Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок повторения планиметрии на одной задаче в 11 классе

Урок повторения планиметрии на одной задаче в 11 классе

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ

Выбранный для просмотра документ medalingrad-reg.doc

библиотека
материалов



Регистрационный бланк для участия в творческом конкурсе

«Медалинград – сентябрь 2015»

Заполняется отдельный Регистрационный бланк на каждую конкурсную работу.

Подробнее о конкурсах - http://medalingrad.ru


1

Автор работы: фамилия, имя, отчество участника(ов), название коллектива (если есть), возраст (для детей), должность (для педагогов). Если работа коллективная – перечисляются фамилия, имя, отчество всех участников, кто хотел бы получить персональные медали с удостоверением и(или) дипломы (грамоты). Отчество для детей можно не указывать. Для детей указать возраст.

Костикова Людмила Алексеевна

Учитель математики МОУ «Гимназия №1» г. Нерюнгри

2

Название образовательного учреждения (если есть).

МОУ «Гимназия №1» г. Нерюнгри


3

Место нахождения образовательного учреждения: республика, край/область, город/село (если есть) или место жительства.

678960, г. Нерюнгри, Республика Саха (Якутия), ул. К. Маркса, д. 4, гимназия №1


4

Фамилия, имя, отчество руководителя(ей) конкурсной работы (если руководитель есть).


5

Место работы, должность руководителя(ей) конкурсной работы (если руководитель есть).


6

Конкурсные номинации (выберите нужную вам).

Номинации для детей:

1. Декоративно-прикладное творчество.

2. Рисунок.

3. Вокальное и музыкальное творчество.

4. Хореография.

5. Литературное творчество.

6. Актерское мастерство.

7. Фотография и видео.

8. Детские исследовательские работы и проекты.

Номинации для взрослых:

1. Творческие работы и методические разработки педагогов.

2. Педагогические проекты.

3. Сценарии праздников и мероприятий в детском саду, школе, семье и т.д.

4. Оформление помещений, территории, участка.

5. Фотография и видео.

6. Декоративно-прикладное и изобразительное творчество

Творческие работы и методические разработки педагогов.


7

Название работы.

Урок одной задачи

8

Дополнительные сведения о работе (если есть).

При подготовке к выпускному экзамену в форме ЕГЭ на уроках повторяется зависимость между геометрическими величинами в теоремах планиметрии. И всего лишь на одной задаче можно показать разнообразие и красоту используемых теорем и геометрических величин. Урок, не только знакомит с различными методами решения одной задачи, повышая уровень знаний, но и создает условия для творчества учащихся, воспитывает умения вести учебный диалог, доказывать свою позицию, само реализовать себя как личность. Урок предложен по технологии ИОСО.


9

Количеств персональных медалей с удостоверением для участника(ов)

( оргвзнос 400 руб. за каждую медаль с удостоверением, медали рассылаются «Почтой России»).


10

Количество персональных медалей с удостоверением для руководителя(ей).

Заполняется, если руководитель оплатил дополнительный оргвзнос за себя и ему необходима персональная медаль ( оргвзнос 400 руб. за каждую медаль с удостоверением, медали рассылаются «Почтой России»).


11

Количество персональных дипломов для участника(ов) и в каком виде они нужны – электронном или бумажном (оргвзнос за каждый диплом в электронном виде - 100 руб., оргвзнос за каждый диплом в бумажном виде - 200 руб.).

Один диплом в электронном виде

12

Количество персональных дипломов для руководителя(ей) и в каком виде они нужны – электронном или бумажном.

Заполняется, если руководитель оплатил дополнительный оргвзнос за себя и ему необходим персональный диплом (оргвзнос за каждый диплом в электронном виде - 100 руб., оргвзнос за каждый диплом в бумажном виде - 200 руб.).


13

Ваш полный почтовый адрес для отправки вам медалей с удостоверением и(или) дипломов в бумажном виде, полученных вами в ходе конкурса. (Почтовый индекс, адрес, фамилия, имя, отчество. Указывается ФИО взрослого, который мог бы получать за ребенка заказную корреспонденцию).

Полный почтовый адрес указывается, если вы хотите получать медали с удостоверением и(или) дипломы в бумажном виде. Нужно указать только один адрес (участника, педагога, школы и т.д.)


