Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Презентации / Урок по теме: "Теорема Виета"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Урок по теме: "Теорема Виета"

Выбранный для просмотра документ 2 Группе.doc

библиотека
материалов

2 Группе


Приведенное квадратное уравнение х2 + px + q = 0

Корни

х1 их2


- 4 и - 3


3 и 7


-2 и 5


-5 и 2


-7 и 5


4 Группе


Приведенное квадратное уравнение х2 + px + q = 0

Корни

х1 их2


- 5 и - 2


3 и 5


-2 и 3


-3 и 2


-10 и -2


6 Группе


Приведенное квадратное уравнение х2 + px + q = 0

Корни

х1 их2


- 7 и - 3


3 и 4


-5 и 6


-6 и 5


-10 и -3


1 Группе


Приведенное квадратное уравнение х2 + px + q = 0

Корни

х1 их2


- 3 и - 2


4 и 5


-3 и 5


-5 и 3


-7 и 6


3 Группе


Приведенное квадратное уравнение х2 + px + q = 0

Корни

х1 их2


- 5 и - 3


2 и 5


-3 и 4


-4 и 3


-8 и 1


5 Группе


Приведенное квадратное уравнение х2 + px + q = 0

Корни

х1 их2


- 5 и - 4


5 и 6


-2 и 7


-7 и 2


2 и 4



Выбранный для просмотра документ Конспект урока теорема Виета.doc

библиотека
материалов


Тема: Теорема Виета

Цели урока:

  • обучающая: раскрытие связей между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами (теорема Виета); формирование способа конструирования квадратных уравнений по заданным корням (обратная теорема Виета); рассмотреть различные задания на применение теоремы Виета.

  • развивающая: способствовать выработке у школьников умения обобщать изучаемые факты, формулировать выводы; развивать исследовательские навыки и самостоятельность путем составления ими уравнений;

  • воспитывающая: научить преодолевать трудности, настраиваться на успех в любом деле; формировать навыки сотрудничества.

Тип урока: урок усвоения новых знаний.




Ход урока

I. Целеполагание.

Ребята, сегодня у нас очередной урок по теме «Квадратные уравнения». Вы уже умеете решать квадратные уравнения различными способами. Почему тогда автор учебника предлагает изучить еще одну тему, связанную с решением квадратных уравнений?

(- Значит, есть более рациональный, эффективный способ решения квадратных уравнений)

Давайте попробуем определить цели нашего сегодняшнего урока, что мы уже умеем делать, чему должны или можем научиться. Итак…


(На интерактивной доске высветить слайд с незаполненной таблицей и в ходе обсуждения её заполнить)

 

О квадратных уравнениях

п/п

Что я знаю

Что не знаю

1.



2.

3.

Решать по формуле полные квадратные уравнения

Решать неполные квадратные уравнения

Решать задачи с помощью квадратных уравнений

Новый способ решения квадратных уравнений


Выслушать предложения ребят, скорректировать ответы, сделать выводы и сформулировать цели урока.

Напишите в тетрадях дату, классная работа, тему урока: Теорема Виета.

II. Объяснение.


1 этап. Обзор. Мотивация.

На протяжении последних уроков мы занимались решением квадратных уравнений.

Занимаясь квадратными уравнениями, вы, вероятно, уже заметили, что информация об их корнях скрыта в коэффициентах. Кое - что «скрытое» для нас уже открылось.

От чего зависит наличие или отсутствие корней квадратного уравнения? (от дискриминанта)

Из чего составляется дискриминант квадратного уравнения?

(из коэффициентов a, b, c)

В зависимости от того, какие коэффициенты квадратного уравнения, можно определять корни неполных квадратных уравнений.

Как ещё связаны между собой корни и коэффициенты квадратного уравнения? Чтобы раскрыть эти связи, наверное, будет полезно понаблюдать за коэффициентами и корнями различных квадратных уравнений.

Дома вы решали квадратные уравнения и я надеюсь, что все вы правильно решили эти уравнения. Проверку осуществим следующим образом: вы называете мне любое уравнение, я записываю его на доске и мгновенно называю его корни.

Проверяя домашнюю работу, ученики приходят в недоумение: каким образом учителю удается угадывать корни всех уравнений?

(Или учитель предлагает учащимся решить уравнение х2–2087х+2086=0. Вид коэффициентов вызывает у учащихся нежелание решать такое уравнение, а учитель называет корни этого уравнения сразу)

Учащиеся высказывают предположение о существовании особых свойств либо новой формулы корней приведенного квадратного уравнения. Ученики ставят проблемный вопрос:

Существует ли связь между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения? Если существует, то какова эта связь?”



При поиске закономерностей исследователи часто фиксируют свои наблюдения в таблицах, которые помогают обнаружить эти закономерности.

Сейчас мы проведём небольшое исследование, а результаты исследования занесём в таблицу.

2 этап. Исследование – поиск путей решения проблемы.

Класс делится на группы по четыре человека. Каждая группа получает задание и проводит исследование.

Задания для исследования каждой группе:

1 группа

  1. х2 + 7х + 12 = 0

  2. х2 - 10х + 21 = 0

  3. х2 – 3х – 10 = 0

  4. х2 +3х – 10 = 0

  5. х2 + 2х – 35 = 0

2 группа

  1. х2 + 5х + 6 = 0

  2. х2 - 9х + 20 = 0

  3. х2 – 2х – 15 = 0

  4. х2 + 2х – 15 = 0

  5. х2 + х – 42= 0

З группа

  1. х2 + 7х + 10 = 0

  2. х2 - 8х + 15 = 0

  3. х2 – х – 6 = 0

  4. х2 + х – 6 = 0

  5. х2 + 12х + 20 = 0

4 группа

  1. х2 + 8х + 15 = 0

  2. х2 - 7х + 10 = 0

  3. х2 – х – 12 = 0

  4. х2 + х – 12 = 0

  5. х2 + 7х – 18= 0

5 группа

  1. х2 + 10х + 21 = 0

  2. х2 - 7х + 12 = 0

  3. х2 – х – 30 = 0

  4. х2 + х – 30 = 0

  5. х2 + 13х + 30 = 0

6 группа

  1. х2 + 9х + 20 = 0

  2. х2 - 11х + 30 = 0

  3. х2 – 5х – 14 = 0

  4. х2 + 5x – 14 = 0

  5. х2 – 6х + 8 =0



План исследования.

  1. Заполните рабочий лист.

  2. Сравните результаты колонок №2 и №5 по каждому уравнению, найдите закономерность, сделайте вывод.

  3. Сравните результаты колонок №3 и №6 по каждому уравнению, найдите закономерность, сделайте вывод.

  4. Ответьте на вопрос урока.

  5. Подготовьте отчет.

Одна из групп, составленная из более сильных учащихся, проводит исследование и на доске выполняет дополнительное задание, связанное с нахождением суммы и произведения корней приведенного квадратного уравнения в общем виде.

3 этап. Обмен информацией.

На доске вычерчена заготовка таблицы “Рабочий лист”. Первая группа при отчете записывает в эту таблицу только первое уравнение из своего списка, вторая группа - только второе уравнение из своего списка, третья – третье уравнение и т.д. После отчета всех групп на доске появляется заполненная таблица:



Рабочий лист

1

2

3

4

5

6

Приведенное квадратное уравнение

х2 + px + q = 0


Второй коэффициент

p


Свободный член

q


Корни

х1 их2


Сумма корней

х1 + х2


Произведение корней

х1 · х2




х2 + 7х + 12 = 0



7



12



- 3 и - 4



- 7



12



х2 - 9х + 20 = 0



- 9



20



4 и 5



9



20



х2 – х - 6 = 0



- 1



- 6



- 2 и 3



1



- 6



х2 + х – 12 = 0



1



- 12



- 4 и 3



- 1



- 12


х2 +13х +30 = 0




13



30



-10 и -3



-13



30


х2 – 6х + 8 =0




-6



8



2 и 4



6



8

(проверяем заполнение учащимися таблицы)

4 этап. Связывание информации.

Вопрос. Можем ли мы сделать предположение о связи между корнями приведенного

квадратного уравнения и его коэффициентами?

(х12 = -р, х1х2 =q.)

(Проведенное исследование позволяет учащимся высказать гипотезу о связи между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения.)

Но это нужно доказать. Может быть, не для всех приведенных уравнений эти равенства

справедливы.

Кста­ти, подобный случай описан в фантастическом рассказе А. Бестера "Пи-человек":

х2 + х + 41 равно простому числу при х = 0, 1,2... Но уже при х = n получается составное

число. Рекомендую вам прочитать рассказ и узнать, чему равно n.

(Ученики предполагают, что если истинность гипотезы удастся доказать путем рассуждений, то они получат новую теорему.)

Гипотеза. Если x1 и x2 – корни уравнения x2 + px + q = 0,

то x1 + x2 = -р, x1· x2 = q.

Для подтверждения данной гипотезы к отчету приглашается группа, получившая индивидуальное задание. Ребята на доске составляют схему данной теоремы и предлагают свое доказательство этой теоремы.

- Вспомните, какая теорема называется обратной данной теореме? (Теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением – условие данной теоремы, называется теоремой, обратной данной).

- Составьте схему теоремы, обратной записанной.

Один из возможных вариантов ответов:

Условие”: х1 + х2 = -р, х1· х2 =q.

Заключение”: х1 и х2 – корни квадратного уравнения х2 + рх + q = 0.

Формулируется теорема, обратная данной.

Если числа р, q, х1, х2 таковы, что х1 + х2 = -р, х1· х2 = q, то х1 и х2 - корни приведенного квадратного уравнения х2 + рх + q = 0.

Данная теорема справедлива, хотя из курса геометрии нам известно, что не всегда из истинности прямой теоремы следует истинность обратной. Доказать эту теорему вы должны будете дома.

5 этап. Применение.

Попытаемся определить, какие задачи можно будет решать с помощью прямой и обратной теоремы.

- Как вы думаете, какой из этих теорем я пользовалась, когда готовилась к уроку и придумывала более полусотни приведенных квадратных уравнений?

- Верно, с помощью обратной теоремы по заданным корням можно составлять квадратные уравнения.

Пример1: составьте приведённое квадратное уравнение корнями которого являются числа 4 и 5 (х1+ х2=9=-р, р=9, х1∙х2=20=q, следовательно уравнение имеет вид х2+9х+20=0)

Задание №1 (работа в группах)

  1. Выпишите на чистом листе пять пар чисел, являющихся корнями квадратных уравнений, которые вы решали на этапе исследования.

  2. Обменяйтесь этими листами с соседними группами.

  3. По заданным корням составьте соответствующие им квадратные уравнения.

  4. Дайте эти уравнения на проверку группе, которая готовила вам задание.

Осуществляется проверка правильности выполнения задания каждой группой по пятибалльной шкале (за каждое верно составленное уравнение – 1 балл).

- Как вы считаете, какая теорема позволяет определять знаки корней квадратного уравнения (если эти корни существуют)?

- Верно, прямая теорема.

Задание №2 (работа в группах)

1. Не решая уравнение, определите знаки его корней:

1) х2 + 45х – 364 = 0 – для первой группы;

2) х2 + 36х + 315 = 0 – для второй группы;

3) х2 – 40х + 364 = 0 – для третьей группы;

4) х2 – 30х + 250 = 0 – для четвертой группы.

2. Не применяя формулу корней, найдите второй корень уравнения, если известен первый:

1) х2 + 45х – 364 = 0, х1 = 7 – для пятой группы;

2) х2 – 40х + 364 = 0, х1 =14 – для шестой группы.



Математиков всегда интересовал вопрос, как решить задачу более рациональным способом.

- Нельзя ли находить корни приведенного квадратного уравнения методом подбора?

- Какую теорему в этом случае будем использовать? (Для нахождения корней приведенного квадратного уравнения методом подбора используется теорема, обратная данной).

Образец. Решить уравнение х2 – х – 6 = 0.

Решение:

х1+ х2= 1,

х1 · х2 = -6;

по теореме, обратной данной, х1 = -2, х2 = 3.

Ответ: -2; 3

Задание №3 (индивидуальная работа)

Учащиеся самостоятельно находят методом подбора корни приведенного квадратного уравнения, причем, ученик решает уравнение, соответствующее его порядковому номеру. Ученик, справившийся с заданием, на доске под своим порядковым номером записывает букву. Если уравнения решены, верно, то получится словосочетание:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22



Ф



р



а



н



с



у



а



В



и



е



т



о



т



е



ц



а



л



г



е



б



р



ы



Решите уравнение, соответствующее своему порядковому номеру, и выберите больший корень уравнения:

  1. х2 + 7х + 10 = 0

  2. х2 – х – 20 = 0

  3. х2 + 6х – 7 = 0

  4. х2 + 11х + 24 = 0

  5. х2 + 17х + 70 = 0

  6. х2 – 7х – 30 = 0

  7. х2 + 10х – 11 = 0

  8. х2 + х – 12 = 0

  9. х2 + 11х + 28 = 0

  10. х2 – 4х – 21 = 0

  11. х2 + 4х + 3 = 0

  1. х2 + 7х - 18 = 0

  2. х2 + 6х + 5 = 0

  3. х2 -9х +14 = 0

  4. х2 + 13х + 42 = 0

  5. х2 + 2х - 3 = 0

  6. х2 – х – 12 = 0

  7. х2 + 12х + 35 = 0

  8. х2 -10х + 21 = 0

  9. х2 -х - 30 = 0

  10. х2 – 9х + 20 = 0

  11. х2 -11х + 24 = 0

Код: большему корню уравнения соответствует буква

-11

- 10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

я

к

м

ч

с

ц

г

и

н

ф

т

а

о

в

л

р

б

е

ы

п

у

д





Учитель дает небольшую историческую справку о жизни и деятельности Ф.Виета, вкладе ученого в развитие алгебры, сообщает, что теорема о связи между корнями и коэффициентами квадратного уравнения носит имя великого французского математика.









- Как вы думаете, можно ли применять теорему Виета к неприведенному квадратному уравнению? (Да, можно, т.к любое неприведенное квадратное уравнение можно привести к приведённому).



Домашнее задание.

  1. Приготовьте доказательство теоремы, обратной теореме Виета, для приведенного квадратного уравнения.

  2. Докажите теорему Виета для квадратного уравнения вида ax2 + bx + c = 0 ( индивидуальное задание).

  3. Составьте, решите и оформите на формате А4 три задачи на применение теоремы Виета и три задачи на применение теоремы, обратной теореме Виета (дополнительное задание).



6 этап. Рефлексия.

- Чем лично для вас был интересен этот урок?

- Какие формы работы вам понравились?

- На каком этапе урока вы испытывали затруднения?

- Где вы видите практическое применение изученной теоремы?

- Как вы думаете, над какими вопросами данной темы нам предстоит еще работать?























Приложения

Виет Франсуа
1540 год - 14 февраля 1603 год

Франсуа Виет — замечательный французский математик, положивший начало алгебре как науке о преобразовании выражений, о решении уравнений в общем виде, создатель буквенного исчисления.

Виет первым стал обозначать буквами не только неизвестные, но и данные величины. Тем самым ему удалось внедрить в науку великую мысль о возможности выполнять алгебраические преобразования над символами, т. е. ввести понятие математической формулы. Этим он внес решающий вклад в создание буквенной алгебры, чем завершил развитие математики эпохи Возрождения и подготовил почву для появления результатов Ферма, Декарта, Ньютона.

Отец Виета был прокурором. По традиции сын выбрал профессию отца и стал юристом, окончив университет в Пуату. В 1560 году двадцатилетний адвокат начал свою карьеру в родном городе, но через три года перешел на службу в знатную гугенотскую семью де Партене. Он стал секретарем хозяина дома и учителем его дочери. . Именно преподавание пробудило в молодом юристе интерес к математике.

В 1571 году Виет перешел на государственную службу, став советником парламента, а затем советником короля Франции Генриха III.
В ночь на 24 августа 1572 года в Париже произошла массовая резня гугенотов католиками, так называемая Варфоломеевская ночь.

Виет изложил программу своих исследований и перечислил трактаты, объединенные общим замыслом и написанные на математическом языке новой буквенной алгебры, в изданном в 1591 году знаменитом «Введение в аналитическое искусство». Главный замысел ученого замечательно удался, началось преобразование алгебры в мощное математическое исчисление. Само название «алгебра» Виет в своих трудах заменил словами «аналитическое искусство». Он писал в письме к де Партене «Все математики знали, что под алгеброй и алмукабалой... скрыты несравненные сокровища, но не умели их найти. Задачи, которые они считали наиболее трудными, совершенно легко решаются десятками с помощью нашего искусства...».

IV. Мог ли ученый оказаться вне событий, которыми жило общество того времени? Конечно, нет! Виет оказался вовлечен в водоворот этих событий. Будучи хорошим ученым, он давал уроки знатным вельможам, поэтому оказался приближенным к королевской власти. Его жизнь развивалась по двум направлениям. С одной стороны – он занимался научной деятельностью. Но занимался он не математикой, а астрономией. Зарождение научного мировоззрения, формирование нового взгляда на строение солнечной системы не могли не увлечь его как ученого. Для научного обоснования точки зрения ученых необходимо было сделать расчеты. Вот поэтому попутно с астрономией Виет углубился в математику. И достиг в этом больших успехов. Виет первым придумал буквенные обозначения для известных чисел, так называемых параметров. До него процесс решения квадратных уравнений излагался в словесной форме т. е. без записи формул. Правда, записи Виета были громоздкими, их позже облегчил также французский математик Рене Декарт. Но идея введения букв принадлежала Виету, именно поэтому его называют «отцом математики». Рассмотренная в начале урока теорема явно свидетельствует о преимуществе использования связи корней с их коэффициентами против решения уравнения по формулам. Это увидели для уравнений второй степени . Для приведенного уравнения третьей степени формулы еще более громоздкие (речь идет о так называемых формулах Кордано). Впоследствии мы познакомимся с этой теорией более подробно.

Это ли не честь ученому, что школьники всего мира знают его имя в связи с изучением данной теоремы. Лучшего памятника трудно придумать.

Но будучи приближенным к королевскому двору, Виет оказался также участником исторических событий. Во время затяжной войны между Францией и Испанией, испанские инквизиторы, воюя против протестантской церкви, использовали шпионскую связь. Они считали, что придуманный ими шифр для шпионских донесений, состоящий из 600 знаков не доступен для разгадывания. Но часто их планы оказывались известными неприятелю, и они терпели поражение за поражением. Какова же была их ярость, когда они узнали о том, что их шифр расшифрован и в этом причина их неудач. Разгадал тайну шифра Франсуа Виет. Испанские инквизиторы заявили о том, что простой человек не мог разгадать шифр, обвинили Виета в заговоре с нечистой силой, которая якобы помогла ему. Заочно Виет был приговорен к смерти. В это время произошла смена королевской власти во Франции. Новый король Генрих IV взял ученого под защиту и не выдал инквизиторам. Однако есть определенная тайна смерти ученого. Вполне возможно, что приговор и был со временем исполнен.

Нам нужно еще понять, что двигало ученых в то непростое время заниматься наукой, даже под угрозой смерти. Наверное, это, прежде всего пытливость человеческого ума. Знак «?», который является ключом к развитию науки, не давал покоя во все времена людям мыслящим, любознательным. Кто я? Человек. Разум …это мне надо. Понять себя, свою сущность. Свое место в мире, люди стремились во все времена.

Загляните в себя, может страдает ваша природная любознательность , потому что уступили повседневности, лености? Судьбы многих ученых – примеры для подражания. Не все имена хорошо известны и популярны. Каков я для окружающих меня близких людей? Их мнение «конечно» не безразлично. Но самое главное «как я сам к себе отношусь? Достоин ли уважения?» подумайте об этом…







Стихотворение

Теорему Виета тебе

Я запомнить легко помогу:

Сумма корней минус р,

Произведение q.

Знакомство с приёмами устного решения квадратных уравнений.

Теорема Виета находит широкое применение и в уравнениях вида ах2 + вх + с = 0.

Использование некоторых свойств даёт значительные преимущества для быстрого получения ответа при решении квадратных уравнений.  

Рассмотрим эти свойства:  

1)Если a + в +с = 0, то х1 = 1, х2 = с/а.

Например: 5х2 + 4х – 9 = 0; х1 =1, х2 = - 9/5.

 

2)Если а - в +с = 0, то х1 = - 1, х2 = - с/а.

3)Если а - в +с или а+в+с не равно 0, то можно устно решить другое уравнение: х2 + вх + ас = 0 и его корни разделить на а.

Например:

а) 2х2 – 11х + 5 = 0.

Решаем устно уравнение: х2 – 11х + 10 = 0. Его корни 1 и 10, и делим на 2. Тогда х1 = 1/2 hello_html_m3967a1fd.png, х2 = 5.

Ответ: 1/2hello_html_m3967a1fd.png; 5.

в) 6х2 –7х – 3 = 0

Решаем устно уравнение: х2 – 7х - 18 = 0. Его корни (-2) и 9, и делим на 6.

Тогда х1 = - hello_html_378f2ed3.png, х2hello_html_m11f20ebd.png.

Ответ: -  hello_html_770e3294.pnghello_html_346f4a1a.png


Где использовать теорему Виета?

1). Можно, не находя корни, найти сумму и произведение корней квадратного уравнения вида hello_html_m78a477e9.gif: hello_html_m2555eeb9.gif

2). Не решая уравнение hello_html_m445f5ee7.gif, найти hello_html_m312ff057.gif

hello_html_39da840c.gif

Итак, hello_html_ma701a4b.gif

Где использовать теорему, обратную теореме Виета?

а). Можно проверить правильность решения квадратного уравнения.

hello_html_f798579.gif

hello_html_28690914.gif

hello_html_m245622c8.gifhello_html_m6b7a9e0e.gif

Покажем, что корни уравнения найдены правильно:

hello_html_m3ce633e4.gifhello_html_m24d9a2cf.gif

– 8 + 5 = – 3. – 8 5 = – 40.

Значит, по теореме, обратной теореме Виета, числа – 8 и 5 являются корнями уравнения hello_html_23b704cd.gif

б). Найти подбором корни квадратного уравнения (устно):

hello_html_m3028163c.gif

hello_html_1acd74eb.gif

hello_html_3bb4d748.gif

hello_html_3634d8c7.gif

Стихотворение «Теорема Виета», поэт Александр Гуревич:

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета.

Что лучше, скажи, постоянства такого:

Умножишь ты корни – и дробь уж готова:

В числителе hello_html_m12550da.gif, в знаменателе hello_html_6cdccad.gif

А сумма корней тоже дроби равна.

Хоть с минусом дробь эта, что за беда –

В числителе hello_html_559071c1.gif, в знаменателе hello_html_50edaa4f.gif

hello_html_m5ae9ecc.gif

hello_html_47d1c8b0.gif hello_html_mb9d27c4.gif

Итак, hello_html_m9f44830.gif

hello_html_m78473b41.gif

hello_html_6fefade1.gifhello_html_1cc9d2e7.gif

Итак, мы научились применять теорему Виета и обратную ей для уравнений вида hello_html_m78a477e9.gif и hello_html_m1af494c3.gif

Угадайте корни уравнений:

hello_html_6a8d5294.gif hello_html_7dae4bfd.gif

Что трудно? Тогда решите сначала три таких уравнения, найдя корни подбором.

hello_html_m7a61a3af.gif hello_html_607ce84c.gifhello_html_m4d953566.gif

hello_html_6a015a53.gifhello_html_m279b1a3c.gif hello_html_m6f61a1d1.gifhello_html_m279b1a3c.gifhello_html_377641e5.gifhello_html_m279b1a3c.gif

Что вы заметили? (Один из корней равен 1).

Установите связь между hello_html_m3f48c322.gif и корнями. Если hello_html_66b22b4d.gif, тогда один из корней 1, а другой hello_html_57c6ee0f.gif.

Теорему Виета применяют для решения квадратных уравнений, где hello_html_66b22b4d.gifили hello_html_m5a99fbc0.gif. Это дает значительное преимущество для быстрого получения ответа.

Если в уравнении hello_html_7d8bf9a.gifhello_html_66b22b4d.gif, то один из его корней 1, а другой hello_html_57c6ee0f.gif.

Если в уравнении hello_html_7d8bf9a.gifhello_html_m5a99fbc0.gif, то один из его корней – 1, а другой hello_html_3c1d85ad.gif

Теперь вернитесь к решению уравнений hello_html_6a8d5294.gifhello_html_7dae4bfd.gif

Придумайте дома по 3 красивых уравнения и предложите решить их товарищу.







Выбранный для просмотра документ Приведенное квадратное уравнение х2.doc

библиотека
материалов

Приведенное квадратное уравнение х2 + px + q = 0

Второй коэффициент

p

Свободный член

q

Корни

х1 их2

Сумма корней

х1 + х2

Произведение корней

х1 · х2

х2 + 7х + 12 = 0






х2 - 10х + 21 = 0






х2 – 3х – 10 = 0






х2 +3х – 10 = 0






х2 + 2х – 35 = 0






1 Группа План исследования.

  1. Заполните рабочий лист.

  2. Сравните результаты колонок №2 и №5 по каждому уравнению, найдите закономерность, сделайте вывод.

