Урок по теме " Теорема Пифагора"

Предмет: геометрия

Класс: 8

Тема: «Теорема Пифагора»

Цель урока: изучить теорему Пифагора и рассмотреть ее применение в решении задач.

Задачи:

Образовательная:

- исследовать закономерности между сторонами прямоугольного треугольника;

- изучить теорему Пифагора;

- применять теорему Пифагора при решении задач.

Развивающая: развивать умения наблюдать, сопоставлять, анализировать.

Воспитательная: формировать потребность в знаниях, в занятиях математикой.

Тип урока: формирование новых знаний и умений.

Предметные результаты:

Знать: формулировку теорему Пифагора.

Уметь: доказывать теорему Пифагора и применять её при решении задач.

Межпредметные результаты:

- представление исторических сведений по данной теме.

Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная, групповая.

Дидактические средства: учебник, чертежи к теореме, чертежи к задачам, портрет Пифагора, задания, тесты каждому уч-ся.

Методы: частично-поисковый метод. 

Ход урока

1.     Организационный момент.

Эпиграф урока

«…Геометрия владеет двумя сокровищами:

Одно из них - это теорема Пифагора,

которую можно сравнить с мерой золота»

Иоганн Кепле

(слово учителя):

-Здравствуйте, ребята, я предлагаю вам начать наш урок с улыбки. Так улыбнитесь же друг другу, и пусть всем нам сопутствует успех во всех начинаниях! А успех нам с вами, ох как пригодится, ведь мы сегодня начинаем изучать очень важную тему и не только для геометрии. А подсказкой к теме нашего урока будет следующий кроссворд.

Кроссворд по вертикали: 1. Часть геометрии, в которой рассматриваются свойства фигур на плоскости. 

5 кроссворд 2. Квадрат, круг, прямоугольник… Объединяющее их понятие. 

6 кроссворд 3. Какая фигура может о себе сказать: Мне служит головой вершина. А то, что вы считаете ногами, Все называют сторонами. Увеличить стороны мои, когда угодно, Вы сможете совсем свободно. 

7 кроссворд 4. Три угла и три вершины, И ещё три стороны- Вот такие элементы От природы мне даны. О какой фигуре идёт речь? 

8 кроссворд 5. Поговорим о прямоугольном треугольнике. Как называют сторону, противолежащую прямому углу? 

9 кроссворд 6. Нас трое в семье: я, брат и сестрица. Сестра своим именем очень гордится. Ну, как же - она ведь гипотенуза, А мы для неё просто обуза. А как же зовут брата? 

10 кроссворд 7. Переведите с греческого языка на русский слово «землемерие» 

11 кроссворд 8. Как в математике называют утверждение, требующее доказательства? 

- Какое же слово у нас получилось по вертикали?, а по горизонтали?

( Теорема Пифагора).

-Молодцы.

Сегодня на уроке вы получите знания по одной из немногих теорем геометрии, которую помнят все поколения. Должны знать ее и вы.

Откройте тетради и запишите сегодняшнюю дату и тему урока. Но прежде чем мы приступим к изучению нового материала, покажите мне знания, которые нам необходимы для этого, выполнив следующий тест.

2. Актуализация опорных знаний.

Работа в парах, выполнение теста с взаимопроверкой, выставление оценок друг другу (критерии оценок прилагаются), анализ результатов, сверка ответов по ключу (правильность выставления оценок).

Тест

1) Треугольник называется прямоугольным, если у него один из углов:

а) 45° б) 180° в) 60° г) 90°

2) Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется …

а) катет б) гипотенуза в) боковая г) прямая

3) Стороны прямоугольного треугольника, образующие прямой угол, называются ...

а) лучи б) катеты в) прямые г) боковые

4) Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна …

а) 45° б) 180° в) 60° г) 90°

5) Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине …

а) лучу б) линии в) гипотенузы г) прямой

6) Площадь квадрата равна квадрату его…

а) стороны б) линии в) трех сторон г) прямой

7) Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен…

а) 45° б) 30° в) 60° г) 90°

8) Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна………. площадей этих многоугольников.

а) разности б)сумме в)произведению г)делению

9) Площадь треугольника равна…

10) Площадь прямоугольного треугольника равна…

3. Открытие новых знаний.

1)Создание проблемной ситуации:

А теперь давайте решим небольшую задачу.

В 4 м друг от друга растут два дерева. Высота одного 5 м, а другого – 2 м. Найдите расстояние (в метрах) между их верхушками.

- Начертите в тетрадях рисунок.

- Какая фигура получилась?

- Какие стороны известны?

- Что нужно найти?

Тех знаний о прямоугольном треугольнике, которые мы имеем, не хватает. Последнюю задачу решить не можем.

2) Цель: научиться находить третью сторону прямоугольного треугольника, если известны две другие.

3) Открытие теоремы Пифагора. Исследовательская деятельность.

Работа в парах

- Чтобы это выяснить, мы займемся исследовательской деятельностью.

Практическое задание:

Начертите в тетрадях прямоугольный треугольник с катетами а и в:

1ряд - 3 и 4; 2ряд - 6 и 8; измерьте его гипотенузу и заполните таблицу

а	в	с	с2	а2 +в2
3	4
6	8

Сравните сумму квадратов катетов с квадратом гипотенузы.

Сделайте вывод: в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Это утверждение и есть теорема Пифагора (гипотеза).

- Ребята! Утверждение, которое вы только что сформулировали, является одной из важнейших теорем геометрии и имеет своё имя – теорема Пифагора

4. Историческая справка.

(выступление ученика)о Пифагоре Самосском

 (Слово учителя):

-Перед тем, как приступить к доказательству теоремы Пифагора, прошу выслушать следующие сведения: (сообщение учащегося)(2).

Пифагор – легендарная фигура в истории математики и философии древнего мира. Величайшая заслуга Пифагора перед наукой состоит в том, что он создал научную школу.

Большим достижением пифагорейцев было открытие несоизмеримых отрезков. Несоизмеримость получила громкую известность, привлекла внимание лучших умов.

Важным открытием Пифагора является также теорема о том, что сумма углов треугольника равна 180°.

Пифагору и его ученикам приписывают создание учения о числах: чётных и нечётных, простых и составных, совершенных и фигурных; нахождение способов построения некоторых правильных многоугольников и многогранников; разработку учения об арифметических, геометрических и гармонических пропорциях. Пифагор заложил основы учения о подобии, ввёл систематические доказательства в геометрию и доказал теорему, носящую его имя.

Теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств.

(Слово учителя):

-сегодня мы рассмотрим одно из них.

Учащиеся работают в тетрадях, совместно с учителем .

5. Доказательство теоремы:

Теорема: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Дано: треугольник АВС- прямоугольный, АВ = с, ВС= b, АС = а, уголС =90°.

Доказать: с² = а² + b² .

Доказательство:

а) Построим прямоугольный треугольник АВС;

б) Достроим треугольник АВС до квадрата СKPD со стороной (а+b );

S_CKPD = (a+b)² = a² + 2ab + b².

в) Рассмотрим треугольники: BCА, AKE, EPM и MDB,

они равны по двум катетам, а у равных фигур - равные площади, т.е.

S_BCA = S_AKE = S_EPM = S_MDB = ab/2.

г) ВАЕМ – квадрат, S_BAEM = с².

д) S_CKPD = S_BCA + S_AKE + S_EPM + S_MDB+ S_BAEM = 4•ab/2 + с² = 2ab + с².

а² + 2ab + b² = 2ab + с²; с² = а² + b² ч.т.д.

И так подведем итог нашей работы: (стихотворение)

Если дан нам треугольник,
и притом с прямым углом,
то квадрат гипотенузы
мы всегда легко найдем:
катеты в квадрат возводим,
сумму степеней находим -
и таким простым путём
к результату мы придём.

6.Динамическая пауза для глаз.

Воспитательный момент (слово учителя):

- Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его «ослиный мост» или «бегство убогих», так как некоторые «убогие» ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теорему Пифагора наизусть, без понимания, и прозванные поэтому «ослами», были не в состоянии одолеть ее доказательства, служившего для них вроде непреодолимого моста. Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее «ветряной мельницей», составляли стихи вроде: «Пифагоровы штаны на все стороны равны».

На доске открываются 2 чертежа к теореме Пифагора с надписями «ветряная мельница» и «пифагоровы штаны», ранняя формулировка теоремы: «Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелика сумме площадей квадратов, построенных на его катетах» .

7.Закрепление знаний

Вернемся к задаче найдем сторону АВ

Зачем нам нужна теорема Пифагора? ( Для того чтобы находить стороны прямоугольного треугольника.)

Решение задач

С помощью теоремы Пифагора можно решать два вида задач:

1.Найти гипотенузу прямоугольного треугольника, если известны катеты.

2. Найти катет, если известна гипотенуза и другой катет

Решение задач из учебника: № 483(а, б), 484(а, б);

8. Д/з п.54, вопр 8, №483(в), 484(в), 486(а), сообщение «Способы доказательства теоремы Пифагора».

Решение задач по готовым чертежам.

9. Рефлексия

С какой проблемой столкнулись на уроке?

Какую цель поставили вначале урока?

Достигли мы цели?

Каким образом, мы достигли цель?

Разрешили проблему?

Оцените свою деятельность на уроке.