Урок по теме "Решение заданий открытого банка заданий по теории вероятностей"

Решение заданий открытого банка заданий ЕГЭ по математике

по теме «Теория вероятностей».

О-1 Случайное событие – событие, которое может наступить в ходе некоторого опыта, а может не наступить.

О-2 Случайный опыт (эксперимент, испытание) – те условия и действия, при которых может осуществиться случайное событие.

Например: опыт – подбрасывание симметричной монеты

                   событие – выпадение орла

О-3 Элементарные события (исходы, случаи) – события, которые нельзя разбить на более простые.

О-4 Элементарные события, при которых наступает событие А, называют элементарными событиями, благоприятствующими (благоприятными) событию А.

О-5 Равновозможные события – элементарные события, шансы наступления которых одинаковы.

О-6 Пусть при проведении п случайных опытов событие А наступило k раз. Частотой события А называют отношение .

П-1 (№320189) В некотором городе из 5000 появившихся на свет младенцев 2512 мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до тысячных.

Решение: событие А – рождение девочки.

            Из условия задачи имеем п = 5000, k = 5000 – 2512 = 2488.

            Тогда частота события А равна  = 0,4976 » 0,498.

Ответ: 0,498.

            П-2 (№320195) Вероятность того, что новый DVD-проигрыватель в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,045. В некотором городе из 1000 проданных DVD-проигрывателей в течение года в гарантийную мастерскую поступила 51 штука. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?

Решение: п = 1000, k = 51. Частота события равна  = 0,051. Разность между частотой события и его вероятностью равна 0,051 – 0,045 = 0,006.

Ответ: 0,006.

О-7 Вероятностью Р события А называют отношение числа k исходов, благоприятных этому событию, к общему числу п исходов.

П-3 (320184) Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию «А = сумма очков равна 5»?

Решение: Элементарный исход в этом опыте – упорядоченная пара чисел. Первое число выпадает при первом броске, второе – при втором. Множество элементарных исходов удобно представить таблицей:

	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

Всего элементарных событий 36, т.е. п = 36. Количество благоприятных исходов k =4.

Ответ: 4

П-4 (282853) В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 8. Результат округлите до тысячных.

Решение:

	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

п = 36, k = 5.  = 0,13888…. » 0,14.

Ответ: 0,14.

П-5 (282854) В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

Решение: возможны следующие элементарные исходы ОО, ОР, РО и РР.

Значит п = 4, k = 2. Получаем .

Ответ: 0,5.

П-6 (320185) В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что наступит исход ОР (в первый раз выпадает орёл, во второй — решка).

Решение: возможны следующие элементарные исходы ОО, ОР, РО и РР.

Значит п = 4, k = 1. Получаем .

Ответ: 0,25.

П-7 (285926) В сборнике билетов по биологии всего 55 билетов, в 11 из них встречается вопрос по ботанике. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по ботанике.

Решение: п = 55, k = 11. Получаем .

Ответ: 0,2.

П-8 (285927) В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по неравенствам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам.

Решение: п = 25, k = 25-10=15. Получаем .

Ответ: 0,6.

П-9 (282856) В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Решение: п = 1000, k = 1000-5=995. Получаем .

Ответ: 0,995.

П-10 (282857) Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Решение: п = 100+8 = 108, k = 100. Получаем »0,93.

Ответ: 0,93.

П-11 (320169) Вася, Петя, Коля и Лёша бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Петя.

Решение: п = 4 (игру начинает Вася, Петя, Коля, Леша), k = 1 (игру начинает Петя). Получаем .

Ответ: 0,25.

П-12 (320170) В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.

Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе?

Решение: п = 16 (количество всех карточек), k = 4 (количество карточек с номером 2). Получаем . 

Так как количество участников в каждой группе (количество карточек с разными номерами) поровну, то можно рассматривать п = 4 (количество групп), k = 2 (вторая группа), тогда .

Ответ: 0,25.  

П-13 (320208) В кармане у Миши было четыре конфеты — «Грильяж», «Белочка», «Коровка» и «Ласточка», а так же ключи от квартиры. Вынимая ключи, Миша случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Грильяж».

Решение: п = 4 (количество конфет), k = 1. Получаем .

Ответ: 0,25.

П-14 (282855) В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

Решение: п = 20 (всех спортсменок), k = 20 – 8 – 7 = 5 (спортсменок из Китая). Получаем .

Ответ: 0,25.

П-15 (282858) В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 — из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий последним, окажется из Швеции.

Решение: п = 4+7+9+5=25 (всех спортсменов), k = 9 (из Швеции). Получаем .

Ответ: 0,36.

П-16 (285924) На семинар приехали 3 ученых из Норвегии, 3 из России и 4 из Испании. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России.

Решение: п = 3+3+4=10 (всех ученых), k = 3 (ученых из России). Получаем .

Ответ: 0,3.

П-17 (285928) На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 8 прыгунов из России и 9 прыгунов из Парагвая. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что шестым будет выступать прыгун из Парагвая.

Решение: п = 25, k = 9. Получаем .

Ответ: 0,36.

            П-18 (285925) Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?

Решение: п = 26 – 1 =25 (количество всех участников, кроме Орлова), k = 10 – 1 = 9 (количество бадминтонистов из России, кроме Орлова). Получаем .

Ответ: 0,36.

            П-19 (320186) На рок-фестивале выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Дании будет выступать после группы из Швеции и после группы из Норвегии? Результат округлите до сотых.

Решение: п = 6 (ШНД, ШДН, НДШ, НШД, ДШН, ДНШ), k = 2 (ШНД, НШД). Получаем .

Ответ: 0,33.

            П-20 (320178) На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет чётной?

Решение: п = 10 (количество всех цифр), k = 5 (количество четных цифр). Получаем .

Ответ: 0,5.

            П-21 (320179) Из множества натуральных чисел от 10 до 19 наудачу выбирают одно число. Какова вероятность того, что оно делится на 3?

Решение: п = 10 (числа 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19), k = 3 (12, 15, 18). Получаем .

Ответ: 0,3.

            П-22 (320190) На борту самолёта 12 мест рядом с запасными выходами и 18 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест.

Решение: п = 300, k = 12+18 = 30. Получаем .

Ответ: 0,1.

            П-23 (320191) На олимпиаде в вузе участников рассаживают по трём аудиториям. В первых двух по 120 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе. При подсчёте выяснилось, что всего было 250 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.

Решение: п = 250, k = 250 – 120*2 = 10. Получаем .

Ответ: 0,04.

            П-24 (320193) В фирме такси в наличии 50 легковых автомобилей; 27 из них чёрные с жёлтыми надписями на бортах, остальные  — жёлтые с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета с чёрными надписями.

Решение: п = 50, k = 50 – 27 = 23. Получаем .

Ответ: 0,46.

П-25 (320194) В группе туристов 30 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта.

Решение: п = 30 (всего туристов), k = 6 (количество туристов, попавших на первый рейс). Получаем .

Можно рассматривать п = 5 (всего рейсов 30 : 6 = 5), k = 1 (первый рейс). Получаем .

Ответ: 0,2.

П-26 (285922) Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов — первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

Решение: п = 75 (всего докладов), k =  (число докладов в последний день конференции). Получаем .

Ответ: 0,16.

П-27 (285923) Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

Решение: п = 80, k =. Получаем .

Ответ: 0,225.

П-28 (320192) В классе 26 человек, среди них два близнеца  — Андрей и Сергей. Класс случайным образом делят на две группы по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе.

Решение: Будем считать, что Андрей занял место в какой-то одной группе, тогда нужно найти вероятность того, что Сергей попадет в ту же группу. п = 25 (оставшиеся учащиеся класса, кроме Андрея), k = 12 (оставшееся количество «свободных мест» в группе Андрея). Получаем .

Ответ: 0,48.

П-29 (320200) На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых.

Решение: Пусть произведено х тарелок. Тогда 0,1х тарелок с браком, а 0,9х тарелок без брака При проверки качества будет выявлено 80% дефектных тарелок, т.е. 0,8*0,1х = 0,08х тарелок, тогда из дефектных тарелок пойдут на продажу 0,1х – 0,08х = 0,02х тарелок. Значит всего на продажу поступит 0,9х +0,02х = 0,92х тарелок.

п = 0,92х, k = 0,9х. Получаем .

Ответ: 0,98.

Комбинаторный метод решения задач.

О-8 Перестановкой из п элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке.

Р_п = п!

П-30 Сколькими способами могут быть расставлены 8 участниц финального забега по восьми беговым дорожкам?

Решение: Р₈ = 8! = 1*2*3*4*5*6*7*8 = 40320

О-9 Размещением из п элементов по k (k < n) называется любое множество, состоящее из любых k элементов, взятых в определенном порядке из данных п элементов.

.

            П-31 Учащиеся второго класса изучают 8 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было 4 различных предмета?

Решение: .

О-10 Сочетанием из п элементов по k называется любое множество, составленное из k элементов, выбранных из данных п элементов.

.

П-32 Из 15 членов туристической группы нужно выбрать трех дежурных. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:

            П-33 (320181) В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село за продуктами. Турист А. хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что А. пойдёт в магазин?

Решение: п =  (количество всех возможных способов),

k =  (турист А идет в село за продуктами в паре с одним из оставшихся туристов). Получаем .

k в данном случае можно определить проще – благоприятными исходами будут такие исходы А1, А2, А3 и А4 (1,2,3,4 – это один из четырех туристов).

Ответ: 0,4.

Геометрическая вероятность.

Если число исходов некоторого опыта бесконечно, то классическое определение вероятности не может служить характеристикой степени возможности наступления события того или иного события. В этом случае пользуются геометрическим подходом к определению вероятности. При этом вероятность события А есть отношение меры А (длины, площади, объема и т.д.) к мере U пространства элементарных событий.

            П-34 Точка брошена в круг радиуса R. Найдите вероятность того, что она попадает внутрь данного вписанного квадрата.

Решение: мера пространства U – площадь круга , мера события А – площадь вписанного квадрата . Тогда .

Ответ: 0,637.

            П-35 (320209) Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 10, но не дойдя до отметки 1 час.

Решение: мера пространства U – центральный угол 360°, мера события А – сектор с центральным углом 90° (часть циферблата от 10 до 1). Тогда Р(А) = .

Ответ: 0,25

Операции над событиями.

О-11 Суммой (объединением) событий А и В называют событие, состоящее в появлении либо только события А, либо только события В, либо и события А и события В одновременно.

А + В или 

Т.е. наступит хотя бы одно (по крайней мере одно) из данных событий.

Например: хотя бы одно попадание в мишень при двух выстрелах (или попадание в цель)

О-12 Событием, противоположным событию А, называют событие, которому благоприятны все элементарные события, не благоприятные событию А.

О-13 Произведением (пересечением) двух событий А и В называется событие, состоящее в совместном выполнении события А и события В.

АВ или А∩В

Например: попадание в цель при обоих выстрелах.

О-14 События называют несовместными, если они не могут произойти одновременно при одном и том же испытании.

Т-1  Вероятность суммы двух несовместных событий А и В (т.е. появления хотя бы одного события) равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В).

Сумма вероятностей противоположных событий А и  равна 1:

Р(А) + Р() = 1

П-36 (320171) На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение: событие А – достался вопрос по теме «Вписанная окружность»

                 событие В – достался вопрос по теме «Параллелограмм»

События несовместны, т.к. по условию нет вопросов, относящихся к обеим темам.

Тогда Р(А+В) = Р(А) + Р(В) = 0,2 + 0,15 = 0,35.

Ответ: 0,35.

            П-37 (320176) Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Решение: событие А – чайник прослужит меньше двух лет, но больше года

                 событие В – чайник прослужит не меньше двух лет

                 событие А+В – чайник прослужит больше года.

События А и В несовместны. По условию задачи Р(А+В) = 0,97, Р(В) = 0,89. Тогда Р(А) = Р(А+В) – Р(В) = 0,97 – 0,89 = 0,08.

Ответ: 0,08.

            П-38 (320198) Вероятность того, что на тесте по биологии учащийся О. верно решит больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того, что О. верно решит больше 10 задач, равна 0,74. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно 11 задач.

Решение: событие А – учащийся решит ровно 11 задач

                 событие В – учащийся решит больше 11 задач

События несовместны.

                 событие А+В – учащийся решит больше 10 задач.

По условию Р(В) = 0,67, Р(А+В) = 0,74.

Тогда Р(А) = Р(А+В) – Р(В) = 0,74 – 0,67 = 0,07.

Ответ: 0,07.

            П-39 (320203) Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19.

Решение: событие А – пассажиров меньше 15

                 событие В – пассажиров от 15 до 19

События несовместны.

                 событие А+В – пассажиров меньше 20.

По условию Р(А+В) = 0,94, Р(А) = 0,56.

Тогда Р(В) = Р(А+В) – Р(А) = 0,94 – 0,56 = 0,38.

Ответ: 0,38.

            П-40 (320196) При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше, чем 66,99 мм, или больше, чем 67,01 мм.

Решение: событие А – диаметр подшипника будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм

                 событие В – подшипник будет иметь диаметр меньше, чем 66,99 мм или больше, чем 67,01 мм

События противоположны.

По условию Р(А) = 0,965.

Тогда Р(В) = 1 – Р(А) = 1 – 0,965 = 0,035.

Ответ: 0,035.

О-15 События называют совместными, если они могут происходить одновременно.

Например: выпадение решки при подбрасывании двух монет.

Т-2 Вероятность суммы двух совместных событий А и В (появления хотя бы одного события) равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного появления, те

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ)

Для случая трех совместных событий формула имеет вид

Р(А+В+С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) – Р(АВ) – Р(АС) – Р(ВС) + Р(АВС)

            П-41 (320172) В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение: 1 способ:

                 событие А – кофе закончится в первом автомате

                 событие В – кофе закончится во втором автомате

                 событие А+В – кофе закончится хотя бы в одном автомате

                 событие АВ – кофе закончится в обоих автоматах

По условию задачи Р(А) = Р(В) = 0,3, Р(АВ) = 0,12

Тогда Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) = 0,3 + 0,3 – 0,12 = 0,48 – это вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном автомате. Значит противоположным будет событие – «кофе останется в обоих автоматах» и его вероятность равна 1 – Р(А+В) = 1 – 0,48 = 0,52.

2 способ:

                 событие А – кофе останется в первом автомате

                 событие В – кофе останется во втором автомате

                 событие А+В – кофе останется хотя бы в одном автомате

                 событие АВ – кофе останется в обоих автоматах

По условию задачи Р(А) = Р(В) = 1 – 0,3 = 0,7, Р(А+В) = 1 – 0,12 = 0,88

Тогда Р(АВ) = Р(А) + Р(В) – Р(А+В) = 0,7 + 0,7 – 0,88 = 0,52

Ответ: 0,52.

О-16 Два случайных события называют независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. В противном случае события называют зависимыми.

Т-3 Вероятность произведения (совместного появления) двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий

Р(АВ) = Р(А) × Р(В)

Теорема справедлива для любого числа попарно независимых событий.

Следствие: вероятность появления хотя бы одного события из п попарно независимых событий равна разности между 1 и произведением вероятностей событий, противоположных данным, т.е. .

            П-42 (319355) Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Решение: событие А – гроссмейстер А. играет белыми и выигрывает

                 событие В – гроссмейстер А. играет черными и выигрывает

События А и В независимые.

                 событие АВ – гроссмейстер выигрывает оба раза

По условию задачи Р(А) = 0,52, Р(В) = 0,3, тогда Р(АВ) = Р(А) × Р(В) = 0,52 × 0,3 = 0,156

Ответ: 0,156.

            П-43 (320201) В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).

Решение: событие А – первый продавец занят с клиентами

                 событие В – второй продавец занят с клиентами

                 событие С – третий продавец занят с клиентами

События А, В и С независимые.

                 событие АВС – все три продавца заняты с клиентами

По условию задачи Р(А) = Р(В) = Р(С) = 0,3, тогда Р(АВС) = Р(А) × Р(В) × Р(С) = 0,3 × 0,3 × 0,3 = 0,027

Ответ: 0,027.

            П-44 (320173) Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение: событие А – биатлонист попадает в мишень при одном выстреле

                 событие В =   – биатлонист не попадает в мишень при одном выстреле

События А и В независимые.

                 событие АААВВ – биатлонист три раза попал в цель и два раза промахнулся

По условию задачи Р(А) = 0,8, Р(В) = 1 – 0,8 = 0,2, тогда Р(АААВВ) = 0,8 × 0,8 × 0,8 × 0,2 × 0,2 = 0,02048 » 0,02.

Ответ: 0,02.

            П-45 (320210) Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

Решение: событие А – батарейка исправна                               Р(А) = 1 – 0,06 = 0,94

                 событие АА – обе батарейки исправны                   

Р(АА) = 0,94 × 0,94 = 0,8836

Ответ: 0,8836

П-46 (320205) Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Статор» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и последнюю игры.

Решение: событие А – «Статор» начинает игру первой

                 событие  - «Статор» не начинает игру первой

Р(А) = Р() = 0,5

Р = Р(АА) = 0,5×0,5×0,5 = 0,125

Ответ: 0,125.

П-47 (320202) По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.

Решение: событие А – товар не доставят из магазина А                       Р(А) = 1 – 0,8 = 0,2

                 событие В – товар не доставят из магазина Б                       Р(Б) = 1 – 0,9 = 0,1

Р = Р(АВ) = 0,2×0,1 = 0,02

Ответ: 0,02

П-48 (320175) Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение: событие А – лампа перегорит                                    Р(А) = 0,3

                 событие АА – обе лампы перегорят                          Р(АА) = 0,3×0,3 = 0,09

Р = 1 – Р(АА) = 1 – 0,09 = 0,91

Ответ: 0,91

П-49 (320212) На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу D.

Решение:

На пути паука от входа до выхода Д 4 разветвления, в каждом из которых паук должен выбрать одно из двух направлений, значит вероятность выбора нужного направления на каждом разветвлении равна 0,5. Тогда Р = 0,5⁴ = 0,0625

Ответ: 0,0625.

П-50 (320187)  При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?

Сложение и умножение вероятностей.

В некоторых следующих задачах для решения удобно использовать дерево вероятностей

П-51 (320188) Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.

Решение:                           

                        В                ^0,4      Н ^{0,2     0,4}             П

              В       Н       П        В       Н       П      В       Н       П

                  ^{0,4      0,2       0,4        0,4      0,2       0,4       0,4      0,2       0,4}

Р = Р(ВВ) + Р(ВН) + Р(НВ) = 0,4 × 0,4 + 0,4 × 0,2 + 0,2 × 0,4 = 0,16 + 0,08 + 0,08 = 0,32

Ответ: 0,32

П-52 (320174) В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Решение:  1 способ               _{0,95            0,05}

                                      Р                              Н

                             Р                   Н         Р                    Н

                            ^{0,95                 0,05       0,95                  0,05}

Р = 1 – Р(НН) = 1 – 0,05 × 0,05 = 1 – 0,0025 = 0,9975

            2 способ  событие А – автомат исправен

                            событие А+А – хотя бы один из автоматов исправен – сумма двух независимых событий

Тогда Р(А+А) = Р(А) + Р(А) – Р(АА) = 0,95 + 0,95 – 0,95×0,95 = 1,9 – 0,9025 = 0,9975

Ответ: 0,9975.     

П-53 (320183) Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза.

Решение: событие В – выиграет жребий

                 событие П – проиграет жребий

Р(В) = Р(П) = 0,5

Р = Р(ВВП) + Р(ВПВ) + Р(ПВВ) = 0,5×0,5×0,5 + 0,5×0,5×0,5 + 0,5×0,5×0,5 = 0,375

Ответ: 0,375.

П-54 (320199) Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание.

Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5.

Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

Решение: событие М – получил не менее 70 баллов по математике

                 событие Р – получил не менее 70 баллов по русскому языку

                 событие И – получил не менее 70 баллов по иностранному языку

                 событие О – получил не менее 70 баллов по обществознанию

По условию задачи Р(М) = 0,6, Р(Р) = 0,8, Р(И) = 0,7, Р(О) = 0,5

Р =  +  + Л×К = 0,6×0,8×0,7×0,5 + 0,6×0,8×(1 – 0,7)×0,5 + 0,6×0,8×0,7×0,5 = 0,168 + 0,072 + 0,168 = 0,408

Ответ: 0,408.

П-55 (319353) Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45 этих стекол, вторая –– 55. Первая фабрика выпускает 3 бракованных стекол, а вторая –– 1. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Решение:                               _{0,45            0,55}

                                      1                              2

                             К                   Б         К                    Б

                            ^{0,97                 0,03       0,99                  0,01}

Р = Р(1Б) + Р(2Б) = 0,45 × 0,03 + 0,55 × 0,01 = 0,0135 + 0,0055 = 0,019

Ответ: 0,019.

П-56 (320180) Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Решение:                                 _{0,4            0,6}

                      Пристрел.                                      Непристрел.

                             +                   -           +                    -

                            ^{0,9                   0,1         0,2                  0,8}

Р = 0,4 × 0,1 + 0,6 × 0,8 = 0,04 + 0,48 = 0,52

Ответ: 0,52.

         П-57 (320207) Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

Решение:                               _{0,95            0,05}

                            Здоров                                      Болен

                              -                    +         -                     +

                            ^{0,99                 0,01       0,1                   0,9}

Р = 0,95 × 0,01 + 0,05 × 0,9 = 0,0095 + 0,045 = 0,0545

Ответ: 0,0545.

         П-58 (320211) Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

Решение:                               _{0,98            0,02}

                       исправна                                       неисправна       + батарейка пройдет контроль

                              +                  -           +                     -                  - батарейка не пройдет контроль

                            ^{0,99                 0,01       0,01                   0,99}

Р = 0,98 × 0,01 + 0,02 × 0,99 = 0,0098 + 0,0198 = 0,0296

Ответ: 0,0296.

         П-59 (320177) Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Решение:                                   _{х            1-х}

                                      1                                      2

                             В                    -         В                     -

                            ^{0,4                    0,6       0,2                   0,8}              Р=0,35

0,35 = х × 0,4 + (1 – х) × 0,2

0,35 = 0,4х + 0,2 – 0,2х

0,2х = 0,15

х = 0,75

Ответ: 0,75.

            П-60 (320206) В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.

Решение:                                      _0,2        Х    _0,8

                 4 июля         _0,8  О      _{0,2               0,2}       Х  _0,8

                 5 июля     О                        Х    О                      Х

                              _{0,8            0,2    0,2          0,8      0,8     0,2  0,2           0,8}

                 6 июля   О       Х      О     Х    О      Х      О     Х

Р = Р(ООО) + Р(ОХО) + Р(ХОО) + Р(ХХО) = 0,2×0,8×0,8 + 0,2×0,2×0,2 + 0,8×0,2×0,8 + 0,8×0,8×0,2 = 0,128 + 0,008 + 0,128 + 0,128 = 0,392

Ответ: 0,392.

Краткое описание документа:

Данный материал рассчитан на несколько уроков. В работе представлены решения заданий Открытого банка задач ЕГЭ по математике по теме "Теория вероятностей", которые сопровождаются необходимым теоретическим материалом. Для данных уроков подготовлена также презентация, на слайдах которой приводятся основные определения и тексты заданий.