Урок по теме "Сумма первых n членов арифметической прогрессии"

Учитель: Куксенко Наталья Николаевна

Предмет: математика

Класс: 9

Тема: Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Формируемое УУД: Выдвижение гипотез, их обоснование через поиск решения путем проведения исследования с поэтапным контролем и коррекцией результатов работы.

Цель:

Вывести формулу для нахождения суммы n первых членов арифметической прогрессии; способствовать формированию умения и навыков применять эту формулу при решении задач;

Задачи:

•  познакомить учащихся с выводом формулы сумм n первых членов арифметической прогрессии; учить учащихся применять полученные формулы при решении задач.
• развивать творческую и мыслительную деятельность учащихся на уроке посредством анализа арифметической прогрессии, вывода формул; с помощью решения задач исследовательского характера и самостоятельного вывода учащимися формул, свои мысли.

Ход урока:

1.      Актуализация

Задача. Новый русский решил отгородить бассейн на даче фигурной стеной. Позвав строителей, начал объяснять. - В нижний ряд укладывается 19 блоков, на него кладётся 17 блоков, затем 15 и так далее. Всего 8 рядов. «Арифметическая прогрессия какая-то получается», - произнес бригадир. Прав бригадир?

Выпишите числа, соответствующие количеству блоков каждого ряда: 19, 17, 15, 13, 11, 9, 7, 5. Получили последовательность чисел. Опишите её.

Ответ: Эта последовательность является примером конечной убывающей арифметической прогрессии, первый член которой а₁ = 19, а разность d = - 2.

Сформулируйте определение арифметической прогрессии.

Какие задания вы могли бы предложить классу, используя эти данные так, чтобы они могли бы выполнить их устно?

Варианты заданий:

Найдите 18-й член прогрессии.

Сколько положительных чисел являются членами этой прогрессии?

Чему равен первый отрицательный член этой прогрессии? и т. д.

Являются ли арифметическими прогрессиями следующие последовательности чисел

(последовательности чисел заранее записаны на доске):

а) 1; 2; 3; 4; 5; 6; … ,

б) 5; 5; 5; 5; 5; …

в) 1; 2; 2²; 2³; 2⁴; 2⁵;: 2⁶³;…

Проблематизация  (учебное задание) 

Учащиеся работают в парах. Учитель даёт инструктаж по работе в парах.

Предлагается в парах решить задачу: Найти сумму первых 100 членов арифметической прогрессии

(): 1; 2; 3;…;100

Учитель: Рассказывают, что, когда, великий немецкий математик Карл Гаусс учился в начальной школе, преподаватель предложил ученикам самостоятельно найти сумму ряда от 1 до 100. Он предполагал, что ученики будут складывать эти числа по порядку, на что потребуется не менее 10 минут. Какого же было его удивление, когда маленький Карл через 1-2 минуты заявил, что он задание выполнил и дал правильный ответ. Не могли бы вы ответить на вопрос столь же быстро? Обсудите решение задачи в парах.

Проверка выполнения задания:

Парам даётся 5 минут на выполнение задания

Учащимся предлагается записать понравившееся им решение в тетрадь.

Решение:

I способ:

Объяснение Гаусса(сопровождается слайдом 4):

"Я заметил, что 1+100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101 и т. д. Пара ровно отстоящих от краёв ряда чисел даёт 101 и последняя пара средних чисел даёт 101 = 50 + 51. Числа, взятые по паре с начала и с конца ряда встречаются в середине после 50 сложений этих пар. Поэтому надо 10150 = 5050. Это число и будет суммой всех 100 чисел".

II способ:

S=1+2+3+4+5+6+:+97+98+99+100

S=100+99+98+97+:+6+5+4+3+2+1

2S= 101+101+101+:+101

2S=101100

S=5050

Решая задачу, приходим к выводу о необходимости вывода формулы для нахождения суммы первых n членов, так как затруднились быстро решить эту задачу.

Целеполагание:

— Учитель: Кто может назвать тему  урока?

—Ученики: Сумма первых n членов арифметической прогрессии

— Учитель: Чему мы должны научиться на уроке?

