Урок по теме"Теорема Виета" 8 класс

Проблемно – диалогическое

обучение на уроке по теме:

«Теорема Виета».

                     8 класс    

Подготовила учитель

математики МБОУ

лицей № 3                                              Альхамова Л.М.

Учалы 2014

Тип урока: Урок совершенствования новых знаний и способов действий.

Образовательные цели:      

1.«Открыть» зависимость между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения.

2.Рассмотреть применение  теоремы Виета для приведенных квадратных уравнений в различных ситуациях.

Развивающие цели:

         1.Формировать умения анализировать, обобщать и делать выводы.

2.Развивать интерес к математике, показав на примере жизни Виета, что математика может быть увлечением.

Воспитательные цели:

         1.Формировать умение работать в соответствии с намеченным планом.

         2.Воспитывать целеустремленность.

Оборудование:

Карточки для проведения самостоятельной, частично-поисковой деятельности учащихся, оформленная доска, ПК, проектор, экран.

Структура урока.

1.Актуализация знаний.

1.Сообщение темы и целей урока.

         2.Проверка домашнего задания.

3.Повторение основного теоретического материала, необходимого для изучения новой темы.

4.Постановка проблемной задачи.

2.Формрование новых знаний и способов действий.

1.Самостоятельная, частично-поисковая деятельность учащихся с целью выдвижения гипотезы о зависимости между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения.

2.Обобщающая беседа, подтверждающая выдвинутую гипотезу.

3.Доказательство теоремы Виета.

4.Историческая справка из жизни Виета.

3.Применение знаний, формирование умений и навыков.

         1.Решение проблемной задачи.

         2.Решение задач на применение теоремы Виета.

         3.Итог урока.

         4.Домашнее задание.

Ход урока

1. Актуализация знаний

На предыдущих уроках мы работали над темой «Квадратные уравнения».

1.     Уравнение, какого вида называется квадратным?

2.     Какое уравнение называется неполным квадратным уравнением?

3.     Какое  квадратное уравнение называется приведенным? Как можно получить приведенное из полного? (У доски  про р и q )

4.     Какие методы решения квадратных уравнений вы знаете?

5.     Сколько корней может иметь квадратное уравнение и отчего это зависит?

( Спросить про коэф-ты )

Сегодня на уроке нам предстоит выяснить, существует ли связь  между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения и если существует, то какова эта связь.

2.Формирование новых знаний и способов действий

Давайте мы с вами попытаемся установить зависимость между корнями приведенного квадратного уравнения и его коэффициентами. (Дата  и тема)

Заполните таблицу:

План исследования.

1.     Решите каждое квадратное уравнение известным вам способом.

2.     Заполните рабочий лист.

3.     Сравните результаты колонок №2 и №5 по каждому уравнению, найдите закономерность, сделайте вывод.

4.     Сравните результаты колонок №3 и №6 по каждому уравнению, найдите закономерность, сделайте вывод.

5.     Ответьте на вопрос урока.

6.     Подготовьте отчет.

1	2	3	4	5	6
Приведенное квадратное уравнение х2 + px + q = 0	Второй коэффициент p	Свободный член q	Корни х1 и х2	Сумма корней х1 + х2	Произведение корней х1 · х2
х2 + 7х + 12 = 0	7	12	- 3 и - 4	- 7	12
х2 - 9х + 20 = 0	- 9	20	4 и 5	9	20
х2 – х - 6 = 0	- 1	- 6	- 2 и 3	1	- 6
х2 + х – 12 = 0	1	- 12	- 4 и 3	- 1	- 12
х2 - 12х – 45 = 0	-12	-45	-3 и 15	12	-45
х2 + 5х + 14 = 0	5	14	нет	-	-

После того, как все задания будут выполнены, учащиеся выдвигают свое предположение и подтверждают его примерами из таблицы.       Учитель корректирует выдвинутую гипотезу.    

Учитель сообщает учащимся о том, что выдвинутая гипотеза называется теоремой Виета по имени знаменитого французского математика Франсуа Виет.

Дано:            

         Доказать:        (Проговорить)                               

                                                 Доказательство:

           

1)    Если >0, то уравнение имеет два корня.

    

    

    

2)    Если =0, то уравнение имеет один корень.

   Если считать, что при =0 уравнение имеет два равных корня, то

   теорема будет верна и в этом случае.

3)    Если <0, то уравнение корней не имеет.

  Затем, ребятам предлагается послушать мини-доклад о жизни этого математика, который подготовила ученица класса.

- Вспомните, какая теорема называется обратной данной теореме? (Теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением – условие данной теоремы, называется теоремой, обратной данной).

        - Составьте схему теоремы, обратной записанной.

Формулируется теорема, обратная данной.

Если числа х₁, х₂ таковы, что х₁ + х₂ = -р, х₁· х₂ = q, то х₁ и х₂ - корни приведенного квадратного уравнения х² + рх + q = 0.

Данная теорема справедлива, хотя из курса геометрии нам известно, что не всегда из истинности прямой теоремы следует истинность обратной. Доказать эту теорему вы должны будете дома.

3.Применение знаний, формирование умений и навыков.

