Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок по теме:"вынесение общего множителя за скобки

Урок по теме:"вынесение общего множителя за скобки


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_190e626f.gif

Приложение

Разработка урока "Теорема о трех перпендикулярах"

Разделы: Математика



Цели урока:

  • Обучающая:сформировать у учащихся понятие о теореме о трех перпендикулярах, познакомить с доказательствои теоремы и сформировать умение применять ее при решении задач;

  • Развивающая: уметь логически мыслить, точно выражать свои мысли, творчески подойти к поставленной задаче;

  • Воспитательная: воспитать точность, аккуратность, любовь к предмету; показать красоту предмета.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент

2. Актуализация опорных знаний Содержание тестов, тексты задач

1.Входной тест.

Заполните пропуски.

  1. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она …………………….к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

  2. Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они ………………………

  3. Если прямая перпендикулярна к двум……………. прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

  4. Перпендикуляр, проведенный из данной точки к плоскости, меньше любой………….., проведенной из этой же точки к этой плоскости.

  5. Длина перпендикуляра, проведенного из точки к плоскости, называется ………….. от точки до плоскости.

.

  1. Проекцией прямой на плоскость, не перпендикулярную к этой прямой, является ……………..

  2. Все линейные углы……………….угла равны друг другу.

  3. Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его …………..угла.

  4. Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, …………………к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

  5. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней-………………………

  6. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда -……………………

  7. Длины трех ребер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, называются…………………..прямоугольного параллелепипеда.

  8. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме …………….трех его измерений.

  9. …………………прямоугольного параллелепипеда равны.



3. Изложение нового материала

Теорема (о трех перпендикулярах). Прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной перпендикулярно ее проекции, перпендикулярна и самой наклонной.
И обратно: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

http://festival.1september.ru/articles/600961/img1.jpg

Доказательство:

http://festival.1september.ru/articles/600961/img2.gif

Обратная теорема разбирается устно и предлагается учащимся записать ее доказательство самостоятельно дома.

4. Закрепление нового материала

Задача 1.

Из вершины А квадрата АВСD восстановлен перпендикуляр АК к его плоскости. Докажите, что ВС перпендикулярно КВ.


http://festival.1september.ru/articles/600961/img2.jpg

Доказательство:

http://festival.1september.ru/articles/600961/img3.gif

Задача 2. (устно)

Из вершины В квадрата АВСD восстановлен перпендикуляр ВМ к его плоскости. Докажите, что АС перпендикулярно МО (О – точка пересечения диагоналей).

http://festival.1september.ru/articles/600961/img3.jpg

http://festival.1september.ru/articles/600961/img4.jpg

http://festival.1september.ru/articles/600961/img5.jpg

Задача 3. (устно)

Из вершины А прямоугольника АВСD восстановлен перпендикуляр АК к его плоскости. Докажите, что треугольник КВС прямоугольный.

http://festival.1september.ru/articles/600961/img6.jpg

Доказательство:

http://festival.1september.ru/articles/600961/img4.gif

Задача 4.

Из вершины прямоугольника АВСD восставлен перпендикуляр АК  к его плоскости. Расстояния от точки К до других вершин равны 6 см, 7 см, 9 см. Найдите длину перпендикуляра АК.

http://festival.1september.ru/articles/600961/img7.jpg

Решение:

http://festival.1september.ru/articles/600961/img5.gif

Задача 5.

http://festival.1september.ru/articles/600961/img6.gif

http://festival.1september.ru/articles/600961/img7.gif

Решение:

http://festival.1september.ru/articles/600961/img8.gif

5. Резерв

Кроссворд.

http://festival.1september.ru/articles/600961/img1.gif

По горизонтали:

1. Значение переменной при решение уравнений.
2. Прямые, которые пересекаются под прямым углом.
3. Какой знак нужно поставить между числами 5,3 и 5,65 ?
4. Основное геометрическое понятие стереометрии.
5. Равенство, содержащее переменную. 

По вертикали:

6. Сколько способов задания плоскости?
7. Математическое предложение, не требующее доказательства.
8. Математическое предложение, требующее доказательства.
9. Древнегреческий ученый – математик.

Ответы: 1) корень; 2) перпендикулярные; 3) меньше; 4) прямая; 5) уравнение; 6) четыре; 7) аксиома; 8) теорема; 9) Пифагор.

6. Домашнее задание

ме “Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве”.

Предмет: ГЕОМЕТРИЯ

Цели:

  • учебные: контроль знаний и умений учащихся по теме “Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве”,

  • развивающие: развитие пространственного воображения, вычислительных навыков, логического мышления,

  • воспитательные: воспитание культуры поведения, коммуникативных свойств личности, навыков контроля и самоконтроля.

Основные блоки урока.

п/п

Название блоков

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

1.

Подготовительный

Проверить готовность учащихся. Объявить тему, цели урока.

Подготовиться к уроку.

2.

Входной тест

Организовать самопроверку учащихся устно.

Отвечают на вопросы теста, заполняют пропуски.

3.

Задачи

Организует проверку экспертами решения задач.

