Урок по теме "Задачи на проценты и отношения"

Тема урока: Задачи на проценты и отношения.

Цели урока:

образовательные:

·         привести примеры повседневного использования процентных вычислений в настоящее время;

·         формировать навыки прикладного использования аппарата линейных уравнений, уметь использовать приобретенные навыки в практической деятельности и повседневной жизни; выявить уровень овладения учащихся комплексом знаний и умений по решению задач на проценты;

развивающая:

·         развивать способности к самостоятельному выбору метода решения задач;

·         умение обобщать, абстрагировать и конкретизировать задание; умение оценивать собственные возможности;

воспитательная:

·         воспитывать познавательный интерес к математике, культуру общения, способность к коллективной работе, воспитывать потребность в самообразовании.

Этапы урока:

•   постановка цели урока и мотивация учебной деятельности;

•   проверка знаний теоретической части;

•   решение задач;

•   подведение итогов урока;

•   домашнее задание.

Ход урока:

I этап.Организационный: приветствие; проверка отсутствующих.

Проверка готовности к уроку.

II этап. Актуализация деятельности учащихся. «Не делай никогда того, чего не знаешь, но научись всему, что следует знать».  Пифагор

1. Проверка домашнего задания

2. Фронтальный опрос

3. Устное решение задач

Задача 1. Из трех  монет одна фальшивая, она легче остальных. За сколько взвешиваний на чашечных весах без гирь можно определить, какая именно монета фальшивая?

 Задача 2. В мешке 24 килограмма гвоздей. Как,  имея чашечные весы без гирь, отмерить 9 килограммов гвоздей?

III этап. Объяснение новой темы. Тема нашего сегодняшнего урока “Решение текстовых задач на проценты”.Многие задачи в математике связаны с понятием “проценты”, “процентное содержание”. Эти задачи входят в задания по итоговой аттестации.Сегодня на уроке мы рассмотрим различные задачи с практическимсодержанием. Представленные задачи на проценты могут быть решены разными способами:

·        с опорой на определение одного процента;

·        с опорой на понятие дроби и формул для нахождения дроби от числа и числа по значению его дроби;

·        с опорой на понятие пропорции, свойства пропорции и формул для нахождения членов пропорции.

 Вспомним  основные ранее изученные теоретические сведения о процентах.

- Что называется процентом ( сотая часть числа)

- В какой форме еще можно записывать проценты? (Проценты можно записать в виде обыкновенной или десятичной дроби)

Задание 1. ( устно) Соотнести проценты и соответствующие им дроби .

- При решении задач используются основные сокращенные процентные

100% = 1	5% = 1/20
50% = 1/2	200% = 2	1% = 1/100	р % = 0,01р = р/100
25% = 1/4	10% = 1/10

- Что называется пропорцией? Пропорции – равенство двух отношений a/b = c/d. Основное свойство пропорций: a∙d = b∙c.

- Какие виды задач на проценты вы знаете? Три вида задач на проценты:

Проценты прочно вошли в нашу жизнь – скидки, налоги, кредиты, на любой продуктовой этикетке мы встречаем проценты.

Для решения я предлагаю вам задачи из нашей повседневной жизни. Кроме того, они присутствуют и на ГИА.

Задача 1. На покупку планшета взяли кредит 20000 р на 1 год под 16 % годовых. Вычислите, сколько денег необходимо вернуть банку, какова ежемесячная сумма выплат?

Решение:

20000*0,16 = 3200 – один год

20000 + 3200 = 23200 р

23200:12= 1933 р

Ответ: 1933 рубля.

Задача 2. Задачи на смеси и сплавы.

На выпускных экзаменах встречается много задач на смеси и сплавы.  Рассмотрим старинный способ решения задач на смеси, сплавы и растворы (правило креста).

Впервые о нем было упомянуто в первом печатном учебнике математики Леонтия Магницкого.

Данный способ применялся купцами и ремесленниками при решении различных практических задач. Но в задачниках и различных руководствах для мастеров и торговцев никаких обоснований и разъяснений не приводилось. Просто давался рецепт решения: либо рисовалась схема, либо словесно описывалась последовательность действий — поступай так и получишь ответ.

Один раствор содержит 20 % соли, а второй – 70 %. Сколько граммов первого и второго раствора нужно взять, чтобы получить 100 г 50% раствора.

Решение:

Применим правило “креста”.

Составим схему:

Значит, 100 г смеси составляют 20 + 30 = 50 частей.

100 : ( 20 + 30 ) = 2 г - на 1 часть.

2 * 20 = 40 г – 20% раствора

2 * 30 = 60 г – 70 % раствора

Ответ: 40 г- 20 % раствора; 60 г- 70 % раствора.

2 способ.

      20% соли                            70% соли                   50%

      Х г                                           У г                          100г

Составим систему уравнений.

   Откуда х=40г, у 60г.

Задача 3.Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вчетверо, общий доход семьи вырос бы на 201%. Если бы стипендия дочери уменьшилась вдвое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены? Берем за х –зарплата мужа ,
y-зарплата жены:  z-стипендия дочери 
x+y+z=100  весь доход семьи
4x+y+z=100+201 увеличение  за счет увеличения зарплаты мужа
3x=201 
x=67 % 
x+y+z=100 
x+y+0,5z=100-4  уменьшилась  за счет дочери
0,5z=4 
z=8 
100-67-8=25% доход жены
Ответ:25 %

ФИЗМИНУТКА .УПРАЖНЕНИЕ ДЛЯ ГЛАЗ.