Попытаемся определить, какие задачи можно будет решать с помощью прямой и обратной теоремы.

     С её помощью можно:

·        Подобрать корни уравнения, не решая его.

·        По данным двум числам составлять квадратное уравнение.

·        Найти сумму и произведение корней квадратного уравнения, не решая его,

·        Зная один из корней , найти другой,

·        Определить знаки корней уравнения,

На этапе применения новых знаний учащимся предлагаются задания, записанные на доске.

1. Образец. Решить уравнение х² – х – 6 = 0.

Решение:  х₁+ х₂= 1,   х₁ · х₂ = -6;

по теореме, обратной данной, х₁ = -2, х₂ = 3.  Ответ: -2; 3

Найти подбором корни уравнения   (по рядам по парам.)

1.     х² + 12х +27 = 0

2.     х² + 11х - 12 = 0

3.     х² - 9х +20 = 0

4.     х² + х - 56 = 0

5.     х² + 16х + 63 = 0

2.Составьте квадратное уравнение, если его корни равны:

                 

х² +2х-3=0

х² -11х + 30=0

3        Проверьте, правильно ли найдены корни квадратного уравнения:

(Все верно)

3.Можно ли назвать сумму корней квадратного уравнения

                     (Да.)

На самом деле ответ этот неверен, так как это уравнение корней вообще не имеет, потому что дискриминант отрицательное число. Нужно убедиться, что квадратное уравнение имеет корни.

Итог урока

1.     Что нового узнали на уроке?

2.     Сформулируйте теорему Виета.

3.     На примере, каких квадратных        уравнений, сегодня на уроке, мы рассмотрели применение теоремы Виета?

4.     Как можно использовать теорему Виета?

Отметить тех, кто хорошо поработал на уроке.

Домашнее задание:

1  п.21, приготовьте доказательство теоремы, обратной теореме Виета, для приведенного квадратного уравнения.

2.      № 704(а),705 (а), 706(а)

3.        Дополнительные задания.

Уровень А. Найдите сумму и произведение корней уравнения:   2. Пользуясь теоремой, обратной теореме Виета, составьте квадратное уравнение, корни которого равны 2 и 5.

Уровень В. Найдите сумму и произведение корней уравнения:   2. Пользуясь теоремой, обратной теореме Виета, составьте квадратное уравнение, корни которого равны  и  .

Уровень С. Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета:

• 1 слайд

• 2 слайд

  Повторение
  Уравнение, какого вида называется квадратным?
  Какое уравнение называется неполным квадратным уравнением?
  Какое квадратное уравнение называется приведенным?
  

• 3 слайд

  Повторение
  Какие методы решения квадратных уравнений вы знаете?
  Сколько корней может иметь квадратное уравнение и отчего это зависит?
  
  

• 4 слайд

  Повторение
  

• 5 слайд

  Теорема Виета
  

• 6 слайд

• 7 слайд

  Гипотеза
  Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену
  Теорема Виета
  

• 8 слайд

  Доказательство теоремы
  Дано:
  Доказать:
  
  Доказательство:
  1)Если Д>0, то уравнение имеет два корня.
  
  
  
  
  
  
  2)Если Д=0, то уравнение имеет один корень.
  Если считать, что при Д=0 уравнение имеет два
  равных корня, то теорема верна и в этом случае.
  3)Если Д<0, то уравнение корней не имеет.
  
  
  
  

• 9 слайд

  Франсуа Виет
  
  1540-
  -1603
  

• 10 слайд

  Теорема, обратная теореме Виета
  
  Если числа х1 и х2 таковы, что
  х1 + х2 = -р, х1· х2 = q, то х1 и х2 - корни приведенного квадратного уравнения
  х2+рх+q=0
  

• 11 слайд

  Для чего нужна теорема Виета?
  1. Она позволяет находить подбором корни квадратного уравнения.
  2. По данным двум числам составлять квадратное уравнение.
  3. Найти сумму и произведение корней квадратного уравнения, не решая его.
  4. Зная один из корней , найти другой.
  5. Определить знаки корней уравнения
  

• 12 слайд

  Найти подбором корни уравнения
  Образец.
  
  Решить уравнение х2– х – 6 = 0.
  Решение:
  х1+ х2= 1,
  х1 · х2 = -6;
  по теореме, обратной данной:
  х1 = -2, х2 = 3.
  
  Ответ: -2; 3
  
  

• 13 слайд

  Найти подбором корни уравнения
  

• 14 слайд

  Составьте квадратное уравнение, если его корни равны:
  

• 15 слайд

  Проверьте, правильно ли найдены корни квадратного уравнения
  

• 16 слайд

  Можно ли назвать сумму корней квадратного уравнения
  

• 17 слайд

  Итог урока
  Что нового узнали на уроке?
  Сформулируйте теорему Виета.
  На примере, каких квадратных уравнений, сегодня на уроке, мы рассмотрели применение теоремы Виета?
  Как можно использовать теорему Виета?
  

• 18 слайд

  Домашнее задание
  п.21, приготовьте доказательство теоремы, обратной теореме Виета, для приведенного квадратного уравнения.
  № 704(а),705 (а), 706(а)
  Дополнительные задания 3 уровней.