  3. Сравните результаты колонок №3 и №6 по каждому уравнению, найдите закономерность, сделайте вывод.

  4. Ответьте на вопрос урока.

  5. Подготовьте отчет.

Приведенное квадратное уравнение х2 + px + q = 0

Второй коэффициент

p

Свободный член

q

Корни

х1 их2

Сумма корней

х1 + х2

Произведение корней

х1 · х2

х2 + 5х + 6 = 0






х2 - 9х + 20 = 0






х2 – 2х – 15 = 0






х2 + 2х – 15 = 0






х2 + х – 42= 0






2 Группа План исследования.

  1. Заполните рабочий лист.

  2. Сравните результаты колонок №2 и №5 по каждому уравнению, найдите закономерность, сделайте вывод.

  3. Сравните результаты колонок №3 и №6 по каждому уравнению, найдите закономерность, сделайте вывод.

  4. Ответьте на вопрос урока.

  5. Подготовьте отчет.

Приведенное квадратное уравнение х2 + px + q = 0

Второй коэффициент

p

Свободный член

q

Корни

х1 их2

Сумма корней

х1 + х2

Произведение корней

х1 · х2

х2 + 7х + 10 = 0






х2 - 8х + 15 = 0






х2 – х – 6 = 0






х2 + х – 6 = 0






х2 + 12х + 20 = 0






3 Группа План исследования.

  1. Заполните рабочий лист.

  2. Сравните результаты колонок №2 и №5 по каждому уравнению, найдите закономерность, сделайте вывод.

  3. Сравните результаты колонок №3 и №6 по каждому уравнению, найдите закономерность, сделайте вывод.

  4. Ответьте на вопрос урока.

  5. Подготовьте отчет.


Приведенное квадратное уравнение х2 + px + q = 0

Второй коэффициент

p

Свободный член

q

Корни

х1 их2

Сумма корней

х1 + х2

Произведение корней

х1 · х2

х2 + 8х + 15 = 0






х2 - 7х + 10 = 0






х2 – х – 12 = 0






х2 + х – 12 = 0






х2 + 7х – 18= 0






4 Группа План исследования.

  1. Заполните рабочий лист.

  2. Сравните результаты колонок №2 и №5 по каждому уравнению, найдите закономерность, сделайте вывод.

  3. Сравните результаты колонок №3 и №6 по каждому уравнению, найдите закономерность, сделайте вывод.

  4. Ответьте на вопрос урока.

  5. Подготовьте отчет.

Приведенное квадратное уравнение х2 + px + q = 0

Второй коэффициент

p

Свободный член

q

Корни

х1 их2

Сумма корней

х1 + х2

Произведение корней

х1 · х2

х2 + 10х + 21 = 0






х2 - 7х + 12 = 0






х2 – х – 30 = 0






х2 + х – 30 = 0






х2 + 13х + 30 = 0


















Приведенное квадратное уравнение х2 + px + q = 0

Второй коэффициент

p

Свободный член

q

Корни

х1 их2

Сумма корней

х1 + х2

Произведение корней

х1 · х2

х2 + 7х + 12 = 0






х2 - 10х + 21 = 0






х2 – 3х – 10 = 0






х2 +3х – 10 = 0






х2 + 2х – 35 = 0






5 Группа План исследования.
  1. Заполните рабочий лист.

  2. Сравните результаты колонок №2 и №5 по каждому уравнению, найдите закономерность, сделайте вывод.

  3. Сравните результаты колонок №3 и №6 по каждому уравнению, найдите закономерность, сделайте вывод.

  4. Ответьте на вопрос урока.

  5. Подготовьте отчет

6 Группа План исследования.

  1. Заполните рабочий лист.

  2. Сравните результаты колонок №2 и №5 по каждому уравнению, найдите закономерность, сделайте вывод.

  3. Сравните результаты колонок №3 и №6 по каждому уравнению, найдите закономерность, сделайте вывод.

  4. Ответьте на вопрос урока.

  5. Подготовьте отчет

Выбранный для просмотра документ Пример1.doc

библиотека
материалов

Пример1: составьте приведённое квадратное уравнение корнями которого являются числа 4 и 5 (х1+ х2=9=-р, р=9, х1∙х2=20=q, следовательно уравнение имеет вид х2+9х+20=0)

Задание №1 (работа в группах)

  1. Выпишите на чистом листе пять пар чисел, являющихся корнями квадратных уравнений, которые вы решали на этапе исследования.

  2. Обменяйтесь этими листами с соседними группами.

  3. По заданным корням составьте соответствующие им квадратные уравнения.

  4. Дайте эти уравнения на проверку группе, которая готовила вам задание.

Осуществляется проверка правильности выполнения задания каждой группой по пятибалльной шкале (за каждое верно составленное уравнение – 1 балл).

Задание №2 (работа в группах)

1. Не решая уравнение, определите знаки его корней:

1) х2 + 45х – 364 = 0 – для первой группы;

2) х2 + 36х + 315 = 0 – для второй группы;

3) х2 – 40х + 364 = 0 – для третьей группы;

4) х2 – 30х + 250 = 0 – для четвертой группы.