Находят неизвестную величину по условию задачи, оформление решения краткое.

4.

Итоговый тест

Организует проверку экспертами ответов на вопросы теста.

Отвечают на вопросы теста.

5.

Экзаменационные задачи

Проверяет решение задач, демонстрируя модели многогранников.

Решают предложенные задачи.

6.

Подведение итогов

Организует работу учащихся по подведению итогов зачета. Сообщает фамилии тех, кто сдал успешно.

Подсчитывают баллы и переводят их в итоговые оценки.

Технологическая карта учителя.

Тема: ЗАЧЕТ ПО ТЕМЕ

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве”.

Предмет: Геометрия

Содержательные и методические аспекты урока.

Номер урока

Тема урока.

Зачет по теме:
“Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве”.

Что должен знать учащийся.

Основные понятия по теме, признаки перпендикулярности прямой и плоскости, плоскостей, теорему о трех перпендикулярах, свойства линейных углов, свойства прямоугольного параллелепипеда.

Что должен уметь учащийся.

Применять теорию к решению задач.

Цель урока.

Обобщение и контроль знаний учащихся

Межпредметные связи.

Геометрия: “Прямоугольный треугольник.
Теорема Пифагора”.

Алгебра: “Квадратные корни”.

Внутрипредметные связи.

Многогранники: “Параллельность в пространстве”.

Ожидаемый результат.

Учащиеся справляются с зачетом в предложенной форме.

Характер и формы организации познавательной деятельности учащихся.

Работа в группах и индивидуальная в соревновательной форме.

Вид учебного занятия.

Урок-зачет

Контроль учителя.

Тест

Оборудование.

Карточки. Таблицы. Модели.
Учебник: Атанасян Л.С. ГЕОМЕТРИЯ.
Учебник для 10-11-х классов.

Личная значимость изучаемого по теме.

Знания по теме необходимы при изучении следующих тем стереометрии: “Многогранники”, “Тела вращения”.

Содержание тестов, тексты задач

1.Входной тест.

Заполните пропуски.

  1. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она …………………….к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

  2. Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они ………………………

  3. Если прямая перпендикулярна к двум……………. прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

  4. Перпендикуляр, проведенный из данной точки к плоскости, меньше любой………….., проведенной из этой же точки к этой плоскости.

  5. Длина перпендикуляра, проведенного из точки к плоскости, называется ………….. от точки до плоскости.

  6. Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее ……………….., перпендикулярна и самой наклонной.

  7. Проекцией прямой на плоскость, не перпендикулярную к этой прямой, является ……………..

  8. Все линейные углы……………….угла равны друг другу.

  9. Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его …………..угла.

  10. Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, …………………к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

  11. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней-………………………

  12. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда -……………………

  13. Длины трех ребер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, называются…………………..прямоугольного параллелепипеда.

  14. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме …………….трех его измерений.

  15. …………………прямоугольного параллелепипеда равны.

2. Задачи

( условие задач на печатной основе, количество вариантов на усмотрение учителя, см. рисунок 1).

  1. Из точки к плоскости проведен перпендикуляр длиной 5 см и наклонная длиной х см, угол между наклонной и ее проекцией на плоскость 30°. Найдите длину наклонной.

  2. Из точки к плоскости проведен перпендикуляр длиной 6см и две равные наклонные длиной 10 см. Угол между проекциями равен 90°. Найдите расстояние между основаниями наклонных.

  3. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 12 см и 5 см, угол между диагональю и высотой 45°. Найдите высоту прямоугольного параллелепипеда.

  4. Двугранный угол равен 90°. На разных гранях двугранного угла выбраны точки, удаленные от ребра угла на расстоянии 12 и 9 см. Найдите расстояние между этими точками.

  5. Из точки к плоскости равнобедренного треугольника с основанием 10 см и боковыми сторонами 13 см через вершину треугольника проведен перпендикулhello_html_m1ef60c3e.pngяр длиной 2 см.

Найдите расстояние от точки до основания треугольника.

3. Итоговый тест.

1.Если угол между двумя прямыми равен 90°, то эти прямые:

а) пересекаются, б) параллельны, в) скрещиваются, г) перпендикулярны, д) совпадают.

2. Какое из следующих утверждений неверно:

а) если прямая перпендикулярна к двум прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и к этой плоскости, б) если прямая перпендикулярна к плоскости, то она ее пересекает, в) если две плоскости перпендикулярны к прямой, то они параллельны, г) если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны, д) если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

3.Если одна из двух скрещивающихся прямых перпендикулярна к плоскости, то будет ли перпендикулярна к этой плоскости вторая прямая?

а) да, б) да, но при определенных условиях, в) определить нельзя, г) нет, д) другой ответ.

4. Прямая а перпендикулярна к прямым с и в, лежащим в плоскости http://festival.1september.ru/articles/514875/Image6548.gif, прямая а перпендикулярна к плоскости http://festival.1september.ru/articles/514875/Image6548.gif. Каково взаимное расположение прямых с и в?

а) параллельны, б) пересекаются, в) параллельны или пересекаются, г) совпадают,  д) определить нельзя.

5.Одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна прямой, тогда:

а) другая плоскость параллельна прямой, б) прямая лежит в другой плоскости, в) другая плоскость перпендикулярна прямой, г) прямая не пересекает другую плоскость,  д) выполняются все случаи, указанные в пунктах а - г.

6.Точка Е не принадлежит плоскости прямоугольника АВСD, ВЕ http://festival.1september.ru/articles/514875/Image6549.gifАВ, ВЕ http://festival.1september.ru/articles/514875/Image6549.gifВС. Тогда прямая и плоскость ВСЕ:

а) параллельны, б) перпендикулярны, в) скрещиваются, г) прямая лежит в плоскости,  д) перпендикулярны, но не пересекаются.

7.Какое из следующих утверждений неверно?

а) перпендикуляр и наклонная, выходящие из одной точки, имеют равные длины, б) проекцией прямой на плоскость является точка или прямая, в) наклонные разной длины, проведенные к плоскости из одной точки, имеют проекции разных длин,  г) прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна к ее проекции, д) расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости называется расстоянием между параллельными плоскостями.

8.Расстояния от точки М до сторон прямоугольного треугольника АВС (угол С равен 90°) равны. Какое из следующих утверждений верно?

а) плоскости МАВ и АВС перпендикулярны, б) плоскости МВС и АВС перпендикулярны, в) плоскости МАС и АВС перпендикулярны, г) плоскости МАС и МВС перпендикулярны, д) условия в пунктах а - г неверны.

9.Угол между двумя плоскостями равен 80°. Какое из следующих утверждений неверно?

а) плоскости пересекаются, б) в одной из плоскостей найдется прямая, перпендикулярная другой плоскости, в) в одной из плоскостей все прямые не перпендикулярны другой плоскости, г) в одной из плоскостей найдется прямая, параллельная другой плоскости, д) плоскости не перпендикулярны.

10.Какое из следующих утверждений верно?

а) градусная мера двугранного угла не превосходит 90°, б) двугранным углом называется плоский угол, образованный прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, в) если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны, г) угол между плоскостями всегда тупой,  д) все линейные углы двугранного угла различны.

11.Какое из следующих утверждений верно?

а) в прямоугольном параллелепипеде все шесть граней - произвольные параллелограммы, б) все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда - острые, в) прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны, называется кубом, г) квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме трех его измерений, д) параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию.

12.Длины трех ребер, имеющих общую вершину, называются:

а) высотами прямоугольного параллелепипеда, б) диагоналями прямоугольного параллелепипеда, в) измерениями прямоугольного параллелепипеда, г) диагоналями основания прямоугольного параллелепипеда, д) смежными ребрами прямоугольного параллелепипеда.

4.Экзаменационные задачи.

(Примерные задачи из экзаменационных билетов по геометрии за курс среднего (полного) общего образования).

1.Стороны основания прямоугольного параллелепипеда АВСD А1В1С1D1 равны 6см и 8 см, а угол между диагональю АС1 параллелепипеда и плоскостью основания равен 45°. Найдите длину СС1 (Угол между прямой и плоскостью. Перпендикуляр и наклонная).

Указания к решению:

1.Из треугольника АВС найдите длину АС.

2.Треугольник АСС1 -………….

3.Из треугольника АСС1 найдите длину СС1.

2.Боковое ребро прямоугольного параллелепипеда АВСD А1В1С1D1 равно 6 http://festival.1september.ru/articles/514875/Image6550.gifсм, сторона основания равна 6см. Найдите угол между прямыми АВ1 и СD1. (Угол между скрещивающимися прямыми)

Указания к решению:

  1. Угол между прямыми АВ1 и С D1 - это угол между прямыми АВ1 и ВА1.

  2. Из треугольника АВА1 найдите ВА1.

  3. По свойству диагоналей прямоугольника АВВ1А1 длина АО (О – точка пересечения диагоналей прямоугольника) равна………………………………..

  4. В треугольнике АВО длины АВ, ВО и АО ………………………
    Значит треугольник-………………………………………………..

  5. Углы треугольника АВО равны … градусов.

  6. Угол АОВ равен………………….., значит, угол АОА1 равен……………..

4. Оценочный лист учащегося.

Фамилия:

п/п

Название блока

баллы

оценка

1

Входной тест

 

 

2

Задачи

 

 

3

Итоговый тест

 

 

4

Экзаменационные задачи

 

 

 

ИТОГИ

 

 

5. Шкала баллов и оценок.

ШКАЛА БАЛЛОВ И ОЦЕНОК

БАЛЛЫ

ОЦЕНКИ

1. Входной тест
(по числу верных ответов)

8- 11балло

12-15 баллов

3”

4”

2. Задачи
(по числу решенных верно задач)

3 задачи

4-5 задач

3”

4”

3. Итоговый тест
(по числу верных ответов)

7-8 баллов

9-10 баллов

11-12 баллов

3”

4”

5”

4. Экзаменнационны






Автор
Дата добавления 22.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров270
Номер материала ДВ-369151
Получить свидетельство о публикации

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх