Урок по теме: "Степень с целым отрицательным показателем"

Готовимся к экзаменам

I часть:

1. Найдите значение выражения (m^-6)^-2 m^-14  при m = .
2. Какое выражение равно 2^-n?

А.   -2ⁿ.   Б.  .    В. .     Г. .

3. Масса Луны равна 7,35 · 10²² кг. Выразите массу Луны в миллионах тонн.

                 А.  7,35 · 10¹⁰ млн. т                        Б. 7,35 · 10¹³ млн. т

                 В.  7,35 · 10¹⁶ млн. т                        Г. 7,35 · 10¹⁹ млн. т

4. Вычислите значение выражения

               .

5. Запишите число  0,00018 в стандартном виде.

                 А.  1,8 · 10^-6                                   Б. 1,8 · 10^-4

                 В.  1,8 · 10^-5                                   Г. 1,8 · 10^-3

6. Установите соответствие:

А) 2^-3;          Б) ;    В)  5^-2;         Г)  .

1)   27;         2) ;              3)   ;        4) .

А	Б	В	Г

7. Выполните действие и результат запишите в виде десятичной дроби:

                                                   .

8.  Сравните:    (1,3 · 10^-2) ∙ (3 · 10^-1) и 0,004.

II часть:

1. Расположите  в порядке возрастания числа:

             ,   ,  .

2. Упростите выражение:

        (a^-2 - b^-2)·(b^-1 - a^-1)^-1 .

3. Сократите дробь:

      

1. Познавательные задания.

1.      Решите математическую шифровку. В ней спрятан год рождения очень известного чело­века:

                                 8°           (1/7)^-1            (1/3)^-2          (1/9)^-1    

2.      Какая самая яркая звезда  на зимнем ночном небе в северном полушарии?

Вычислите цепочку:

                                .

Полученное число – показатель яркости: Вега – 3; Венера – 2; Сириус -5; Альтаир – 6.

2. Найди ошибку:

 

                            

 

Немного истории

Понятие степени с натуральным показателем сформировалось еще у древних народов. Квадрат и куб числа использовались для вычисления площадей и объемов. В III в. вышла книга греческого ученого Диофанта «Арифметика», в которой было положено начало введению буквенной символики. В этой книге Диофант вводит символы для первых шести степеней.

Древние славяне тоже умели записывать большие числа, для этого у них были специальные названия для большого счета: «тысяща» =10³, «тьма» = 10⁶ , «легион» = 10¹² , «леодр» =10²⁴ , «ворон» = 10⁴⁸ , «колода» =10⁴⁹.  Из практики решения более сложных алгебраических задач возникла необходимость обобщения понятия степени и расширения его посредством введения в качестве показателя нуля, отрицательных и дробных чисел. Отрицательные показатели степени ввел еще в 15 веке математик Шюке,  в тоже время он ввел нулевой показатель. Англича­нин Джон Валлис впервые рассмотрел вопрос о целесо­образности употребления отрицательных показателей. Позже немецкий математик М. Штифель предложил считать a⁰  равным 1 и ввел название показатель . Отрицательные показатели встречаются в его книге «Полной арифметике» вышедшей в 1544 году.          

Современные обозначения степени числа берут начало из работ английских математиков Джона Валлиса и Исаака Ньютона.

  Исаак Ньютон стал применять их систематически. В од­ном из писем в 1676 г. Ньютон указал: "Как алгебраисты вместо АА, ААА и т.д. пишут А², А³ и т.д., так я ... вместо 1/а, 1/а², 1/а³ пишу а^-1, а^-2, а^-3и т.д."

«Нельзя быть математиком,
не будучи поэтом в душе».   К.Вейерштрасс

Если минус нам не нравится,                   Коль числитель единица,

С этим горем можно справиться:             Степень в знаменателе,

Знак меняем в показателе,                         Пишем мы ее как степень

Степень пишем в знаменателе,                 С целым показателем:

Сверху ставим единичку.                          Дробную черту стираем,

Получается? Отлично!                               Единицу убираем

                                                                      И еще, конечно, минус

                                                                      В показатель добавляем.

Конспект урока  алгебры в  8 «а» классе

Учитель: Прокушева С.Г.,  I категория, 13 разряд.

Тема: Степень с целым отрицательным  показателем и ее свойства.

Тип урока: Рефлексия и коррекция знаний.

Цели и задачи урока:

Деятельностная: формирование способности учащихся к коррекции знаний, фиксированию собственных затруднений в деятельности, выявление их причин, построению и реализации проекта выхода из затруднений.

Образовательная:  контроль и самоконтроль изученных понятий и алгоритмов по теме урока.

Оборудование:  раздаточный материал, настенные таблицы, дидактические материалы, рабочие тетради.

Ход урока.

1. Мотивация к учебной деятельности:

    Здравствуйте, ребята. Чтобы у нас царила атмосфера доброжелательности на уроке, и у нас все получилось, предлагаю настроить себя на работу. Все присутствующие у нас гости и вы, ребята, подумайте только о хорошем, посмотрите на соседа и улыбнитесь ему от души. Начнем наш урок. Пусть девизом сегодняшнего урока будут следующие слова: «Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их». Д. Пойя

Сегодня нам предстоит поработать над очень важной темой: «Степень с целым отрицательным показателем и ее свойства».  

Немного истории.

Понятие степени с натуральным показателем сформировалось еще у древних народов. Квадрат и куб числа использовались для вычисления площадей и объемов. В III в. вышла книга греческого ученого Диофанта «Арифметика», в которой было положено начало введению буквенной символики. В этой книге Диофант вводит символы для первых шести степеней.

Древние славяне тоже умели записывать большие числа, для этого у них были специальные названия для большого счета: «тысяща» =10³, «тьма» = 10⁶ , «легион» = 10¹² , «леодр» =10²⁴ , «ворон» = 10⁴⁸ , «колода» =10⁴⁹.  Из практики решения более сложных алгебраических задач возникла необходимость обобщения понятия степени и расширения его посредством введения в качестве показателя нуля, отрицательных и дробных чисел. Отрицательные показатели степени ввел еще в 15 веке математик Шюке,  в тоже время он ввел нулевой показатель. Англича­нин Джон Валлис впервые рассмотрел вопрос о целесо­образности употребления отрицательных показателей. Позже немецкий математик М. Штифель предложил считать a⁰  равным 1 и ввел название показатель. Отрицательные показатели встречаются в его книге «Полной арифметике» вышедшей в 1544 году.          

Современные обозначения степени числа берут начало из работ английских математиков Джона Валлиса и Исаака Ньютона.

            Исаак Ньютон стал применять их систематически. В од­ном из писем в 1676 г. Ньютон указал: "Как алгебраисты вместо АА, ААА и т.д. пишут А², А³ и т.д., так я ... вместо 1/а, 1/а², 1/а³ пишу а^-1, а^-2, а^-3и т.д.".

М.В. Ломоносов сказал: «Пусть кто- нибудь попробует вычеркнуть из математики степени, и он увидит, что без них далеко не уедешь».

      2.Актуализация знаний.

            Вы уже достаточно знаете и умеете по этой теме, поэтому вопрос:

Какие цели и задачи вы можете определить для себя на этом уроке?

(Ответы детей)

Итак,  наша с вами задача: обобщить и сложить в систему все те знания и умения, которыми вы владеете, провести коррекцию знаний, выявить затруднения и справиться с ними.

а) Для начала,  я хочу предложить вам познавательные  и очень интересные задания.

   1. Познавательные задания.

1.       Решите математическую шифровку. В ней спрятан год рождения очень известного чело­века:

                                 8°           (1/7)^-1            (1/3)^-2          (1/9)^-1    

                                 1                7                         9                  9

Это год рождения А.С. Пушкина.

А.С. Пушкин в романе "Евгений Онегин" очень интересно сказал об этих особенных числах:

«Мы почитаем всех нулями, А единицами – себя».

2.      Какая самая яркая звезда  на зимнем ночном небе в северном полушарии?

Вычислите цепочку:

                                .

Полученное число – показатель яркости: Вега – 3; Венера – 2; Сириус -5; Альтаир – 6.

Молодцы!

б) Теперь вспомним основные определения, понятия и свойства:

(используем таблицы на доске):

1.      Что означает запись   a^-n,  какое условие накладывается на число a?

2.      Чему равно a⁰,    ?

3.      Какими являются числа a^-n и  aⁿ?  

4.      Что означает запись  a · 10ⁿ,  какое условие накладывается на число a, как в этой записи называется число n?

5.      Свойства степени:

если a,b≠0, то

aⁿ ∙ a^m = a^{n + m}      Как называется это свойство?

aⁿ : a^m = a^{n – m}     Сформулируйте свойство?

(aⁿ)^m = a^{n ∙ m}        Как называется это свойство?

(a ∙ b)ⁿ = aⁿ∙ bⁿ   Сформулируйте свойство?

(a : b)ⁿ = aⁿ: bⁿ    Сформулируйте свойство?

Молодцы!

в)  Найди ошибку:

 

                                                    

Молодцы!  

                     А теперь, после повторения, определите свои знания на данном этапе урока.

(используем светофор из смайликов: красный – отлично; оранжевый – хорошо, но еще есть проблемы, зеленый – удовлетворительно).

2.      Обучающая самостоятельная работа в форме математического диктанта, с последующей взаимопроверкой. (без вариантов). А чтобы у вас был боевой настрой, и вас все получилось, я прочитаю вам стихи – подсказку:

«Нельзя быть математиком,
не будучи поэтом в душе».   К.Вейерштрасс

Если минус нам не нравится,                   Коль числитель единица,

С этим горем можно справиться:             Степень в знаменателе,

Знак меняем в показателе,                         Пишем мы ее как степень

Степень пишем в знаменателе,                 С целым показателем:

Сверху ставим единичку.                          Дробную черту стираем,

Получается? Отлично!                               Единицу убираем

                                                                      И еще, конечно, минус

                                                                      В показатель добавляем.

Математический диктант

1. Замените степень с целым отрицательным показателем дробью: y^-3.
2. Замените дробь степенью с целым отрицательным показателем: .
3. Представьте  в виде степени с натуральным показателем.
4. Вычислите:  4^-3.
5. Найдите значение выражения:  3^-4 · 3⁶.
6. Представьте в виде степени:  y⁴ :  y^-5.
7. Упростите выражение: (c^-3)⁴.
8. Запишите число 2 180 000 в стандартном виде.
9. Запишите число 0,00761 в стандартном виде.
10. Вычислите  .

Проверяем по критериям:  10 верно  - «5»;

                                             8 – 9 верно – «4»;

                                             7 – 6 верно – «3»;

                                             менее 6 – «2».

Подведем итоги. (провести опрос результатов) Есть над чем работать.

3. Динамическая пауза  (несколько упражнений для глаз, головы и шеи).

         4. Формирование умений и навыков.

Выполняем задания у доски, с подробными объяснениями. Используем дидактический материал к учебнику.

О – 7:   №1(1); №2(устно); №10(а) – дополнительно.

О – 8:   №2(2(б)), 3(а, в, г); №5(а, г); №7(а, б) – дополнительно.

Молодцы!

5. Контроль знаний. Самостоятельная работа.

Мы хорошо поработали вместе. Теперь посмотрим, как вы умеете работать самостоятельно. Вам предлагается следующая работа. Я сделала подборку различных  заданий по теме урока, которые встречаются на ГИА. Все эти задания вам знакомы, в процессе изучения темы мы их решали.  Если вы еще не очень уверены в своих силах и знаниях, но тему поняли, определения и свойства знаете, то я предлагаю выполнять задания из первой части. Ну, а если желаете испробовать свои силы на более сложных заданиях – задания из второй части для вас. (3 – 4 задания на ваш выбор из первой части; 1 – 2 задания на ваш выбор из второй части). Удачи вам!

Готовимся к экзаменам

I часть:

1. Найдите значение выражения (m^-6)^-2 m^-14  при m = .
2. Какое выражение равно 2^-n?

А.   -2ⁿ.   Б.  .    В. .     Г. .       

3. Масса Луны равна 7,35 · 10²² кг. Выразите массу Луны в миллионах тонн.

                 А.  7,35 · 10¹⁰ млн. т                        Б. 7,35 · 10¹³ млн. т

                 В.  7,35 · 10¹⁶ млн. т                        Г. 7,35 · 10¹⁹ млн. т

4. Вычислите значение выражения

               .

5. Запишите число  0,00018 в стандартном виде.

                 А.  1,8 · 10^-6                                   Б. 1,8 · 10^-4

                 В.  1,8 · 10^-5                                   Г. 1,8 · 10^-3

6. Установите соответствие:

А) 2^-3;          Б) ;    В)  5^-2;         Г)  .

1)   27;         2) ;              3)   ;        4) .

А	Б	В	Г

7. Выполните действие и результат запишите в виде десятичной дроби:

                                                   .

8.  Сравните:    (1,3 · 10^-2) ∙ (3 · 10^-1) и 0,004.

II часть:

1. Расположите  в порядке возрастания числа:

             ,   ,  .

2. Упростите выражение:

        (a^-2 - b^-2)·(b^-1 - a^-1)^-1 .

3. Сократите дробь:

       .

6. Подведение итогов. Рефлексия.

                Продолжите фразы:

• Сегодня на уроке я узнал...
• Сегодня на уроке я научился...
• Сегодня на уроке я познакомился...
• Сегодня на уроке я повторил...   
• Сегодня на уроке я закрепил...

А теперь нам снова поможет светофор. Определите теперь свое настроение и отношение к данной теме. Вывод.

7. Задание на дом:

Вопросы 10 - 12 стр. 54 учебника «Алгебра 8 класс» под редакцией Г.В. Дорофеева;

I уровень: Рабочая тетрадь: №39(б, г, е); № 46(б, д); №49(б – д);

II уровень: Рабочая тетрадь: №50; №53; №57.

III уровень: Учебник: №161(а); №215(а, в); №216(а, б).

Спасибо за урок, дети!!! Вы замечательно поработали!

Математический диктант

1. Замените степень с целым отрицательным показателем дробью: y^-3.
2. Замените дробь степенью с целым отрицательным показателем: .
3. Представьте  в виде степени с натуральным показателем.
4. Вычислите:  4^-3.
5. Найдите значение выражения:  3^-4 · 3⁶.
6. Представьте в виде степени:  y⁴ :  y^-5.
7. Упростите выражение: (c^-3)⁴.
8. Запишите число 2 180 000 в стандартном виде.
9. Запишите число 0,00761 в стандартном виде.
10. Вычислите  .

Математический диктант

1. Замените степень с целым отрицательным показателем дробью: y^-3.
2. Замените дробь степенью с целым отрицательным показателем: .
3. Представьте  в виде степени с натуральным показателем.
4. Вычислите:  4^-3.
5. Найдите значение выражения:  3^-4 · 3⁶.
6. Представьте в виде степени:  y⁴ :  y^-5.
7. Упростите выражение: (c^-3)⁴.
8. Запишите число 2 180 000 в стандартном виде.
9. Запишите число 0,00761 в стандартном виде.
10. Вычислите  .

Проверяем по критериям:  10 верно  - «5»;

                                             8 – 9 верно – «4»;

                                             7 – 6 верно – «3»;

                                             менее 6 – «2».

Проверяем по критериям:  10 верно  - «5»;

                                             8 – 9 верно – «4»;

                                             7 – 6 верно – «3»;

                                             менее 6 – «2».

 Свойства степени:

если a,b≠0, то

aⁿ∙ a^m = a^{n + m}

aⁿ: a^m = a^{n – m} 

(aⁿ)^m = a^{n ∙ m} 

(a ∙ b)ⁿ = aⁿ∙ bⁿ

(a: b)ⁿ = aⁿ: bⁿ

a∙10ⁿ ,

 где 1 ≤ a < 10

- Сегодня  на уроке  я  узнал …

- Сегодня  на уроке я научился …

- Сегодня  на уроке я  познакомился …

- Сегодня  на уроке я повторил …

- Сегодня  на уроке я закрепил …

Тема урока:

«Степень с целым отрицательным показателем

 и ее свойства».

«Пусть кто - нибудь попробует вычеркнуть из математики степени, и он увидит, что без них далеко не уедешь». М.В. Ломоносов

«Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их».  Д. Пойя