2. Не применяя формулу корней, найдите второй корень уравнения, если известен первый:

1) х2 + 45х – 364 = 0, х1 = 7 – для пятой группы;

2) х2 – 40х + 364 = 0, х1 =14 – для шестой группы.

Нельзя ли находить корни приведенного квадратного уравнения методом подбора?

- Какую теорему в этом случае будем использовать? (Для нахождения корней приведенного квадратного уравнения методом подбора используется теорема, обратная данной).

Образец. Решить уравнение х2 – х – 6 = 0.

Решение:

х1+ х2= 1,

х1 · х2 = -6;

по теореме, обратной данной, х1 = -2, х2 = 3. Ответ: -2; 3

Задание №3 (индивидуальная работа)

Учащиеся самостоятельно находят методом подбора корни приведенного квадратного уравнения, причем, ученик решает уравнение, соответствующее его порядковому номеру. Ученик, справившийся с заданием, на доске под своим порядковым номером записывает букву. Если уравнения решены, верно, то получится словосочетание:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22























Решите уравнение, соответствующее своему порядковому номеру, и выберите больший корень уравнения:
  1. х2 + 7х + 10 = 0

  2. х2 – х – 20 = 0

  3. х2 + 6х – 7 = 0

  4. х2 + 11х + 24 = 0

  5. х2 + 17х + 70 = 0

  6. х2 – 7х – 30 = 0

  7. х2 + 10х – 11 = 0

  8. х2 + х – 12 = 0

  9. х2 + 11х + 28 = 0

  10. х2 – 4х – 21 = 0

  11. х2 + 4х + 3 = 0

  1. х2 + 7х - 18 = 0

  2. х2 + 6х + 5 = 0

  3. х2 -9х +14 = 0

  4. х2 + 13х + 42 = 0

  5. х2 + 2х - 3 = 0

  6. х2 – х – 12 = 0

  7. х2 + 12х + 35 = 0

  8. х2 -10х + 21 = 0

  9. х2 -х - 30 = 0

  10. х2 – 9х + 20 = 0

  11. х2 -11х + 24 = 0

Код: большему корню уравнения соответствует буква

-11

- 10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

я

к

м

ч

с

ц

г

и

н

ф

т

а

о

в

л

р

б

е

ы

п

у

д


Выбранный для просмотра документ Теорема Виета.ppt

библиотека
материалов
№ п/п	Что я знаю 	Что я не знаю
Приведенное уравнение Если в уравнении вида: ax2+bx+c=0, где a, b, с  R а =...
Существует ли связь между корнями и коэффициентами приведенного квадратного...
План исследования Заполните рабочий лист. Сравните результаты колонок №2 и №5...
Рабочий лист Приведенное квадратное уравнение х2 + рх + q=0	p	q	Корни х1 и х2...
Рабочий лист Приведенное квадратное уравнение х2 + рх + q=0 х2 + 7х + 12 = 0...
Прямая теорема: Если х1, х2 – корни уравнения x2 + px + q = 0, Тогда числа х1...
Применение Теоремы Виета часто используются для: Подбора корней без решения О...
Задание №1 (работа в группах) Выпишите на чистом листе пять пар чисел, являющ...
Задание №2 (работа в группах) 1. Не решая уравнение, определите знаки его кор...
Примеры x2 + 10x – 24 = 0 x2 – 7x + 12 = 0 x1 +x2 = -10 x1 x2 = -24 x1 + x2 =...
Код: большему корню уравнения соответствует буква -11	-10	-9	-8	-7	-6	-5	-4	-...
Франсуа Виет (1540 – 1603) По праву достойна в стихах быть воспета о свойства...
Домашнее задание. Составьте и решите две задачи на применение теоремы Виета и...
Применение теоремы Проверяем, правильно ли найдены корни уравнения Определяем...
17 1

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1
Описание слайда:

№ слайда 2 № п/п	Что я знаю 	Что я не знаю
Описание слайда:

№ п/п Что я знаю Что я не знаю

№ слайда 3 Приведенное уравнение Если в уравнении вида: ax2+bx+c=0, где a, b, с  R а =
Описание слайда:

Приведенное уравнение Если в уравнении вида: ax2+bx+c=0, где a, b, с  R а = 1, то квадратное уравнение вида x2+px+q=0 называется приведенным. Решите уравнение: x2+ 2014x - 2015=0

№ слайда 4 Существует ли связь между корнями и коэффициентами приведенного квадратного
Описание слайда:

Существует ли связь между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения? Если существует, то какова эта связь?

№ слайда 5 План исследования Заполните рабочий лист. Сравните результаты колонок №2 и №5
Описание слайда:

План исследования Заполните рабочий лист. Сравните результаты колонок №2 и №5 по каждому уравнению, найдите закономерность, сделайте вывод. Сравните результаты колонок №3 и №6 по каждому уравнению, найдите закономерность, сделайте вывод. Ответьте на вопрос урока.

№ слайда 6 Рабочий лист Приведенное квадратное уравнение х2 + рх + q=0	p	q	Корни х1 и х2
Описание слайда:

Рабочий лист Приведенное квадратное уравнение х2 + рх + q=0 p q Корни х1 и х2 Сумма корней х1 + х2 Произведение корней х1 · х2 х2 + 7х + 12 = 0 7 12 - 4 и - 3 - 7 12 х2 - 9х + 20 = 0 - 9 20 4 и 5 9 20 х2 – х - 6 = 0 - 1 - 6 - 2 и 3 1 - 6 х2 + х – 12 = 0 1 - 12 - 4 и 3 - 1 - 12 х2 + 13х + 30 = 0 13 30 -10 и -3 -13 30 х2 – 6х + 8 = 0 -6 8 2 и 4 6 8

№ слайда 7 Рабочий лист Приведенное квадратное уравнение х2 + рх + q=0 х2 + 7х + 12 = 0
Описание слайда:

Рабочий лист Приведенное квадратное уравнение х2 + рх + q=0 х2 + 7х + 12 = 0 х2 - 9х + 20 = 0 х2 – х - 6 = 0 х2 + х – 12 = 0 х2 + 13х + 30 = 0 х2 – 6х + 8 = 0 p 7 - 9 - 1 1 13 -6 q 12 20 - 6 - 12 30 8 Корни х1 и х2 - 4 и - 3 4 и 5 - 2 и 3 - 4 и 3 -10 и -3 2 и 4 Сумма корней х1 + х2 - 7 9 1 - 1 -13 6 Произведение корней х1 · х2 12 20 - 6 - 12 30 8

№ слайда 8 Прямая теорема: Если х1, х2 – корни уравнения x2 + px + q = 0, Тогда числа х1
Описание слайда:

Прямая теорема: Если х1, х2 – корни уравнения x2 + px + q = 0, Тогда числа х1 , х2 и р ,q связаны равенствами Обратная теорема: Тогда х1, х2 - корни уравнения х² + px + q = 0.

№ слайда 9 Применение Теоремы Виета часто используются для: Подбора корней без решения О
Описание слайда:

Применение Теоремы Виета часто используются для: Подбора корней без решения Определения знаков корней без решения уравнения (при условии D>0) по правилам: p >0 p <0 q >0 Оба корня отрицательны Оба корня положительны q <0 Корни имеют противоположные знаки

№ слайда 10 Задание №1 (работа в группах) Выпишите на чистом листе пять пар чисел, являющ
Описание слайда:

Задание №1 (работа в группах) Выпишите на чистом листе пять пар чисел, являющихся корнями квадратных уравнений, которые вы решали. Обменяйтесь этими листами с соседними группами. По заданным корням составьте соответствующие им квадратные уравнения. Дайте эти уравнения на проверку группе, которая готовила вам задание.

№ слайда 11 Задание №2 (работа в группах) 1. Не решая уравнение, определите знаки его кор
Описание слайда:

Задание №2 (работа в группах) 1. Не решая уравнение, определите знаки его корней: 1) х2 + 45х – 364 = 0 – для первой группы; 2) х2 + 36х + 315 = 0 – для второй группы; 3) х2 – 40х + 364 = 0 – для третьей группы; 4) х2 – 30х + 250 = 0 – для четвертой группы. 2. Не применяя формулу корней, найдите второй корень уравнения, если известен первый: 1) х2 + 45х – 364 = 0, х1 = 7 – для пятой группы; 2) х2 – 40х + 364 = 0, х1 =14 – для шестой группы.

№ слайда 12 Примеры x2 + 10x – 24 = 0 x2 – 7x + 12 = 0 x1 +x2 = -10 x1 x2 = -24 x1 + x2 =
Описание слайда:

Примеры x2 + 10x – 24 = 0 x2 – 7x + 12 = 0 x1 +x2 = -10 x1 x2 = -24 x1 + x2 = 7 x1 x2 = 12 -6 4 -4 6 -8 3 -3 8 -12 2 -2 12 -1 24 1 -24 1 12 6 4

№ слайда 13 Код: большему корню уравнения соответствует буква -11	-10	-9	-8	-7	-6	-5	-4	-
Описание слайда:

Код: большему корню уравнения соответствует буква -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 я к м ч с ц г и н ф т а о в л р б е ы п у д 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 -

№ слайда 14
Описание слайда:

№ слайда 15 Франсуа Виет (1540 – 1603) По праву достойна в стихах быть воспета о свойства
Описание слайда:

Франсуа Виет (1540 – 1603) По праву достойна в стихах быть воспета о свойствах корней теорема Виета… (А.Гуревич)

№ слайда 16 Домашнее задание. Составьте и решите две задачи на применение теоремы Виета и
Описание слайда:

Домашнее задание. Составьте и решите две задачи на применение теоремы Виета и две задачи на применение теоремы, обратной теореме Виета. Приготовьте доказательство теоремы, обратной теореме Виета, для приведенного квадратного уравнения. ( индивидуальное задание). Приготовьте сообщение о жизни Ф.Виета ( индивидуальное задание).

№ слайда 17 Применение теоремы Проверяем, правильно ли найдены корни уравнения Определяем
Описание слайда:

Применение теоремы Проверяем, правильно ли найдены корни уравнения Определяем знаки корней уравнения, не решая его Устно находим корни приведенного квадратного уравнения Составляем квадратное уравнение с заданными корнями


Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 05.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров692
Номер материала ДВ-419184
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх