Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок по теме Уравнения, приводимые к квадратным
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ от 03.07.2016 все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.


Подать заявку на курс
  • Математика

Урок по теме Уравнения, приводимые к квадратным

библиотека
материалов

Уравнения, приводимые к квадратным.

Биквадратные уравнения




Предварительная подготовка к уроку:

  • учащиеся должны уметь решать биквадратные уравнения и уравнения, приводимые к квадратным, методом введения новой переменной;

  • учащиеся заранее готовят сообщения о великих итальянских ученых-математиках.



Цели урока:

1) образовательная: рассмотрение способов решения уравнений, приводимых к квадратным уравнениям;

2) воспитательная: воспитание навыков групповой работы, сознательной деятельности учащихся;

3) развивающая: развитие мыслительной деятельности учащихся, навыков взаимодействия между учащимися, умения обобщать изучаемые факты.


Оборудование: сетка кроссворда на карточках, карточки, плакат – план путешествия, записи на доске, кодопозитив, копирка.


Тип урока: урок-путешествие по стране «Математика».


















Ход урока


I. Организационный момент

План путешествия, в котором перечислены названия станций, отображаются на слайде.

- Сегодня мы отправимся в путешествие по стране «Математика». Остановимся в городе Уравнение третьей и четвертой степеней, продолжим знакомство с биквадратными уравнениями, услышим сообщения об итальянских ученых-математиках.


II. Путешествие по стране «Математика»

1. Станция любителей кроссвордов.

img-141120132232-0001.jpg

Сетка с ответами заранее записана на кодопозитиве или на обратной стороне доски.


- У каждого из вас есть карточки с сеткой кроссворда и вопросами. Под карточку положите чистый лист и копирку. Ответы записывайте только в именительном падеже. Разгадайте кроссворд, сдайте карточки, а по листу проведите самопроверку.


По горизонтали:

4.Чем является выражение b4 – 4ac для квадратного уравнения с коэффициентами a, b, c? (Дискриминант.)

6. Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство. (Корень.)

8. Уравнение вида ax4+bx2+c = 0, где а ≠ 0. (Биквадратное.)

9. Французский математик. (Виет.)

10. Уравнение, в котором левая и правая части являются целыми выражениями. (Целое.)

11. Уравнение с одной переменной, имеющие одинаковое множество корней. (Равносильные.)


По вертикали:

1. Множество корней уравнения. (Решение.)

2. Решение уравнения ах2 = 0. (Ноль.)

3. Равенство, содержащее переменную. (Уравнение.)

5. Квадратное уравнение, в котором один из коэффициентов b или c равен 0. (Неполное.)

7. Квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен единице. (Приведенное.)



2. Станция «Историческая».

Проверка домашнего задания.

Мы с вами на станции «Историческая». Нам предстоит услышать сообщения учащихся о великих итальянских ученых-математиках. Слушайте внимательно. За интересное дополнение тоже можно получить «5».


Историческая справка

Ученик. В проблему решения уравнений 3-й и 4-й степеней большой вклад внесли итальянские математики XVI в. Н. Тарталья, А. Фиоре, Д. Кардано, Л. Феррари и другие. В 1535 г. между А. Фиоре и Н.Тартальей состоялся научный поединок, на котором последний одержал блестящую победу. Он за 2 ч решил 30 задач, предложенных А. Фиоре, а сам А. Фиоре не смог решить ни одной, заданной ему Н. Тартальей.

Учитель. Есть ли дополнения? Кто еще подготовил сообщения об итальянских ученых-математиках?

Заслушиваются сообщения, подготовленные учащимися. На каждое сообщение отводится по 2-3 минуты.

Учитель. Итак, Н. Тарталья за 2 ч решил 30 задач. Сколько уравнений сможете решить вы? Какие способы решения вы выберете?


3. Город Уравнений (устная часть)

Это не просто город Уравнений, а уравнений третьей и четвертой степеней. Вам предстоит ответить на все вопросы. Только ответив на них, вы сможете отправиться дальше.

Задание 1. Каким способом вы решали бы уравнения каждой из групп?

1) х3х = 0, х3 + 9х = 0, х4 – 4х2 = 0, у4 – 16 = 0.

2) 9у3 - 18у2у + 2 = 0, х3 – 5х2 + 16х – 80 = 0, 6у4 – 3у3 + 12у2 – 6у = 0.

3) (у2у + 1)(у2у – 7) = 65, (х2 + 2х)2 – 2(х2 + 2х) – 3 = 0,

(х2 + х – 1)(х2 + х + 2) = 40.


Ответы:

Примеры группы 1) лучше решать способом разложения на множители с помощью вынесения общего множителя за скобки или с помощью формул сокращенного умножения.

Примеры группы 2) лучше решать способом группировки и разложения на множители.

Примеры группы 3) лучше решать введением новой переменной и переходом к квадратному уравнению.



Задание 2. Какой множитель, вы вынесли бы за скобки в примерах группы 1) задания 1?

Ответы: х(х2 – 1) = 0,

х(х2 + 9) = 0,

х2(х2 – 4) = 0.


Задание 3. Как вы сгруппировали бы слагаемые в примерах группы 2) задания 1?

Ответы: (9у3 – 18у2) – (у – 2) = 0,

(х3 – 5х2) + (16х – 80) = 0,

(6у4 – 3у3) + (12у2 – 6у) = 0.


Задание 4. Что бы вы обозначили через новую переменную в примерах группы 3) задания 1?

Ответы: у2у = t,

x2 + 2x = t,

x2 + x = t.


Задание 5. Как можно разложить на множители многочлен у4 – 16 = 0?

Ответ: (у2 – 4)(у2 + 4) = (у – 2)(у + 2)(у2 + 4) = 0.





4. Город Уравнений. Практическая часть.

Вы справились с устной работой в городе Уравнений, и мы отправляемся путешествовать дальше по этому интересному городу и продолжим знакомство с интересными уравнениями.


Задание 6. Решите уравнение (см. приложение.)

Задания у доски одновременно выполняют 2 ученика.

а) Первый ученик решает у доски с объяснением.

9х3 – 18х2 – х + 2 = 0.

б) Второй учащийся решает уравнение молча, затем объясняет решение, класс слушает и задает вопросы, если что-то непонятно.

х3 + х2 – 4(х + 1)2 = 0.


Задание 7. Решите уравнение (см. приложение.)

Задание выполняется самостоятельно по вариантам. Предварительно вместе с учителем рассматривают вероятные замены для введения новой переменной. Проверяется устно.


Вариант I.

(х2 + 2х)2 – 2(х2 + 2х) – 3 = 0.

Замена для введения новой переменной х2 + 2х = t.


Вариант II.

(х2х + 1)(х2х – 7) = 0.

Замена для введения новой переменной х2 - х = t.


Задание 8. Решите уравнение. (см. приложение.)

Дополнительное задание для тех, кто раньше справится с предыдущими уравнениями.

(2х2 + х – 1)(2х2 + х – 4) + 2 = 0.

Замена для введении новой переменной 2х2 + х = t.


Задание 9. Решите уравнение.

Ход решения учащиеся комментируют с места.

х4(х + 1) – 6х2(х + 1) + 5(х + 1) = 0.


Решение. Вынесем общий множитель:

(х + 1)(х4 – 6х2 + 5) = 0, откуда х + 1 = 0 или х4 – 6х2 + 5 = 0, т.е. или х = -1, или

х4 – 6х2 + 5 = 0. Последнее уравнение биквадратное:

х2 = t,

t2 - 6t + 5 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета t1 + t2 = 6, t1 · t2 = 5. Отсюда t1 =1, t2 = 5. Значит, х2 = 1, или х2 = 5, откуда х1,2 = ± 1, х3,4 = ±hello_html_1e398b2a.gif.

Ответ: - 1, 1, -hello_html_1e398b2a.gif, hello_html_1e398b2a.gif.


Задание 10. Решите уравнение.

Предварительно учитель обсуждает с классом способ решения. Затем учащийся решает часть примера у доски.

(х + 1)(х + 2)(х + 3)(х + 4) = 360.


Решение. Сначала сгруппируем множители:

((х + 1)(х + 4)) · ((х + 2)(х + 3)) = 360,

(х2 + 5х + 4)(х2 + 5х + 6) = 360,

Пусть х2 + 5х = t, тогда (t + 4) · (t + 6) = 360.


Далее уравнение решается самостоятельно с последующей устной проверкой.


t2 + 10t + 24 – 360 = 0,

t + 10t – 336 = 0,

D = 100 + 4 · 336 = 1444 = 382.

Откуда t1 = hello_html_m43197325.gif= 14, t2 = hello_html_192ddce5.gif = - 24.


Значит, х2 + 5х = 14 или х2 + 5х = -24, т.е. х2 + 5х – 14 = 0 или х2 + 5х + 24 = 0.

Во втором случае D = 25 – 4 · 24 = -71 < 0, корней нет.

В первом случае имеется два корня х1 = -7, х2 = 2.

Ответ: - 7; 2.


Задание 11. Решите уравнение. (см. приложение.)

Тот, кто верно решит больше биквадратных уравнений за 10 мин, получит «5». Учащиеся работают самостоятельно с последующей взаимопроверкой.

а) х4 – 5х2 – 36 = 0,

б) у4 – 6у2 + 8 = 0,

в) 4х4 – 5х2 +1 = 0,

г) х4 – 25х2 + 144 = 0,

д) 5у4 – 5у2 + 2 = 0,

е) t4 – 2t2 – 3 = 0.


Задание 12. При каких значениях а уравнение t2 + at + 9 = 0, не имеет корней? (см. приложение.)

Данный пример на повторение.


5. Станция «Домашняя»

Вы прибыли на станцию «Домашняя». Получите домашнее задание.


Задание 13. Решите уравнение итальянских математиков:

(3х2 + х – 4)2 + 3х2 + х = 4. (см. приложение.)


Задание 14. Найдите и решите 3-4 уравнения, предложенные А. Фиоре и Н. Тартальей.

III. Подведение итогов урока.

Наше путешествие завершено. Итак, подсчитайте, сколько каждый из вас решил уравнений.

За 2 урока весь класс решил … уравнений. Оценки за урок …






Приложение


Решения


Задание 6.

а) Решение.

9х2(х – 2) – (х – 2) = 0,

(х – 2)(9х2 – 1) = 0,

х – 2 = 0, или 9х2 – 1 = 0,

х = 2 или х2 = hello_html_m218a2db.gif, т.е. х1,2 = ± hello_html_7f8f9891.gif.

Ответ: - hello_html_7f8f9891.gif; hello_html_7f8f9891.gif; 2.



б) Решение.

х2(х + 1) – 4(х + 1)2 = 0,

(х + 1)(х2 – 4х – 4) = 0,

х + 1 = 0 или х2 – 4х – 4 = 0,

х = - 1, или х1,2 = hello_html_m744df230.gif = 2 hello_html_54240512.gif.

Ответ: - 1; 2 - 2hello_html_39f1b7ec.gif; 2 + 2hello_html_39f1b7ec.gif.


Задание 7.

Вариант I.

Решение. Замена х2 + 2х = t, тогда:

t2 – 2t – 3 = (t + 1)(t – 3) = 0.

Значит,

х2 + 2х = - 1 или х2 + 2х = 3,

х2 + 2х + 1 = 0 или х2 + 2х – 3 = 0,

(х + 1)2 = 0 или (х + 3)(х – 1) = 0.

Ответ: - 3; - 1, 1.


Вариант II.

Решение. Замена



img-141120132232-0001.jpg


Автор
Дата добавления 16.09.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров733
Номер материала ДA-047872
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх