую работу. У нас получится крылатое изречение- высказывание  «Эпиграф к уроку». Следует вам ответить на соответствующие тестовые задания  I –X и вписать в трафарет знак или букву, которой обозначен верный ответ.

                                                                                                     Тестовые  задания.

                     II. Актуализация опорных знаний.

      1. График функции у = х², называется …

          ?) синусоидой;         :) гиперболой;         -параболой.

                                            I

-

      2. Составьте слово, назвав подряд буквы, соответствующие правильному ответу. Является ли функция у = х²  возрастающей на отрезке  [a; в], если:

                   е)  а = - 3;       в = 3;

                   э)  а = 1;         в = 4;

                   д)  а = - 2;       в = - 1;

                   т)  а = 0;         в = 0,5;

                   о)  а = 9;         в = 10;

                   б)  а = - 9;       в  = 10; 

                                                   II

э

т

о

      3. Назовите буквы, соответствующие точкам, принадлежащим графику функции у = х² :          

                            Я(3; 9),  Ж(5; 5),  С(-100; -100),  Н(-2; 4),  З (-1; 1),                                                           

                            Ы(0; 0),  В(-7; 7),  А(2; 8),  К(2; 4).

                                     III

Я

з

ы

к

     4. Графиком функции  является …

                         -) прямая;    ;) отрезок;   ,) гипербола;    :) ветвь параболы.

                                              IV

,

     5. Назовите буквы, которые соответствуют правильному ответу.

а) Какие из данных уравнений являются квадратными?

     в) 5х + 1 = 0.                к) х³ – 2х² + 1 = 0.     н) 5 – 8х = 0.

     н) 2х² – 9х + 5 = 0.       з) 2х ─  = 0.            а) х² + 3х + 2 = 0.

                            V

н

а

  6. Какие из данных квадратных уравнений являются приведенными?

               к) х² – 9х + 5 = 0.            О₁) х² – 4х² + 3 = 0.           т) х² + 5х + 2 = 0.

               л) 3х² – 4х – 7 = 0.           О₂) х² – 2х – 5 = 0.           к)3 х² + 6х + 8 = 0.

               р) х² – 14х + 49 = 0.           О₃) х² – 10х + 25 = 0.        м) х² + 11х – 12 = 0.

                                                 VI

к

о

т

о

р

о

м

III. Обобщение материала.
Презентация на тему «Графическое решение квадратных уравнений» является прекрасным наглядным пособием

Первый способ.

Строят график функцииy=ax²+bx+c и находят точки его пересечения с осью x.

Второй способ.

Преобразуют уравнение к виду ax²=−bx−c, строят параболу y=ax² и прямую y=−bx−c, находят точки их пересечения (корнями уравнения служат абсциссы точек пересечения, если, разумеется, таковые имеются).

Третий способ.

Преобразуют уравнение к виду ax²+c=−bx, строят параболу y=ax²+c и прямую y=−bx (она проходит через начало координат); находят точки их пересечения.

Четвёртый способ.

Применяя метод выделения полного квадрата, преобразуют уравнение к виду a(x+l)2+m=0 и далее a(x+l)2=−m.

Строят параболу y=a(x+l)2 и прямую y=−m, параллельную оси x; находят точки пересечения параболы и прямой.

Пятый способ.

Преобразуют уравнение к виду  ax²x+bxx+cx=0, т.е. ax+b+cx=0 далее cx=−ax−b.

Строят гиперболу y=cx (это гипербола при условии, что c≠0) и прямую y=−ax−b; находят точки их пересечения.

Заметим, что первые четыре способа применимы к любым уравнениям вида ax²+bx+c=0, а пятый — только к тем, у которых c≠0. На практике можно выбирать тот способ, который тебе кажется наиболее приспособленным к данному уравнению или который тебе больше нравится (или более понятен).

Итак, графические способы решения квадратного уравнения красивы и приятны, но не дают стопроцентной гарантии решения любого квадратного уравнения. Учтём это в дальнейшем.

На практике можно выбирать тот способ, который тебе кажется наиболее приспособленным к данному уравнению или который тебе больше нравится (или более понятен).

          Пример.

         Решим уравнение    х² + 2х – 3 = 0.

         Какое это уравнение?

         Как это уравнение можно решить?

         Ответ: С помощью формул, с помощью теоремы Виета.

         Можно его решить устно?

         Ответ: Можно, по теореме Виета.

         Какие же корни?

         Ответ:   -3 и 1.

   Решим уравнение, используя графический способ решения. Например, второй способ.

Представим данное уравнение в следующем виде:

                                          х² = ─ 2х + 3.

Чтобы решить данное уравнение, нужно найти такое значение х, при котором левая часть уравнения была бы равна правой. Введем две функции f(x), равной левой части уравнения и g(x), равной правой части уравнения. Теперь нужно найти такое значение х, при котором f(x)=g(x), т. е. общую точку, принадлежащую графику функции f(x) и графику функции g(x). Эта точка будет являться точкой пересечения графиков функций f(x)=х² и g(x)=-2х+3. Абсцисса точки пересечения будет являться решением исходного уравнения.

В координатной плоскости построим графики функций f(x) = х²  и

  g(x) = ─2х + 3.

Для этого составим таблицы их значений. 

     f(x) = х²  ─ парабола                                                  

х	0	+1	+2	+3
у	0	1	4	9

    [-3; 3]

g(x) = ─2х + 3  ─ прямая 

х	-3	1
у	9	1

В

А

                                          х = -3,          х = 1.

       А(-3;9) и В(1;1)-точки пересечения. Абсциссы этих точек равны -3 и 1.

    Значит х = -3 и х = 1 – решение уравнения  х² + 2х – 3 =0

       Ответ:  

                      слушают)     х = ─ 1   и   х = 3

                        говорят)     х = ─ 3   и   х = 1

                            сидят)     х = ─ 5   и   х = 0

                                                        VII

г

о

в

о

р

я

т

IV. Закрепление обобщенного материала.

1). Решить уравнение  х² – х – 2 = 0.     x [-5; 5]  с шагом 0,5

         у₁ = х²          у₂ = х + 2

   Ответ:   

                  девушки)      х = - 2    и    х = 1

                     юноши)     х = 3      и    х = 1

                            все)     х = 2      и    х = - 1.

                                    VIII

в

с

е

2). Решить самостоятельно.

·         х² – 2х – 8 = 0     x [-5; 5]  с шагом 0,5

            а) один ученик решает графически;

            б) другой ученик решает аналитически с помощью теоремы Виета.

            в) все остальные решают в тетрадях.

    Ответ :

                   широкого)   х = 5   и   х = 1;

                    русского)    х = 4   и   х = - 2;

                    красного)    х = 3   и   х = - 1.

                                               IX

т

о

ч

н

ы

е

Самостоятельно решаем уравнение  2х² + х – 3 = 0     x [-4; 4].

    Ответ:

                          науки)  х = 1   и   х = -1,5;

                   предметы)  х = 3   и   х = - 2;

              дисциплины)  х = -1   и   х = 2.

                                         X

н

а

у

к

и

Физминутка.

Отвели свой взгляд направо,

Отвели свой взгляд налево,

Оглядели потолок,

Посмотрели все вперёд.

Раз – согнуться – разогнуться,

Два ─ согнуться – потянутся,

Три – в ладоши три хлопка,

Головою три кивка.

Пять и шесть тихо сесть.

V. Практическая работа – получи слово.

На трафарете нет самого первого слова зашифрованной фразы. Это слово мы получим, решив практическую работу.  С помощью графика некоторой функций и поставленных тестовых вопросов (ответ заменяем буквой, которые надо вставлять в клетки) получим слово.

1)1,5  - График какой функции на рисунке?

                  А- линейной                                     М – квадратной

 2) 2, 6, 10 – График функции пересекает ось у в точке

              А (0;4)                       В(4;0)                        С(0;2)

 3) 3, 7 – Вершина параболы

               А(0;0)                       Т(0;2,5)                          В(2;3)

4)   4 – Сколько корней имеет уравнение при у=0

                Е -1                         А- 2                           в –нет корней

  5)   8 – При х=4  у=?

                А -4                      С – 3                                 И – 1

6)  9 –  Назовите корни уравнения  при у=4

             А  - 1 и 3                 К – 0 и 5,5                 В –  2  и 3

 Преподаватель: Какое слово у вас получились?

Ответы учащихся: МАТЕМАТИКА.

Преподаватель: Получилась фраза «Эпиграф к уроку»  -  «Математика – это язык, на котором

говорят все точные науки»  Н. И. Лобачевского.

 VI. Обогащение знаний.

Высвечивается слайд, на котором находятся парабола и гипербола.

    а) мы сегодня на уроке применяли эти два графика: параболу и гиперболу.

Я хочу вам сказать ребята, что окружающий нас мир тесно связан с математикой. Валерий Чкалов говорил: «Полёт–это математика». Оказывается, траектории движения космических аппаратов описываются параболой, гиперболой, эллипсом. При первой космической скорости (7,91 км/с) космический аппарат движется по эллипсу относительно Земли. (на рис. орбита 3)  При второй космической скорости (11,2 км/с) аппарат движется по параболе (на рис. орбита4) и движется в пределах Солнечной системы. При третьей космической скорости (16,6 км/с) космические аппараты движутся по гиперболе (на рис. орбита5) и навсегда покидают пределы Солнечной системы. В 70-х годах ХХ века были запущены такие космические аппараты «Пионер-10», «Пионер-11»,которые навсегда покинули Солнечную систему в поисках разумных цивилизаций во Вселенной. Они несут в себе платиновые пластинки, на которых нанесены силуэты мужчины и женщины на фоне космического корабля, Солнечная система и траектория «Пионера», схема атома водорода и положение Солнца по отношению к наиболее ярким галактическим пульсарам.

     б) графики помогают нам наглядно увидеть изменения различных величин: изменение роста, веса, температуры, скорости и т.д.

Вот посмотрите на эти графики, характеризующие ваш класс:

   1. График успеваемости (Знание – сила. Кто много читает, тот много знает» – пословица.

   2. График роста, график веса обучающихся вашей группы.

    Чтобы достичь нормального веса и роста подростку 15-ти лет нужно заниматься спортом, вести здоровый образ жизни, не увлекаться пагубными привычками: алкоголем, табакокурением, наркотиками. Никогда не забывать пословицу «В здоровом теле здоровый дух».

VII. Подведение итогов урока.

    Вы замечательно поработали на уроке.

    Надеюсь, этот материал вы не забудете. Помните слова французского инженера-физика Лауэ: «Образование есть то, что остается, когда все выученное уже забыто». Думаю, что образование, которое вы получите, будет соответствовать времени, в котором мы живем. А чтобы это случилось на самом деле, предлагаю вам выполнить следующую творческую домашнюю работу.

VIII. Домашнее задание.

Творческое задание: составить рекламу параболе или гиперболе;

                                    сочинить сказку или рассказ на тему «Замечательные  кривые».

IX. Рефлексия.

В конце урока проводится беседа, в которой выясняется:

- Что нового узнали на уроке?

- Понравился ли урок? 

- Что понравилось на уроке?

- Что не понравилось?

- Что необходимо изменить, чтобы было еще интереснее?

Спасибо всем!!!