Урок по теме "Тригонометрические функции"

Тема урока «Тригонометрические функции»

Предмет: алгебра и начала математического анализа.

Класс: 10-ый

Автор урока: Орлова Татьяна Викторовна, учитель математики и информатики.

Образовательное учреждение: МОУ «Лицей № 9» г. Воронежа

Тип урока: урок обобщающего повторения.

Цели урока:

·           Развивать математическое мышление, интуицию, смекалку, способность чётко формулировать свои мысли.

·           Повторить, обобщить знания по теме, осуществить промежуточный контроль с проверкой на уроке.

·           Воспитывать познавательную активность, способствовать развитию уверенности в своих силах.

Задачи урока:

·           Повторить основные определения и формулы тригонометрии.

·           Продолжить решение задач по изученному материалу.

·           Выработать у учащихся умение решать простейшие тригонометрические уравнения.

·           Продолжить формирование навыков работы с интерактивной доской.

·           Провести диагностику усвоения системы знаний и умений учащихся.

Знания, умения, навыки и качества, которые  актуализируют/

приобретут/ закрепят ученики в ходе урока:

·         Знать основные определения и формулы тригонометрии.

·         Уметь решать простейшие тригонометрические уравнения, упрощать тригонометрические выражения.

·         Закреплять навыки работы с интерактивной доской.

Необходимое оборудование и материалы: интерактивная доска, ПК, сканер.

Ход урока:

I.Орг. момент.  Объявление целей урока (мотивация учащихся.)

         «Подобно тому как все искусства тяготеют к музыке, все науки стремятся к математике»             Джордж Сантаяна (американский философ)

И сегодня мы говорим о разделе математики, который имеет огромное прикладное значение в различных областях знаний. Начнём сегодняшний урок с загадки:

- Какое слово начинается с трёх букв «Г» и заканчивается тремя буквами «Я»?

(Тригонометрия)

Объявление целей урока.

II Повторение теоретического материала.

1.         Какой раздел математики называется тригонометрией?

Тригонометрия  («тригонон»- треугольник, «метрейн» - измерение) – это

раздел математики, в котором изучаются зависимости между углами и сторонами треугольников и тригонометрические функции.

2.    Кто ввёл в употребление термин «тригонометрия»?

Термин «тригонометрия» ввёл в употребление в 1595 г. немецкий математик и богослов Варфоломей Питиск. А окончательный вид тригонометрия приобрела в XVIII веке в трудах Л.Эйлера.

3.    Какие основные тригонометрические функции вы знаете?

Синус, косинус, тангенс и котангенс.

4.    Что называется синусом числа t?  Что называется косинусом числа t?

Синусом числа t называют ординату точки единичной окружности, которая соответствует данному числу.

Косинусом числа t называют абсциссу  точки единичной окружности, которая соответствует данному числу.

                                       Если М(t)=M(x;y), то

                                                    x=cos t

                                                    y=sin t                        

5. Назовите синус и косинус числа t, если

6. Что называется тангенсом числа t?

     Что называется котангенсом числа t?

Тангенсом числа t называют отношение синуса числа t к косинусу того же числа.

 

Котангенсом числа t называют отношение косинуса числа t к синусу того же числа.

 

7. Сегодня мы будем вести разговор о тригонометрических уравнениях. А что называется уравнением? Какое уравнение называется тригонометрическим?

Уравнение – это равенство, содержащее переменную. А уравнения, в которых неизвестные содержатся под знаком тригонометрических функций, называются тригонометрическими уравнениями.

8. Сколько корней может иметь тригонометрическое уравнение?

Тригонометрическое уравнение либо не имеет корней, либо имеет бесконечное множество корней.

Почему?

Значения синуса и косинуса лежат в промежутке от -1 до 1. Если это условие не выполнено, то уравнение не имеет корней.

Тригонометрические функции периодические, поэтому тригонометрическое  уравнение  имеет бесконечное множество корней.

III. Проверка домашнего задания.

№13.27(в,г), №13.28 (в,г), 13.29 (в,г), 14.15(б), 14.22.

Задание отсканировано перед уроком,  учащиеся комментируют.

IV. Устная работа.

Повторим ещё раз известные нам тригонометрические формулы.

Продолжите равенство:

1-cos²t=                      sin(-t)=

sint=                            cos(-t)=

cost=                           tg(-t)=

1+ctg²t=                     ctg(-t)=

1+tg²t=                       sin(π+t)=

tgt=                             tg(2π-t)=

ctgt=                           ctg(π-t)=

ctgt·tgt=                     sin(6π+t)=

 

V. Закрепление изученного.

А сейчас мы продолжим решать тригонометрические уравнения.

№13.30

Решите уравнение:

а)                                      б)

                                                               

,                                                                    .

Ответ:                       Ответ:

            № 13.31

а)                                                                      б)

Ответ:  .                                                     

                                                                                        Ответ:

№ 14.27 (a)

Вычислите tg t, если известно, что 5 sin t – cos²t = 2,36 и  

            5 sin t – cos²t = 2,36,

            5 sin t – 1+sin²t = 2,36,

            sin²t+ 5 sin t – 3,36=0,

            D=25+4∙3,36=25+13,44=38,44=6,2²,

            sin t =-5,6       или      sin t =

           

,

 т.к. это угол II четверти.

.

: -0,75.

VI . Тестовый контроль знаний.

         Часть учащихся работает за компьютерами (базовый уровень), часть с интерактивной доской.

Тест за компьютерами.

1.      Найдите декартовы координаты точки  A.

1)      (-1;0);                    2) (0;1);                       3) (1;0);                       4) (0;-1).

2.      Вычислите: .

1)                         2) 2,5;             3)                4) .

3.      Упростите выражение:  5 sin²t-4+5 cos²t.

1)      1;                          2) 9;                3) -9;                           4) -4.

4.      Упростите выражение:  ctg²t (cos²t-1)+1.

1)      –sin²t;                    2) cos²t;           3) sin²t;                                   4) -cos²t.

5.      Сравните с нулём выражения    и . Выберите правильную пару ответов.

1)      - - ;                                   2) - +;              3) + -;                          4) + +.

6.      На каком из рисунков изображены точки 

 

7.      Укажите множество значений функции y=2 cos x+3.

1)      (2;3);                     2) [1;5];                       3) (1;5);                                   4) [2;3].

8.      Решите уравнение: сos(-x)=1.

1)      2πn;                      2) πn;              3)                    4)

9.      Найдите  cos t , если sin t =

1)                              2) ;               3) -                         4) -

10.  Решите уравнение: 

1)               2)        3)                        4)

Автоматическая проверка, оценки выставляет компьютер.

Тест на доске.

1.      Найдите декартовы координаты точки 

1.              2.                 3.                 4. .

2.      Какая из формул не будет задавать все числа, которым соответствуют точки:

1. π+πk, kÎZ              2.  2πk, kÎZ  

3. ±π+πk, kÎZ                        4. πk, kÎZ

3.      Составьте формулу для всех чисел, которым соответствуют точки:

1.   2.        

3.   4.

4.      На каком из рисунков изображены точки 

5.      На каком из рисунков изображены точки 

 

6.      Решите уравнение

1.       2.         3.          4. .

7.      Решите уравнение .

 

8.      Вычислите tgt, если 

1.                   2.               3.                  4. .

9.      Упростите выражение:   cos²x-1.

1. sin²x                            2. -sin²x                  3.               4. tg²x.

10.  Упростите выражение:    (tgt+ctgt)².

1.       2. 1                 3.              4. sin²t∙cos²t.

Проверка  теста с необходимыми пояснениями.

VII. Выставление оценок. Домашнее задание.

На «3» §22 № 22.1, 22.4, на «4» §14№ 14.16(а,в), на «5» №14.24

• 1 слайд

  «Тригонометрические
  функции»
  

• 2 слайд

  Подобно тому как все искусства тяготеют к музыке, все науки стремятся к математике.
  Джордж Сантаяна,
  американский философ
  

• 3 слайд

  Какое слово начинается
  с трёх букв «Г» и закан-
  чивается тремя буквами «я»?
  
  Т р и г о н о м е т р и я
  

• 4 слайд

  Цели урока:
  Повторить основные определения и формулы тригонометрии.
  Продолжить решение задач по изученному материалу.
  Выработать у учащихся умения решать простейшие тригонометрические уравнения.
  Продолжить формирование навыков работы с интерактивной доской.
  Применить умения работать с приложениями PowerPoint и Excel при подготовке к уроку.
  Развивать математическое мышление.
  Воспитывать познавательную активность.
  

• 5 слайд

  Какой раздел математики называется тригонометрией?
  Тригонометрия («тригонон»-треугольник, «метрейн»-измерение) – это раздел математики, в котором изучаются зависимости между углами и сторонами треугольников и тригонометри-
  ческие функции.
  

• 6 слайд

  Кто ввёл в употребление термин «тригонометрия»?
  1595 г.
  Варфоломей Питиск
  XVII век
  Леонард Эйлер
  
  

• 7 слайд

  Какие основные тригонометрические функции вы знаете?
  Синус, косинус, тангенс и котангенс
  

• 8 слайд

  Что называется синусом числа t?
  Что называется косинусом числа t?
  
  
  Если М(t)=M(x;y), то
  x=cos t,
  y=sin t.
  

• 9 слайд

  Назовите синус и косинус числа t, если
  y
  x
  0
  М(t)
  

• 10 слайд

  Что называется тангенсом числа t?
  Что называется котангенсом числа t?
  
  
  sin t
  cos t
  tg t
  =
  cos t
  sin t
  ctg t
  =
  

• 11 слайд

  Что называется уравнением?
  Какое уравнение называется тригонометрическим?
  
  
  Уравнение – это равенство, содержащее неизвестное.
  Уравнения, в которых неизвестные содержатся под знаком тригонометрических функций, называются тригонометрическими уравнениями.
  

• 12 слайд

  Сколько корней может иметь тригонометрическое уравнение?
  
  
  Тригонометрическое уравнение либо не имеет корней, либо имеет бесконечное множество корней.
  

• 13 слайд

• 14 слайд

  Образовательный портал "Мой университет" - www.moi-universitet.ru
  

• 15 слайд

  Продолжите равенство:
  
  Образовательный портал "Мой университет" - www.moi-universitet.ru
  Факультет «Реформа образования» - www.edu-reforma.ru
  
  1-cos2t=
  sint=
  cost=
  1+ctg2 t=
  
  1+tg2 t=
  
  tg t=
  ctg t=
  ctg t·tg t=
  sin2t
  1
  -sin t
  cos t
  -tg t
  -ctg t
  -sin t
  -cos t
  -tg t
  -ctg t
  sin t
  

• 16 слайд

  Cоставьте формулу для всех чисел, которым соответствуют точки:
  
  x
  0
  М
  y
  

• 17 слайд

  Cоставьте формулу для всех чисел, которым соответствуют точки:
  
  x
  0
  N
  y
  K
  

• 18 слайд

  Cоставьте формулу для всех чисел, которым соответствуют точки:
  
  x
  0
  A
  y
  B
  

• 19 слайд

  Cоставьте формулу для всех чисел, которым соответствуют точки:
  
  x
  0
  O
  y
  P
  Q
  R
  

• 20 слайд

  № 13.30
  

• 21 слайд

  № 13.30
  X
  Y
  0
  

• 22 слайд

  № 13.31 (a)
  X
  Y
  0
  

• 23 слайд

  № 13.31 (б)
  X
  Y
  0
  

• 24 слайд

  Вычислите tg t, если известно, что
  5sint-cos2t = 2,36 и
  № 14.27 (а)
  

• 25 слайд

  Задание №1
  Найдите декартовы координаты точки
  

• 26 слайд

  Задание №2
  Какая из формул не будет задавать все числа, которым соответствуют точки:
  y
  x
  0
  П
  

• 27 слайд

  Задание №3
  Составьте формулу для всех чисел, которым соответствуют точки:
  y
  x
  0
  

• 28 слайд

  Задание№4
  На каком из рисунков изображены точки
  x
  y
  x
  y
  x
  y
  x
  y
  0
  0
  0
  0
  

• 29 слайд

  Задание №5
  На каком из рисунков изображены точки ?
  x
  y
  x
  y
  x
  y
  y
  0
  0
  0
  0
  x
  

• 30 слайд

  Решите уравнение
  
  Задание №6
  

• 31 слайд

  Задание №7
  x
  x
  y
  x
  y
  x
  y
  y
  0
  0
  0
  0
  Решите уравнение
  
  

• 32 слайд

  Задание №8
  Вычислите tg t, если
  

• 33 слайд

  Задание №9
  Образовательный портал "Мой университет" - www.moi-universitet.ru
  Факультет «Реформа образования» - www.edu-reforma.ru
  
  Упростите выражение:
  

• 34 слайд

  Задание №10
  Образовательный портал "Мой университет" - www.moi-universitet.ru
  Факультет «Реформа образования» - www.edu-reforma.ru
  
  Упростите выражение:
  

• 35 слайд

  Домашнее задание:
  
  на «3» §22 №22.1, 22.4
  На «4» §14 №14.16 (а,в)
  На «5» §14 №14.24