14

Ваш адрес электронной почты (e-mail) для отправки вам дипломов в электронном виде.

Lyyda_1949@mail.ru

15

Контактный телефон.

89241793789

16

Информация об оплате оргвзноса (как произведена оплата – банковским переводом или электронными деньгами, сумма, дата, номер квитанции или номер вашего счета WebMoney, Яндекс.Деньги ). Копия квитанции (фото или скан) должна быть приложена к Регистрационному бланку.

Банковский перевод, в сумме 100 руб., 30.09.15 г., квитанция № 176


С условиями конкурса согласен: Костикова Людмила Алексеевна

(Фамилия, имя, отчество взрослого, заполнившего Регистрационный бланк).


«_30__» __09________ 201_5_ .


Бланк заполняется на каждую конкурсную работу отдельно. Для регистрации заполните и отправьте по адресу konkurs@medalingrad.ru .

Подробнее о конкурсах - http://medalingrad.ru/

Организатор конкурса "Талантоха": Всероссийское СМИ "Талантоха".

Свидетельство о регистрации ЭЛ № ФС 77-56409,

выдано Федеральной службой по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций.



Выбранный для просмотра документ Квитанция.docx

библиотека
материалов



hello_html_7308f882.png

Выбранный для просмотра документ Презентация № 1 (I метод).ppt

библиотека
материалов
Геометрия Ловчикова Е. Холодкова Ю.
Задача: Хорды АВ и CD окружности радиуса r перпендикулярны и делятся точкой п...
1. Пусть AD=x, BC=y. По т. Пифагора для ∆AED: (1) По т. Пифагора для ∆СЕВ: (2...
Ч. и т.д.
4 1

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.


Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.


Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Геометрия Ловчикова Е. Холодкова Ю.
Описание слайда:

Геометрия Ловчикова Е. Холодкова Ю.

№ слайда 2 Задача: Хорды АВ и CD окружности радиуса r перпендикулярны и делятся точкой п
Описание слайда:

Задача: Хорды АВ и CD окружности радиуса r перпендикулярны и делятся точкой пересечения на отрезки AB, CD. Доказать, что сумма квадратов этих отрезков есть величина постоянная для данной окружности, равная квадрату ее диаметра.

№ слайда 3 1. Пусть AD=x, BC=y. По т. Пифагора для ∆AED: (1) По т. Пифагора для ∆СЕВ: (2
Описание слайда:

1. Пусть AD=x, BC=y. По т. Пифагора для ∆AED: (1) По т. Пифагора для ∆СЕВ: (2) 2. Проведём АК||СD. Тогда ВК=2R –диаметр (т.к. КАВ прямой) 3. CKAD – равнобокая трапеция, поскольку в окружность можно вписать равнобокую трапецию => CK=AD=x KCВ=90 (опирается на диаметр) D

№ слайда 4 Ч. и т.д.
Описание слайда:

Ч. и т.д.

Выбранный для просмотра документ Презентация № 2 (II метод).ppt

библиотека
материалов
1 1

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.


Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.


Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1
Описание слайда:

Выбранный для просмотра документ Презентация № 3 (III метод).ppt

библиотека
материалов
Решение задачи по геометрии Подготовили Копытова Кристина, Габдрахманова Гуль...
Условие: Хорды АВ и СD окружности радиуса R перпендикулярны и точкой пересече...
Дополнительные сведения Угол с вершиной внутри круга x=1/2( a + b) Теорема Пи...
Решение 1. По свойству угла с вершиной внутри круга 1/2 ( AD + CB ) = 900 ( A...
3. По теореме Пифагора для треугольника ADK: x2 + y2 = 4R2 а2 + b2 + с2 + d2...
6 1

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.


Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.


Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Решение задачи по геометрии Подготовили Копытова Кристина, Габдрахманова Гуль
Описание слайда:

Решение задачи по геометрии Подготовили Копытова Кристина, Габдрахманова Гульнара

№ слайда 2 Условие: Хорды АВ и СD окружности радиуса R перпендикулярны и точкой пересече
Описание слайда:

Условие: Хорды АВ и СD окружности радиуса R перпендикулярны и точкой пересечения делятся на отрезки а, b, с, d. Доказать, что сумма квадратов этих отрезков есть величина постоянная для данной окружности, равная квадрату её диаметра, то есть а2 + b2 + с2 + d2 = 4R2.

№ слайда 3
Описание слайда:

№ слайда 4 Дополнительные сведения Угол с вершиной внутри круга x=1/2( a + b) Теорема Пи
Описание слайда:

Дополнительные сведения Угол с вершиной внутри круга x=1/2( a + b) Теорема Пифагора а2 + b2 = с2 Диаметр и радиус d = 2R d2 = (2R)2 = 4R2

№ слайда 5 Решение 1. По свойству угла с вершиной внутри круга 1/2 ( AD + CB ) = 900 ( A
Описание слайда:

Решение 1. По свойству угла с вершиной внутри круга 1/2 ( AD + CB ) = 900 ( AD + CB) = 1800 2. Проведем l // AB ( l содержит диаметр ) по свойству симметрии. DK = BC = y => DK = BC Значит, AD + DK = 1800 => => AK – диаметр, угол ADK = 900

№ слайда 6 3. По теореме Пифагора для треугольника ADK: x2 + y2 = 4R2 а2 + b2 + с2 + d2
Описание слайда:

3. По теореме Пифагора для треугольника ADK: x2 + y2 = 4R2 а2 + b2 + с2 + d2 = 4R2 что и требовалось доказать.

Выбранный для просмотра документ Презентация № 4 (IV метод).ppt

библиотека
материалов
Лаврук, Чеховский, Бородин.
Дано: Окружность, AB, СD-хорды, AB CD=E Доказать:
Построим отрезок TK симметричный AB, относительно центра окружности О. В силу...
Из прямоугольного треугольника DPK: = + = + Рис. 2
Очевидно, что АК - диаметр (т.к. ABKT-прямоугольник)=> ADK= Рис. 3
По теореме Пифагора: + = или + + + = Рис. 4 X
Назад
Назад
Назад
Назад
10 1

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.


Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.


Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Лаврук, Чеховский, Бородин.
Описание слайда:

Лаврук, Чеховский, Бородин.

№ слайда 2 Дано: Окружность, AB, СD-хорды, AB CD=E Доказать:
Описание слайда:

Дано: Окружность, AB, СD-хорды, AB CD=E Доказать:

№ слайда 3 Построим отрезок TK симметричный AB, относительно центра окружности О. В силу
Описание слайда:

Построим отрезок TK симметричный AB, относительно центра окружности О. В силу симметрии: TK=AB CP=ED=d PK=BE=b Очевидно PD=CE Рис. 1

№ слайда 4 Из прямоугольного треугольника DPK: = + = + Рис. 2
Описание слайда:

Из прямоугольного треугольника DPK: = + = + Рис. 2

№ слайда 5 Очевидно, что АК - диаметр (т.к. ABKT-прямоугольник)=> ADK= Рис. 3
Описание слайда:

Очевидно, что АК - диаметр (т.к. ABKT-прямоугольник)=> ADK= Рис. 3

№ слайда 6 По теореме Пифагора: + = или + + + = Рис. 4 X
Описание слайда:

По теореме Пифагора: + = или + + + = Рис. 4 X

№ слайда 7 Назад
Описание слайда:

Назад

№ слайда 8 Назад
Описание слайда:

Назад

№ слайда 9 Назад
Описание слайда:

Назад

№ слайда 10 Назад
Описание слайда:

Назад

Выбранный для просмотра документ Презентация № 5 (V метод).ppt

библиотека
материалов
Дано: Окружность(центр в т.О, радиус=R) AB,CD – хорды AB CD AH=a, BH=b, CH=c,...
Доказательство: . ; . . . Докажем, что Углы центральные
.Тогда .Следовательно , но и Значит, читд
3 1

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.


Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.


Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Дано: Окружность(центр в т.О, радиус=R) AB,CD – хорды AB CD AH=a, BH=b, CH=c,
Описание слайда:

Дано: Окружность(центр в т.О, радиус=R) AB,CD – хорды AB CD AH=a, BH=b, CH=c, DH=d Доказать, что

№ слайда 2 Доказательство: . ; . . . Докажем, что Углы центральные
Описание слайда:

Доказательство: . ; . . . Докажем, что Углы центральные

№ слайда 3 .Тогда .Следовательно , но и Значит, читд
Описание слайда:

.Тогда .Следовательно , но и Значит, читд

Выбранный для просмотра документ Презентация № 6 (Свой способ (1) - Ракова М).ppt

библиотека
материалов
Задача
Условие задачи Хорды АВ и СD окружности радиуса R перпендикулярны и делятся т...
Решение Обозначим точку пересечения хорд точкой Н. Рассмотрим треугольник АВС...
3.Заметим, что треугольник АВС является вписанным в данную окружность, поэтом...
Выразим неизвестные нам длины через переменные а, b, с: Из АСН – прямоугольно...
Из СВН – прямоугольного треугольника по теореме Пифагора:
4.Приравняем полученные площади: Упростив выражение, получим:
5.По свойству хорд ab=cd Вернемся к полученному равенству: Что и требовалось...
8 1

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.


Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.


Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Задача
Описание слайда:

Задача

№ слайда 2 Условие задачи Хорды АВ и СD окружности радиуса R перпендикулярны и делятся т
Описание слайда:

Условие задачи Хорды АВ и СD окружности радиуса R перпендикулярны и делятся точкой пересечения на отрезки a, b, c, d. Доказать, что сумма квадратов этих отрезков есть постоянная величина для данной окружности, равная квадрату ее диаметра

№ слайда 3 Решение Обозначим точку пересечения хорд точкой Н. Рассмотрим треугольник АВС
Описание слайда:

Решение Обозначим точку пересечения хорд точкой Н. Рассмотрим треугольник АВС. СН – высота АВ – основание

№ слайда 4 3.Заметим, что треугольник АВС является вписанным в данную окружность, поэтом
Описание слайда:

3.Заметим, что треугольник АВС является вписанным в данную окружность, поэтому его площадь можно выразить через радиус описанной окружности:

№ слайда 5 Выразим неизвестные нам длины через переменные а, b, с: Из АСН – прямоугольно
Описание слайда:

Выразим неизвестные нам длины через переменные а, b, с: Из АСН – прямоугольного треугольника по теореме Пифагора:

№ слайда 6 Из СВН – прямоугольного треугольника по теореме Пифагора:
Описание слайда:

Из СВН – прямоугольного треугольника по теореме Пифагора:

№ слайда 7 4.Приравняем полученные площади: Упростив выражение, получим:
Описание слайда:

4.Приравняем полученные площади: Упростив выражение, получим:

№ слайда 8 5.По свойству хорд ab=cd Вернемся к полученному равенству: Что и требовалось
Описание слайда:

5.По свойству хорд ab=cd Вернемся к полученному равенству: Что и требовалось доказать.

Выбранный для просмотра документ Статья DOS 3.doc

библиотека
материалов

2


Урок одной задачи

.

Костикова Людмила Алексеевна,

учитель математики МОУ «Гимназии № 1», г. Нерюнгри


«Вдохновение и труд – неразрывные стороны творческого процесса»

Л.С. Понтрягин

Тема урока: Повторение теорем планиметрии при решении одной задачи в 11классе.

Цель урока:

Показать разнообразие и красоту используемых теорем и геометрических величин при решении всего одной задачи.

Цели учителя:

  1. Актуализация и систематизация знаний учащихся по геометрии (планиметрии).

  2. Создание условий для ученика, чтобы он смог бы увидеть разнообразные методы решения.

Цели ученика:

  1. Развитие навыков владения разными методами решения одной задачи.

  2. Повышения уровня знаний.

  3. Воспитание умения вести учебный диалог и доказывать свою позицию.

  4. Самореализация себя, как личности.


Ход урока

Мотивация

Урок посвящен авторской задаче Архимеда (287 - 212 г.г. до н. э.), позволяющая понять его гениальность. Она так и называется «Урок одной задачи».

Задача

Хорды AB и CD радиуса R перпендикулярны и делятся точкой пересечения на отрезки a, b, c, d. Доказать, что сумма квадратов этих отрезков есть величина постоянная для данной окружности, равная квадрату ее диаметра.

Вам было предложено найти пути ее решения самостоятельно.

Как легко вам это удалось?

Итак, она трудная! (Даже искушенные в геометрии ученики не сразу справились с ней)

Я надеюсь, что эта задача вызвала у вас интерес. А чтобы заинтересовать вас еще больше, я раскрою вам секрет - эта задача конкурсная, ее во многих вузах предлагают на вступительных экзаменах.

Мы сегодня посмотрим 8 способов ее решения.

Для присутствующих. Ребята за неделю до урока разбились на 5 групп, после самостоятельных попыток решения задачи им были предложены на выбор идеи методов для решения. По каждому методу группы приготовили презентацию.

Представить руководителей групп:

Ребята сидят своей группой. На столах у каждой группы «Памятка деятельности»

  1. Поставьте цель. (Что ожидаю от урока?)

  2. Дать название методу решения.

  3. Записать в тетрадь формулы, используемые при решении и чертеж.

  4. Выявить ошибки, если они есть.

  5. Дать оценку выступающей группе. (оценка, краткая характеристика)

Выступление групп

    1. Авторское решение представляет 1-ая группа <Презентация 1>

    2. Применение теоремы «Отношение стороны треугольника к синусу противоположного угла есть диаметр, описанной окружности» представляет 2 группа <Презентация 2>

    3. Применение преобразования «Симметрия относительно прямой» выступление 3 группы <Презентация 3>

    4. «Симметрия относительно точки» выступление 4 группы <Презентация 4>

    5. Предложить решить задачу самостоятельно по чертежу № 4,

если BK = c - d, AB = a + b. (листочки сдать)

    1. Проблемная ситуация: (чертеж и первые два пункта оформлены на доске, третий пункт …(?)). Наших знаний недостаточно для продолжения решения. Из этой ситуации нам поможет выйти Чепайкин Виталий. Доказывает на доске теорему «Если диагонали вписанного четырехугольника перпендикулярны, то сумма квадратов противоположных сторон четырехугольника равна квадрату диаметра описанной окружности». Предложить третий пункт завершить самостоятельно на листочках (листочки сдать)

    2. «Векторное решение» - № 890 [2] представляет 5 группа. <Презентация 5>

    3. Авторское решение учащихся: (Ракова Мария, Васильева Анастасия) <Презентация 6>

Рефлексия:

Стоит ли посвящать урок этой задаче?

Предполагаемые ответы учащихся:

Стоит, потому что она

- конкурсная,

- позволяет повторить ряд важнейших фактов и задач из планиметрии,

- она решается удивительно красиво, изящно и различными способами.

Достиг ли урок вашей цели?

Итог урока:

Подведение итогов и выставление оценок.

Система оценки:

      1. Качественная (на лучшее выступление группы).

      2. Оценочная (за решения на листочках (пункты 5 и 6))

Заключительные слова.

Много еще красивого и необычного можно узнать в геометрии и «двигать науку вперед» все дальше и дальше… Перед вами открываются большие горизонты.

Спасибо за урок!

Литература:

  1. Математика 25/96 еженедельное приложение к газете «Первое сентября».

  2. И.В.Парнасский «Решебник задач повышенной трудности по геометрии 7 –11 классы». М: РПА, 1998 (№ 890)


Выбранный для просмотра документ Тезисы DOS 3.doc

библиотека
материалов

Урок одной задачи

Костикова Л.А., 103-662-835


При подготовке к выпускному экзамену в форме ЕГЭ на уроках повторяется зависимость между геометрическими величинами в теоремах планиметрии. И всего лишь на одной задаче можно показать разнообразие и красоту используемых теорем и геометрических величин. Урок, не только знакомит с различными методами решения одной задачи, повышая уровень знаний, но и создает условия для творчества учащихся, воспитывает умения вести учебный диалог, доказывать свою позицию, самореализовать себя как личность. Урок предложен по технологии ИОСО.

Краткое описание документа:

При подготовке к выпускному экзамену в форме ЕГЭ на уроках повторяется зависимость между геометрическими величинами в теоремах планиметрии. И всего лишь на одной задаче можно показать разнообразие и красоту используемых теорем и геометрических величин.

Урок, не только знакомит с различными методами решения одной задачи, повышая уровень знаний, но и создает условия для творчества учащихся, воспитывает умения вести учебный диалог, доказывать свою позицию, само реализовать себя как личность. Урок предложен по технологии ИОСО.

Общая информация

Номер материала: ДВ-122267

Похожие материалы