Урок по теме Уравнения, приводимые к квадратным

Уравнения, приводимые к квадратным.

Биквадратные уравнения

Предварительная подготовка к уроку:

Ø учащиеся должны уметь решать биквадратные уравнения и уравнения, приводимые к квадратным, методом введения новой переменной;

Ø учащиеся заранее готовят сообщения о великих итальянских ученых-математиках.

Цели урока:

         1) образовательная: рассмотрение способов решения уравнений, приводимых к квадратным уравнениям;

         2) воспитательная: воспитание навыков групповой работы, сознательной деятельности учащихся;

         3) развивающая: развитие мыслительной деятельности учащихся, навыков взаимодействия между учащимися, умения обобщать изучаемые факты.

         Оборудование: сетка кроссворда на карточках, карточки, плакат – план путешествия, записи на доске, кодопозитив, копирка.

         Тип урока: урок-путешествие по стране «Математика».

Ход урока

I. Организационный момент

         План путешествия, в котором перечислены названия станций, отображаются на слайде.

- Сегодня мы отправимся в путешествие по стране «Математика». Остановимся в городе Уравнение третьей и четвертой степеней, продолжим знакомство с биквадратными уравнениями, услышим сообщения об итальянских ученых-математиках.

II. Путешествие по стране «Математика»

1. Станция любителей кроссвордов.

         Сетка с ответами заранее записана на кодопозитиве или на обратной стороне доски.

- У каждого из вас есть карточки с сеткой кроссворда и вопросами. Под карточку положите чистый лист и копирку. Ответы записывайте только в именительном падеже. Разгадайте кроссворд, сдайте карточки, а по листу проведите самопроверку.

         По горизонтали:

4.Чем является выражение b⁴ – 4ac для квадратного уравнения с коэффициентами a, b, c? (Дискриминант.)

6. Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство. (Корень.)

8. Уравнение вида ax⁴+bx²+c = 0, где а ≠ 0. (Биквадратное.)

9. Французский математик. (Виет.)

10. Уравнение, в котором левая и правая части являются целыми выражениями. (Целое.)

11. Уравнение с одной переменной, имеющие одинаковое множество корней. (Равносильные.)

         По вертикали:

1. Множество корней уравнения. (Решение.)

2. Решение уравнения ах² = 0. (Ноль.)

3. Равенство, содержащее переменную. (Уравнение.)

5. Квадратное уравнение, в котором один из коэффициентов b или c равен 0. (Неполное.)

7. Квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен единице. (Приведенное.)

2. Станция «Историческая».

Проверка домашнего задания.

         Мы с вами на станции «Историческая». Нам предстоит услышать сообщения учащихся о великих итальянских ученых-математиках. Слушайте внимательно. За интересное дополнение тоже можно получить «5».

Историческая справка

         Ученик. В проблему решения уравнений 3-й и 4-й степеней большой вклад внесли итальянские математики XVI в. Н. Тарталья, А. Фиоре, Д. Кардано, Л. Феррари и другие. В 1535 г. между А. Фиоре и Н.Тартальей состоялся научный поединок, на котором последний одержал блестящую победу. Он за 2 ч решил 30 задач, предложенных А. Фиоре, а сам А. Фиоре не смог решить ни одной, заданной ему Н. Тартальей.

         Учитель. Есть ли дополнения? Кто еще подготовил сообщения об итальянских ученых-математиках?

Заслушиваются сообщения, подготовленные учащимися. На каждое сообщение отводится по 2-3 минуты.

         Учитель. Итак, Н. Тарталья за 2 ч решил 30 задач. Сколько уравнений сможете решить вы? Какие способы решения вы выберете?

3. Город Уравнений (устная часть)

         Это не просто город Уравнений, а уравнений третьей и четвертой степеней. Вам предстоит ответить на все вопросы. Только ответив на них, вы сможете отправиться дальше.

         Задание 1. Каким способом вы решали бы уравнения каждой из групп?

         1) х³ – х = 0,             х³ + 9х = 0,               х⁴ – 4х² = 0,              у⁴ – 16 = 0.

         2) 9у³ - 18у² – у + 2 = 0,    х³ – 5х² + 16х – 80 = 0,   6у⁴ – 3у³ + 12у² – 6у = 0.

         3) (у² – у + 1)(у² – у – 7) = 65,    (х² + 2х)² – 2(х² + 2х) – 3 = 0, 

          (х² + х – 1)(х² + х + 2) = 40.

         Ответы:

         Примеры группы 1) лучше решать способом разложения на множители с помощью вынесения общего множителя за скобки или с помощью формул сокращенного  умножения.

         Примеры группы  2) лучше решать способом группировки и разложения на множители.

         Примеры группы 3) лучше решать введением новой переменной и переходом к квадратному уравнению.

         Задание 2. Какой множитель, вы вынесли бы за скобки в примерах группы 1) задания 1?

Ответы: х(х² – 1) = 0, 

                  х(х² + 9) = 0, 

                  х²(х² – 4) = 0.

         Задание 3. Как вы сгруппировали бы слагаемые в примерах группы 2) задания 1?

Ответы: (9у³ – 18у²) – (у – 2) = 0,

                  (х³ – 5х²) + (16х – 80) = 0,

                  (6у⁴ – 3у³) + (12у² – 6у) = 0.

         Задание 4. Что бы вы обозначили через новую переменную в примерах группы 3) задания 1?

Ответы: у² – у = t,

                 x² + 2x = t,

                 x² + x = t.

         Задание 5. Как можно разложить на множители многочлен у⁴ – 16 = 0?

Ответ: (у² – 4)(у² + 4) = (у – 2)(у + 2)(у² + 4) = 0.

4. Город Уравнений. Практическая часть.

         Вы справились с устной работой в городе Уравнений, и мы отправляемся путешествовать дальше по этому интересному городу и продолжим знакомство с интересными уравнениями.

         Задание 6. Решите уравнение (см. приложение.)

Задания у доски одновременно выполняют 2 ученика.

а) Первый ученик решает у доски с объяснением.

9х³ – 18х² – х + 2 = 0.

б) Второй учащийся решает уравнение  молча, затем объясняет решение, класс слушает и задает вопросы, если что-то непонятно.

х³ + х² – 4(х + 1)² = 0.

         Задание 7. Решите уравнение (см. приложение.)

Задание выполняется самостоятельно по вариантам. Предварительно вместе с учителем рассматривают вероятные замены для введения новой переменной. Проверяется устно.    

Вариант I.

(х² + 2х)² – 2(х² + 2х) – 3 = 0.

Замена для введения новой переменной х² + 2х = t.

Вариант II.

(х² – х + 1)(х² – х – 7) = 0.

Замена для введения новой переменной х² - х = t.

         Задание 8. Решите уравнение. (см. приложение.)

Дополнительное задание для тех, кто раньше справится с предыдущими уравнениями.

(2х² + х – 1)(2х² + х – 4) + 2 = 0.

Замена для введении новой переменной  2х² + х = t.

         Задание 9. Решите уравнение.

Ход решения учащиеся комментируют с места.

х⁴(х + 1) – 6х²(х + 1) + 5(х + 1) = 0.

Решение. Вынесем общий множитель:

(х + 1)(х⁴ – 6х² + 5) = 0, откуда х + 1 = 0 или х⁴ – 6х² + 5 = 0, т.е. или х = -1, или

х⁴ – 6х² + 5 = 0. Последнее уравнение биквадратное:

х² =  t,

t² - 6t + 5 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета t₁ + t₂ = 6, t₁ · t₂ = 5. Отсюда t₁ =1, t₂ = 5. Значит, х² = 1, или х² = 5, откуда  х_1,2 = ± 1, х_3,4 = ±.

Ответ: - 1, 1, -, .

         Задание 10. Решите уравнение.

Предварительно учитель обсуждает с классом способ решения. Затем учащийся решает часть примера у доски.

(х + 1)(х + 2)(х + 3)(х + 4) = 360.

Решение. Сначала сгруппируем множители:

((х + 1)(х + 4)) · ((х + 2)(х + 3)) = 360,

(х² + 5х + 4)(х² + 5х + 6) = 360,

Пусть х² + 5х = t, тогда (t + 4) · (t + 6) = 360.

Далее уравнение решается самостоятельно с последующей устной проверкой.

t² + 10t + 24 – 360 = 0,

t + 10t – 336 = 0,

D = 100 + 4 · 336 = 1444 = 38².

Откуда  t₁ =   = 14,      t₂ =    = - 24.

Значит, х² + 5х = 14 или х² + 5х = -24, т.е. х² + 5х – 14 = 0 или  х² + 5х + 24 = 0.

Во втором случае D = 25 – 4 · 24 = -71 < 0, корней нет.

В первом случае имеется два корня х₁ = -7, х₂ = 2.

Ответ: - 7; 2.

         Задание 11. Решите уравнение. (см. приложение.)

         Тот, кто верно решит больше биквадратных уравнений за 10 мин, получит «5». Учащиеся работают самостоятельно с последующей взаимопроверкой.

а) х⁴ – 5х² – 36 = 0,

б) у⁴ – 6у² + 8 = 0,

в) 4х⁴ – 5х² +1 = 0,

г) х⁴ – 25х² + 144 = 0,

д) 5у⁴ – 5у²  + 2 = 0,

е) t⁴ – 2t² – 3 = 0.

         Задание 12. При каких значениях а уравнение t² + at + 9 = 0, не имеет корней? (см. приложение.)

Данный пример на повторение.

5. Станция «Домашняя»

Вы прибыли на станцию «Домашняя». Получите домашнее задание.

         Задание 13. Решите уравнение итальянских математиков:

(3х² + х – 4)² + 3х² + х = 4. (см. приложение.)

         Задание 14. Найдите и решите 3-4 уравнения, предложенные А. Фиоре  и Н. Тартальей.

III. Подведение итогов урока.

         Наше путешествие завершено. Итак, подсчитайте, сколько каждый из вас решил уравнений.

         За 2 урока весь класс решил … уравнений. Оценки за урок …

Приложение

Решения

Задание 6.

а) Решение.

9х²(х – 2) – (х – 2) = 0,

(х – 2)(9х² – 1) = 0,

х – 2 = 0,                           или          9х² – 1 = 0,

х = 2                                  или          х² = , т.е.   х_1,2 = ± .

Ответ: - ;  ;  2.

б) Решение.

х²(х + 1) – 4(х + 1)² = 0,

(х + 1)(х² – 4х – 4) = 0,

х + 1 = 0                          или             х² – 4х – 4 = 0,

х = - 1,                             или             х_1,2 =  = 2 .

Ответ: - 1; 2 - 2; 2 + 2.

Задание 7.

Вариант I.

Решение. Замена х² + 2х = t, тогда:

t² – 2t – 3 = (t + 1)(t – 3) = 0.

Значит,

х² + 2х = - 1                      или               х² + 2х = 3,

х² + 2х + 1 = 0                  или               х² + 2х – 3 = 0,

(х + 1)² = 0                        или                   (х + 3)(х – 1) = 0.

Ответ: - 3; - 1, 1. 

Вариант II.

Решение. Замена