Урок "Правила вычисления производных"

Правила вычисления производных.

Цели урока:

Образовательные: познакомить учащихся с правилами вычисления производных.

Развивающая: уметь находить производные функций, математически грамотно объяснять и обосновывать выполняемые действия.

Воспитательная: воспитание на уроке воли и упорства для достижения конечных результатов, активности, уважительного отношения друг к другу.

Тип урока: комбинированный

Методы: репродуктивные

Межпредметные связи: физика

Оборудование: опорный конспект «Правила дифференцирования», карточки-задания, презентация.

Ход урока

1.Организационный момент.

Приветствие учащихся. Проверка готовности группы к уроку. Преподаватель объявляет тему урока, ставит цели и задачи урока.

2.Проверка домашнего задания.

Опрос по формулам.

3.Изучение нового материала.

1) Проблемный этап.  (Слайд 2) Пользуясь определением производной, найдите производные функций f(x) = x³- 4x² + 7 и f(x) = (x² -10)x².

Ребята приходят к выводу, что, зная только алгоритм отыскания производной, такие сложные примеры быстро не решить, значит, существуют какие-то новые правила.

2) Основные правила дифференцирования.

 Давайте посмотрим основные правила вычисления производных.

(Слайд 3) Здесь значения функций u и v и их производных в точке xₒ обозначаются для краткости так: u(xₒ) = u, v(xₒ) = v, u'(xₒ) = u', v'(xₒ) = v'.

  (Слайд 4) Правило1. Если функции u и v дифференцируемы в точке xₒ, то их сумма дифференцируема в этой точке и (u+ v)'= u'+ v'.

    Производная суммы равна сумме производных.

   Доказательство: (воспользуемся алгоритмом нахождения производной)

Вычислим приращение суммы функций в точке хₒ:

∆(u + v) = u(xₒ+∆x) + v(xₒ + ∆x) - (u(xₒ) + v(xₒ)) = (u(xₒ + ∆x) - u(xₒ)) + (v(xₒ+∆x) - v(xₒ)) = ∆u+∆v.

Находим разностное отношение:

∆(u + v)/∆x=∆u/∆x + ∆v/∆x.

Функции u,v дифференцируемы в точке xₒ, т.е. при ∆х→0

 ∆u/∆x→u' ∆v/∆x→v'.

Тогда ∆(u+v)/∆x→u'+v' т.е. (u+ v)'= u'+ v'.

   (Слайд 5) Правило 2. Если функции u и v дифференцируемы в точке xₒ, то их произведение  дифференцируемо в этой точке и (u v)'= u' v + u v'.

(доказательство аналогично)

   (Слайд 6) Следствие. Если функция u  дифференцируема в точке xₒ, а С – постоянная,  то   функция Сu дифференцируема в этой точке и  (Сu)'= Сu'.

  Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

(Слайд 7) Правило 3. Если функции u и v дифференцируемы в точке xₒ, и функция  v  не равна нулю в этой точке, то частное  u / v также дифференцируемо в этой точке и (u/ v)'= (u' v - u v')/ v².

Следствие. (1/v)'= -v'/v² (слайд 8)

(Слайд 9: Правила дифференцирования: основные формулы и следствия)

4. Закрепление изученного материала.

 Найти производные функций

1.f(x)=3x+5                  2. f(x)=4x²-5x³+9x      3. f(x) =  +              4.f(x)= Öx + 4

 5.f(x)=(3x+5)(x-3)       6.f(x)=(x²-5x)(x³-x²)            7. f(x) =

  Решение задач из учебника.

  Найти производные функций.

№175.

а) f(x)=x²-3x + 1                        f(x)'=2x-3

б) f(x)= 2х⁷ + 5                     f(x)' = 14х⁶ +

в) f(x)= 7х⁸ – 8х⁷                       f(x)' = 56х⁷ – 56х⁶

г) f(x)= х⁵ – 2х³ + 3х – 7            f(x)' = 5х⁴ – 6х² + 3

№ 177

Решите уравнение f(x)' = 0

а) f(x) = 3х² + 8х + 2                        б) f(x) = -6х² + 13х – 1

в) f(x) = х² + 4х – 1                        г) f(x) = -0,5х² – 4х + 0,1

№178

Найдите производную функции f(x) и вычислите ее значение в точке х₀:

а) f(x) = х∙(х + 1),  х₀ = 2

б) f(x) = (х - 2)∙(х + 3),   х₀ = -1

в) f(x) = х²∙(х - 5),  х₀ = -2

г) f(x) = ,  х₀ = 1

№179

Решите неравенство f(x)' :

а) f(x) =  -8х² – 2х + 1                                            б) f(x) =  - х² + 2

в) f(x) = 1 + х – 6х²                                               г) f(x) = -  - х² +

 5. Самостоятельная работа(5мин).

Вариант 1

 1.Найдите производную функции

  ,

2.Найдите , если .

а) ;    б) ;      в) ;      г) .

3.f(x) = 4x+x². Решите уравнение .

а) -2;    б) ;       в) -;      г) 2.

Вариант 2

1.Найдите производную функции

  ,

2.Найдите , если .

а) ;     б) ;     в) ;      г) .

3.g(x) = 6x + 3x². Решите уравнение .

а) 1;     б) 3;     в) 0;     г) -1.

Ответы (слайд 10):

Вариант1.                                                                  Вариант 2.

х²/2-х-3   2. г    3. а                                           -х²/2+3х+5   2.  в     3.   г

6. Д/з(слайд 11): §12, №176,  №183

№176 Найдите производную функций:

а) f(x) = 2х² + 3х                                

б) f(x) =  х⁵ -  + 2                           

в) f(x) = х⁶ – х³ + 1                            

г) f(x) = -2х³ + 2х² – х                        

№183

Решите уравнение f(x)' = 0

а) f(x) = х³ – 3х² + 7                            б) f(x) = 3х³ – 2х² – 1

7. Итог, оценивание.