 Ученики: Цель:  Научиться находить сумму первых n членов арифметической прогрессии

 — Учитель: Результатом работы будет умение применять формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии, знание формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии.

Планирование:

Текст:

Вернёмся на дачу к нашим героям. Как побыстрее вычислить количество блоков в фигурной стене?

- Э,- сказал прораб Пётр Иванович, - да стена трапецию напоминает. Площадь трапеции - полсуммы оснований на высоту. А у нас нижнее основание а₁=19, верхнее а₈=5, высота 8 слоёв, то есть 96 блоков. S_n=

Учитель: Проанализировав решение предыдущих заданий, видим что равенство 

S_n= является формулой суммы n первых членов арифметической прогрессии.

Основная часть (работа в группах)

Перейдем к выполнению заданий.

1 задание: Распределите предложенные числовые последовательности по группам:

1. 9; 13; 17; 21;….
2. 1; 4; 9; 16.
3. -18; -15; -12;….
4. 1; 2; 4; 9; 16;….
5. 2; 4; 8; 16.
6. 1; 11; 21; 31.
7. 6; 8; 10; 12;….
8. 25; 21; 17;….
9. 3; -2; 8; -12.

Возможное распределение по группам:

• конечные, бесконечные;
• арифметическая прогрессия, не арифметическая прогрессия.

Вопрос № 1:

Для прогрессии №1 найдите сумму 20-ти первых членов.  (С)

Решение (разобрать вместе): ; ;  

Вопрос № 2:

Для прогрессии №3 найдите  . (Г)

Решение (у доски 3 человека): ; ; 

Вопрос № 3:

Для прогрессии №6 найдите  . (А)

Решение (самостоятельно с последующей проверкой):

 ; ; 

Вопрос №4:

Для прогрессии №7 найти  . (С)

Решение: ; ; 

Вопрос №5:

Для прогрессии №8 найдите  . (У)

Решение: ;  ; 

Расположите полученные суммы в порядке возрастания:

-60	33	85	594	940
Г	А	У	С	С

Это имя «царя математики» как его называли в свое время. Карл Гаусс (1777-1855) нашел моментально сумму всех натуральных чисел от 1 до 100 будучи еще учеником начальной школы. В дальнейшем Гаусс сделал еще много замечательных открытий.

Оценивание: Учащиеся оценивают свою работу на уроке

Рефлексия: Я хочу узнать, с какими открытиями вы познакомились и какой опыт вы получили?

Перспектива (домашнее задание): п 4.3 № 615, 616(а), 618

Задание 1: Распределите предложенные числовые последовательности по группам:

1.       9; 13; 17; 21;….

2.       1; 4; 9; 16.

3.       -18; -15; -12;….

4.       1; 2; 4; 9; 16;….

5.       2; 4; 8; 16.

6.       1; 11; 21; 31.

7.       6; 8; 10; 12;….

8.       25; 21; 17;….

9.       3; -2; 8; -12.

Вопрос № 1:

Для прогрессии №1 найдите сумму 20-ти первых членов.  (С)

Вопрос № 2:

Для прогрессии №3 найдите  . (Г)

Вопрос № 3:

Для прогрессии №6 найдите  . (А)

Вопрос №4:

Для прогрессии №7 найти  . (С)

Вопрос №5:

Для прогрессии №8 найдите  . (У)

Задание 2: Расположите полученные суммы в порядке возрастания:

Задание 1: Распределите предложенные числовые последовательности по группам:

1.       9; 13; 17; 21;….

2.       1; 4; 9; 16.

3.       -18; -15; -12;….

4.       1; 2; 4; 9; 16;….

5.       2; 4; 8; 16.

6.       1; 11; 21; 31.

7.       6; 8; 10; 12;….

8.       25; 21; 17;….

9.       3; -2; 8; -12.

Вопрос № 1:

Для прогрессии №1 найдите сумму 20-ти первых членов.  (С)

Вопрос № 2:

Для прогрессии №3 найдите  . (Г)

Вопрос № 3:

Для прогрессии №6 найдите  . (А)

Вопрос №4:

Для прогрессии №7 найти  . (С)

Вопрос №5:

Для прогрессии №8 найдите  . (У)

Задание 2: Расположите полученные суммы в порядке возрастания: