Урок по теме «Теорема Эйлера»

Урок по теме «Теорема Эйлера»

Целью данных уроков является знакомство учащихся с одним из наиболее важных свойств выпуклых многогран­ников — теоремой Эйлера. Эта теорема связывает вмес­те число вершин, ребер и граней выпуклого многогран­ника. Она положила начало одному из наиболее интен­сивно развивающихся в настоящее время направлений гео­метрии — топологии.

Проверка домашнего задания

Начинаем урок с проверки домашнего задания пре­дыдущего урока, посвященного выпуклым многогран­никам и их свойствам. Затем слушаем заранее подго­товленное сообщение ученика на тему «Жизнь и твор­чество JI. Эйлера».

При подготовке этого сообщения можно восполь­зоваться следующей литературой:

1.          Гиндикин С.Г. Леонард Эйлер//Квант, 1983, № 10, 11.

2.          Яковлев А.Я. Леонард Эйлер. —М.: Просвеще­ние, 1983.

Новый материал

Учащимся предлагается заполнить таблицу, по­ставив в нее числа, соответствующие количеству вер­шин (В), ребер (Р) и граней (Г) указанных много­гранников.

Название многогранника	В	Р	Г
Треугольная пирамида	4	6	4
Четырехугольная пирамида	5	8	5
Треугольная призма	6	9	5
Четырехугольная призма	8	12	6
n-угольная пирамида	n + 1	2n	n + 1
n-угольная призма	2n	Зn	n + 2

Вопрос. Какая зависимость имеется между чис­лом вершин, ребер и граней этих многогранников?

Ответ. Для всех выбранных многогранников имеет место равенство В - Р + Г = 2.

Оказывается, что данное равенство справедливо не только для указанных многогранников, но и для про­извольного выпуклого многогранника. Впервые это свойство выпуклых многогранников было доказано Леонардом Эйлером в 1752 году и получило название теоремы Эйлера.

Теорема Эйлера. Для любого выпуклого многогран­ника имеет место равенство

В - Р + Г = 2,                       (*)

где В — число вершин, Р — число ребер и Г — число граней данного многогранника.

Теорему Эйлера историки математики называют первой теоремой топологии — раздела геометрии, который изучает свойства фигур, не меняющихся при непрерывных деформациях, допускающих любые растяжения и сжатия, но без разрывов или дополни­тельных склеек. Такие свойства называются тополо­гическими. Соотношение Эйлера В - Р + Г = 2 для выпуклых многогранников является как раз таким топологическим свойством. Многогранник можно как угодно деформировать, при этом ребра и грани могут искривляться, однако их число, а следовательно, и соотношение Эйлера не меняются. При этом много­гранник может стать невыпуклым, тем не менее для него будет выполняться соотношение Эйлера. Однако есть невыпуклые многогранники, для которых соот­ношение Эйлера не выполняется. Пример такого мно­гогранника приведен на рисунке 1. Он получается, если в кубе вырезать дыру в форме параллелепипеда.

Учащимся предлагается самостоятельно найти число вершин, ребер и граней этого многогранника.

В результате получаем:

В = 16, Р = 32, Г = 16, В - Р + Г = 0.

Оказывается, что для выполнимости соотношения Эйлера существенным является не столько выпуклость многогранника, сколько то, что у него нет дыр. По­верхность выпуклого многогранника непрерывной деформацией можно сделать такой же, как у шара, а с поверхностью многогранника, изображенного на рисунке 1, этого сделать нельзя.

Доказательство (теоремы Эйлера). Представим по­верхность данного многогранника сделанной из элас­тичного материала. Удалим (вырежем) одну из его граней и оставшуюся поверхность растянем на плос­кости.

Это можно сделать, например, с помощью цент­рального проектирования с центром в точке S, распо­ложенной немного выше удаленной грани ABCDE (рис. 2).

В результате на плоскости получим сетку (рис. 3), состоящую из Г' = Г - 1 многоугольников (которые по-прежнему будем называть гранями), В вершин и Р ребер.

Рис.3

Для этой сетки нужно доказать равенство

В - Р + Г' = 1.                    (**)

Тогда для многогранника будет справедливо тре­буемое равенство (*).

Докажем, что соотношение (**) не изменится, если в каком-нибудь многоугольнике сетки провести диа­гональ. Действительно, после проведения такой диа­гонали (например, EF) в сетке будет В вершин, Р + 1 ребер и Г' + 1 граней, следовательно,

В - (Р + 1) + (Г' + 1) = В - Р + Г'.

Пользуясь этим свойством, проведем в сетке диа­гонали, разбивающие входящие в нее мно­гоугольники на треугольники, и для полученной треугольной сетки (рис. 4) покажем выполнимость соотношения (**).

Для этого будем последовательно убирать край­ние треугольники. При этом возможны два случая:

а) для удаления треугольника требуется снять одно ребро (на рис. 4 для удаления треугольника ABF тре­буется снять ребро АВ);

б) для удаления треугольника требуется снять два ребра (на рис. 5 для удаления треугольника BCF тре­буется снять ребра ВС и BF).

В обоих случаях соотношение (**) не изменится. Например, в первом случае после удаления треуголь­ника сетка будет состоять из В вершин, Р - 1 ребер и Г' - 1 граней, В - (Р - 1) + (Г' - 1) = В - Р + Г'.

Самостоятельно рассмотрите второй случай (рис. 6).

Таким образом, удаление одного треугольника не меняет соотношения (**). Продолжая этот процесс уда­ления треугольников, в конце концов мы придем к сетке, состоящей из одного треугольника. Для такой сетки В = 3, Р = 3, Г' = 1, следовательно,

В - Р + Г = 1.

Значит, соотношение (**) имеет место и для исход­ной сетки, откуда окончательно получаем, что для данного многогранника справедливо соотношение (*).

Решение задач

Задача 1. Гранями выпуклого многогранника яв­ляются только треугольники. Сколько у него вершин и граней, если он имеет 12 ребер? Нарисуйте такой многогранник.

Решение. Пусть у данного многогранника будет В вершин, Р ребер и Г граней. Тогда ЗГ = 2Р, где Р = 12, значит, Г = 8. Применяем теорему Эйлера, из которой следует, что В = 2 + Р - Г. В нашем случае В = 2 +12-8 = 6. Итак, В = 6, Р = 12, Г = 8. Приме­ром такого многогранника является октаэдр (рис. 7).

Задача 2. Из каждой вершины выпуклого много­гранника выходит три ребра. Сколько он имеет вер­шин и граней, если число ребер равно 12? Нарисуйте такой многогранник.

Решение. ЗВ = 2Р, учитывая, что Р = 12, имеем: В = 8. По теореме Эйлера

Г=2-В + Р, Г = 2- 8 + 12 = 6.

Таким образом, у данного выпуклого многогран­ника В = 8, Р=12иГ = 6. Примером такого много­гранника является куб.

Задача 3*. Докажите, что в любом выпуклом мно­гограннике число треугольных граней плюс число трехгранных углов больше или равно восьми.

Решение. Обозначим через Г_n число граней с п реб­рами. Тогда Г = Г₃ +  +++ ... Каждая тре­угольная грань имеет три ребра, и число треуголь­ных граней равно Г₃. Поэтому общее число ребер в треугольных гранях равно З Аналогично, общее чис­ло ребер в четырехугольных гранях равно 4, и т.д.

Поскольку каждое ребро многогранника содержит­ся ровно в двух гранях, то при таком подсчете ребер мы каждое ребро посчитаем дважды, следовательно, будет иметь место равенство

2Р = ЗГ₃++++… .

Аналогичным образом обозначим через В число вершин, в которых сходится п ребер.

Тогда В = В₃ +  +  + В₆ + ...

Значит, для числа ребер (Р) будет иметь место ра­венство

2Р = ++++…

Воспользуемся равенством 4В - 4Р + 4Г = 8, полу­чающимся умножением обеих частей равенства Эй­лера на 4.

Имеем

4В = ++++…

4Г = 4 + 4 + 4++…

4Р = 2Р + 2Р = З+ 4, + 5 +

++…+++++…

Подставляя эти выражения в указанное равенство, получим:

В₃ + Г₃-(В₅ + 2В₆+... + Г₅ + 2Г₆ +...) = 8.

Из этого следует, что В₃₊Г₃ ≥ 8, что и требова­лось доказать.

В качестве приложения теоремы Эйлера рассмот­рим задачу Эйлера о трех домиках и трех колодцах.

Задача 4. Три соседа имеют три общих колодца. Можно ли провести непересекающиеся дорожки от каждого дома к каждому колодцу?

Решение. Попробуем провести требуемые дорожки. На рисунке 8 показано расположение дорожек, две из которых пересекаются. Попытки провести непересе­кающиеся дорожки к успеху не приводят. Однако это не означает, что этого нельзя сделать. То, что не полу­чается у нас, может получиться у кого-нибудь друго­го. Если же мы предполагаем, что непересекающиеся дорожки провести нельзя, то это нужно доказать. До­казательство будем вести от противного. Предположим, что это можно сделать. Каждую точку-домик соеди­ним с каждой точкой-колодцем. Получим девять ре­бер, которые попарно не пересекаются.

Рис.8

Эти ребра образуют на плоскости сетку, аналогич­ную той, которая была получена при доказательстве теоремы Эйлера. Поэтому для числа вершин, ребер и граней этой сетки должно выполняться соотношение Эйлера В – Р+Г' — 1. Добавим к ней еще одну грань — внешнюю часть плоскости по отношению к исходно­му многоугольнику. Тогда соотношение Эйлера при­мет вид В - Р + Г = 2, причем В = 6 и Р = 9. Следова­тельно, Г должно равняться пяти.

Заметим, что поскольку дорожки не соединяют меж­ду собой никакие два домика и никакие два колодца, то у рассматриваемой сетки нет треугольных граней. Каждая из пяти граней имеет по крайней мере четыре ребра. Так как каждое ребро лежит ровно в двух гранях, то количество ребер должно быть не меньше =10, что противоречит тому, что их число равно 9. Полученное противоречие показывает, что ответ в зада­че отрицателен — нельзя провести непересекающиеся дорожки от каждого домика к каждому колодцу.

Задание на дом

1.                    Гранями выпуклого многогранника являются только четырехугольники. Сколько у него вершин и граней, если число ребер равно 12? Нарисуйте такой многогранник.

2.                    В каждой вершине выпуклого многогранника сходится по четыре ребра. Сколько он имеет вершин и граней, если число ребер равно 12? Нарисуйте та­кой многогранник.

3.                    Гранями многогранника являются двенадцать правильных пятиугольников, и в каждой вершине сходится три ребра. Сколько у него вершин и ребер? Приведите пример такого многогранника.

4*. Докажите, что у любого выпуклого многогран­ника найдется треугольная, четырехугольная или пятиугольная грань.

5*. Докажите, что у любого выпуклого многогран­ника найдется трехгранный, четырехгранный или пятигранный угол.

6. Можно ли четыре домика соединить непересекающимися дорожками с четырьмя колодцами так, чтобы каждый домик был соединен с тремя колодца­ми и каждый колодец — с тремя домиками?

Ответы и решения

1.                     4Г = 2Р, Г = 6, В = 2 + Р - Г, В = 2 + 12 - 6 = 8. Итак, В = 8, Р = 12 и Г = 6. Примером такого многогранника является куб.

2.                     4В = 2Р, В = 6, Г = 2 - В + Р, Г = 2 - 6 + 12 = 8. Итак, В = 6, Р = 12, Г = 8. Примером такого многогранника явля­ется октаэдр.

3.                     ЗВ = 2Р, 5Г = 2Р. Подставляя выражения для В и Г в равенство В - Р + Г = 2, получим: — Р-Р+Р=2.

Откуда находим Р = 30, В = 20. Примером такого много­гранника является додекаэдр.

4*. Имеем равенства: 2Р = ЗВ₃ + 4В₄ + 5В₅ + 6В₆ + ..., 2Р = ЗГ₃ + 4Г₄ + 5Г₅ + 6Г₆ + ... Предположим, что у выпукло­го многогранника нет треугольных, четырехугольных и пя­тиугольных граней. Тогда второе равенство можно перепи­сать в виде 2Р = 6Г₆ + ..., и из него следует неравенство 2Р ≥ 6Г. Из первого равенства следует неравенство 2Р ≥ ЗВ и, следовательно, неравенство 4Р ≥ 6В. Используя эти неравен­ства, получим: 6В - 6Р + 6Г ≤ 0. С другой стороны, по теоре­ме Эйлера 6В - 6Р + 6Г = 12. Получили противоречие. Зна­чит, у любого выпуклого многогранника обязательно най­дется треугольная, четырехугольная или пятиугольная грань.

5*. Решение аналогично решению задачи 4*.

6. Да.

Обводим линии

Попробуем линию, изображенную на рисунке 1, об­вести одним росчерком, то есть не отрывая каран­даша от листа бумаги и не проходя по одной и той же части линии более одного раза.

Рис.1

Фигура эта, такая простая на вид, оказывается, имеет интересную особенность. Если мы начнем дви­жение из узла В, то у нас это обязательно получится. Один из вариантов обвода показан на рисунке 2.

Рис.2

А что будет, если мы начнем движение из узла А? Легко убедиться, что обвести линию в этом случае нам не удастся: у нас всегда будут оставаться не пройденные отрезки, добраться до которых уже невозмож­но. Две такие неудачные попытки обхода показаны на рисунках 3 и 4.

Кергнуеногу

Решите задачи 1—5:

1.      а) Удастся ли обвести линию (см. рис. 1), если начать движение из узла С? а из узла D?

б)         Вы начали движение из узла В. Где вы закон­чите движение?

2.                  Назовите все узлы линии (рис. 5), начав с кото­рых ее можно обвести одним росчерком. Начертите в тетради линию одним росчерком, отметьте начало движения и покажите стрелками направление дви­жения.

Рпворроллрлрлррлрлрлр

3.      На рисунке б изображена линия, которую вы, наверное, умеете рисовать одним росчерком. Это звез­да. Оказывается, хотя она и выглядит значительно более сложной, чем предыдущие линии, обвести ее можно, начав с любого узла.

Рис. 6

Начертите звезду несколько раз, начиная движе­ние из разных узлов.

4.                  Линию, изображенную на рисунке 7, как и звез­ду, можно начертить одним росчерком, начав движе­ние из любого узла. Вычертите эту линию дважды: начав с узла, из которого выходят два отрезка, а за­тем из узла, из которого выходят четыре отрезка.

5.                       а)

б)

                                                    Рис.7