Задачи на пропорции.
Основные понятия в задачах на пропорции.
Проведение подготовительной работы при обучении решению задач на прямую и обратную пропорциональность и построение цепочки задач от простого к сложному повысят доступность задач этого типа. Разумеется, нельзя требовать, чтобы все учащиеся умели решать такие задачи, но участие в поиске решения, тренировка в различении прямой и обратной пропорциональности, ознакомление с практикой решения задач будут полезны каждому из них.
С чего же начинать?
1. Научить школьников решать пропорции сознательно используя основное свойство пропорций.
2. Научить выделять в условиях задач две величины, устанавливать вид зависимости между ними.
3. Научить по условию задачи составлять пропорцию.
II. Основные этапы решения задач на прямую и обратную пропорциональность.
Первые задачи нацелены на подготовку к введению понятий прямой и обратной пропорциональности, они предполагают получение ответа с опорой на опытные представления учащихся.
Здесь полезно напомнить, что стоимость покупки определяется по формуле:
Стоимость = цена х количество;
И на примерах проследить, как при увеличении (уменьшении) одной величины в несколько раз изменяется вторая величина при неизменной третьей. Аналогичная работа проводится по формуле:
Путь = скорость х время
Работа = производительность х время
1. За несколько одинаковых карандашей девочка заплатила 80 руб. Сколько нужно заплатить за такие же карандаши мальчику, который купил карандашей:
а) в 3 раза больше?
б) в 3 раза меньше?
2. Расстояние от села до города велосипедист проехал за 3 часа.
а) За сколько часов это расстояние пройдет пешеход, скорость которого в 3 раза меньше скорости велосипедиста?
б) За сколько часов это расстояние проедет мотоциклист, скорость которого в 5 раз больше скорости велосипедиста?
Опыт, полученный учащимися при решении задач 1 и 2 нужно использовать при формировании понятий прямой и обратной пропорциональности.
Далее, опираясь на полученный опыт т определения прямой и обратной пропорциональности, учащиеся должны ответить на вопросы заданий 3 и 4. Здесь следует постоянно обращать их внимание на то, какие величины изменяются, а какие - нет. В случае затруднений, нужно обращаться к конкретным числовым данным.
3. Какова зависимость между:
а) ценой одного карандаша и стоимостью нескольких карандашей при постоянном количестве?
б) количеством карандашей и их стоимостью при постоянной их цене?
В) количеством карандашей и их ценой при постоянной стоимости покупки?
4. а)Покупают одинаковые тетради. Какова зависимость между количеством тетрадей и стоимостью всей покупки?
б) Расстояние между городами можно проехать на велосипеде или мотоцикле. Какова зависимость между временем и скоростью движения?
Работу над задачами 1-4 надо обобщить, заметив, что если три величины связаны равенством а = b * c, то при постоянном произведении множители обратно пропорциональны, а при постоянном множителе другой множитель и произведение прямо пропорциональны.
Задачи для работы в классе.
1. Найти четыре числа, образующих пропорцию, если известно, что сумма крайних членов равна 14, сумма средних членов равна 11, а сумма квадратов таких четырех чисел равна 221.
2. За одно и то же время токарь делает 6 деталей, а его ученик 4 детали.
Сколько деталей сделает ученик за то же время, за которое токарь сделает 27 деталей?
3. Старинная задача.
Взяли 560 человек солдат, корма на 7 месяцев, а приказано им на службе быть 10 месяцев; и захотели людей от себя убавить, чтобы корма хватило на 10 месяцев. Спрашивается сколько человек надо убавить.
4. Из «арифметики» А.П. Киселева.
Для освещения 18 комнат в 48 дней издержано 120 фунтов керосина, причем в каждой комнате горело по 4 лампы.
На сколько дней достанет 125 фунтов керосина, если освещать 20 комнат и в каждой комнате будет гореть по 3 лампы?
5. Сумма первых трех членов пропорции равна 58. Третий член составляет 2/3, а второй 3/4 первого члена.
Найти четвертый член пропорции и записать его.
Задачи для самостоятельного решения.
1. Для варки варенья из вишни на 6 кг ягод берут 4 кг сахарного песку. Сколько килограммов сахарного песку надо взять на 12 кг ягод?
2. 5 маляров могли бы покрасить забор за 8 дней. За сколько дней 10 маляров покрасят тот же забор?
3. Расстояние между двумя городами пассажирский поезд прошел со скоростью 80 км/ч за 3 ч.
За сколько часов товарный поезд пройдет то же расстояние со скоростью 60 км/ч?
4. Из «арифметики» А.П. Киселева.
8 аршин сукна стоят 30 руб. Сколько стоят 15 аршин этого сукна?
5. Старинная задача.
Одна артель плотников, состоящая из 28 человек, может построить дом в 54 дня, а другая из 30 человек - в 45 дней. Какая артель работает лучше?
6. 3 курицы за 3 дня снесли 3 яйца. Сколько яиц снесут 12 кур за 12 дней?
7. 100 синиц за 100 дней съедают 100 кг зерна. Сколько кг зерна съедят 10 синиц за 10 дней?
8. Из «арифметики» Л.Ф. Магницкого.
Некто имел 100 рублей в купечестве 1 год и приобрел ими только 7 рублей. А когда отдал в купечество 1000 рублей на 5 лет, сколько ими приобретет?
9. Старинная задача.
Переписчик в течение четырех дней может переписать 40 листов, работая по 9 ч в день.
Во сколько дней он перепишет 60 листов, работая по 12 ч в день?
10. Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона.
Если писец может за 8 дней написать 15 листов, сколько понадобится писцов, чтобы написать 405 листов за 9 дней?
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.