IVэтап.Первичное осмысление нового материала. Работа в парах.

Задача 4. На сколько процентов изменится произведение двух чисел, если первое из них увеличить на 25%, а второе уменьшить на 60%?

      Решение. Пусть а – первое число, b – второе число, аb – их произведение. Согласно выражениям, указанным в пунктах 2 и 4, новое значение первого сомножителя равно а(1+0,01*25)=1,25а, новое значение второго сомножителя равно b(1-0,01*60)=0,4b, а их произведение 1,25а*0,4b=0,5ab. Понятно, что произведение уменьшилось в 2 раза, т.е на 50%

      Ответ. Уменьшится на 50%.

Примечание. При сравнении произведений ab и 0,5ab можно также воспользоваться выражением, приведенным в пункте 6:  ((0,5ab-ab)/ ab)*100%=(ab-0,5ab)/ ab*100%=50%.

Vэтап. Закрепление нового материала. Работа в группах (по рядам).

I ряд.Задача 5.Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась втрое, общий доход семьи вырос бы на 112%. Если бы стипендия

 дочери уменьшилась вдвое, общий доход семьи сократился бы на 3%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

1)112:2=56%-Доля мужа
2)3%*2=6-доля дочери
3)100%-56%-6%=38-доля жены.
Ответ:38

IIряд. Задача 6..Первый сплав содержит 10 % меди, второй - 25 % меди. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 30 кг, содержащий 20 % меди. Какое количество каждого сплава было использовано?

5+10 = 15 частей в 3 кг

3: 15 = 0,2 кг – в 1 части.

На 5 частей – 0,2 * 5 = 1 кг

На 10 частей - 0, 2 * 10 = 2 кг

Ответ: 1 сплав – 1 кг, 2 сплав – 2 кг.

III ряд.Задача 7. Клиент открыл счет в банке на некоторую сумму денег. Годовой доход по этому вкладу составляет 11%. Если бы он добавил 800 руб., то через год получил бы доход 220 руб. Какая сумма была внесена им в банк?

           Решение.

    Пусть х руб. - сумма, которую клиент внес в банк.

    Тогда (х+800) руб. было бы на вкладе, если бы клиент  добавил 800 руб.;

     0,11(х+800) руб. - доход в 11%, который мог бы получить   клиент с этой суммы.  11% = 0,11

    Так как доход равен 220 руб., то имеем равенство:

            0,11(х+800) = 220.

            0,11х = 220 -800 · 0,1

                      х = 132

Ответ: 132 рубля

Защита решения задачи (по одному ученику от ряда представляют свое решение ).

Критерии оценивания задания:

«5» ставится, если учащиеся выполнили правильно более 90% задания.

«4» - составлена математическая модель, уравнение. Уравнение решено не до конца.

«3» - при решении допущена вычислительная ошибка.

«2» ставится учащемуся, выполнившему менее 50% задания.

Оценка 2 в журнал не ставится, 3 - по желанию.

VI этап. Подведение итогов.

С какими задачами мы сегодня познакомились?

Каков алгоритм решения этих задач?  

Где встречаются эти задачи?

Какие качества помогают развивать  такие задачи?

Итак, сегодня на уроке мы с вами познакомились с задачами на проценты, встречающиеся на экзамене по математике. Это задачи на смеси и сплавы, решение которых предполагает составление и решение уравнений или систем уравнений, научились решать эти задачи при помощи составления математической модели, проверили свои знания с помощью самостоятельной работы.

VII. Задание на дом.

Задача 1. На сколько процентов изменится произведение двух чисел, если первое из них увеличить на 25%, а второе уменьшить на 60%?

      Решение. Пусть а – первое число, b – второе число, аb – их произведение. Согласно выражениям, указанным в пунктах 2 и 4, новое значение первого сомножителя равно а(1+0,01*25)=1,25а, новое значение второго сомножителя равно b(1-0,01*60)=0,4b, а их произведение 1,25а*0,4b=0,5ab. Понятно, что произведение уменьшилось в 2 раза, т.е на 50%

      Ответ. Уменьшится на 50%.

Задача 2.Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери

 уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

Решение. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое и при этом общий доход семьи вырос бы на 67%, значит,  зарплата мужа составляет 67% дохода семьи, стипендия дочери уменьшилась втрое и при этом доход сократился на 4%,значит две трети ее стипендии составляют 4% дохода семьи, вся ее стипендия - 6%, муж и дочь вместе получают доход 73%, жена 27%

Задача 3.Два слитка, один из которых содержит 35% серебра, а другой 65%, сплавляют и получают слиток массой 20 г., содержащий 47% серебра. Какова масса каждого из этих слитков?

Решение:

                              35%                            65%                       47%

                                 Х г                           у г                            20г

Составим систему уравнений:

Решая её, получим   х=8

                                  у=12            Ответ:  масса 1 слитка 8г;   2 слитка 12г 

Задача 4. Мировой финансовый кризис крепко ударил по российским туристам. Если, например, прошлой зимой перелет в Таиланд стоил 700$, то в этом году уже 1000. На сколько процентов подорожал перелёт  до Таиланда? На сколько процентов в прошлом году он был дешевле?

Решение: перелет подорожал на 300 долларов. Пусть Х цена подорожания.

Х== 43%

Слово «было дешевле» означает, что известна новая цена, а требуется найти величину её изменения.

                  х =            = 30%

Ответ: на 30%