Урок проблемного изложения в 8 классе по теме Теорема Виета для работы с учебником Ю.Н.макарычева

 Урок алгебры в 8 классе

Теорема Виета

Цели: доказать прямую и обратную теоремы Виета, использовать их при решении задач.

Планируемые результаты: отрабатывать навыки применения теоремы Виета к решению задач.

Тип: урок проблемного изложения

Ход урока.

I Организационный момент.

II Актуализация опорных знаний.

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию №575.

Творческое задание.
Найти три последовательных целых числа сумма квадратов которых равна 869.

     х-1, х, х+1

     (х-1)²+х²+(х+1)²=869

     х²-2х+1+х²+х²+2х+1=869

     3х²=869-2

     х²=

     х²=289

     x=

     х=±17

Итак х₁=16, х₂=17,х₃=18, или х₁=-18, х₂=-17, х₃=-16.

2. Контроль усвоения материала

Самостоятельная работа в двух вариантах.

III Мотивация учебной деятельности.

Рассмотрим уравнения, найдем корни

х²-х-2=0;  х₁=-1, х₂=2.

х²-7х+12=0; х₁=3, х₂=4

х²-3х-10=0; х₁=-2, х₂=5

Какие закономерности вы видите между суммой и произведением корней уравнения и его коэффициентами?

Попробуем сформулировать?

Сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Такое утверждение называется прямой теоремой Виета и выполняется для любого приведенного квадратного уравнения.

IV Сообщение целей и темы урока.

V Изучение материала.

1. Докажем теорему.

Рассмотрим уравнение ах²+bх+с=0, при а=1, имеем х²+bх+с=0.

Или заменим b=p, c=q

х²+pх+q=0; тогда D=p²-4q, Пусть D≥0, тогда уравнение имеет два различных корня при D>0 или равных корня при D=0.

Найдем сумму и произведение корней

Итак доказано, что  и

Теорему Виета можно применять к любому уравнению вида  ах²+bх+с=0. Разделим все части уравнения на старший коэффициент и получим равносильное уравнение

, тогда и

2. Обратная теорема Виета

Если числа m и n таковы, что их сумма равна числу -р, а произведение равно числу q, то числа m и n являются корнями приведенного квадратного уравнения х²+pх+q=0

Докажем это утверждение.

По условию m+n=-p или p=-(m+n), а m·n=q. Подставим p и q в уравнение и получим х²-(m+n)х+m·n=0, докажем что m корень уравнения. Подставим вместо х число m и получим

m²-(m+n)m+m·n=0

m²-m²-m·n+m·n=0; 0=0 верное равенство следовательно число m является корнем урванения х²+pх+q=0.

Аналогично доказывается что число n также является корнем этого уравнения.

V Закрепления материала

Рассмотрим пример 3х²+5х+2=0.

Найдем: а)сумму, б)произведение, в)сумму обратных величин корней, г)сумму квадратов корней, д)сумму кубов корней, е)модуль разности корней (х₁-х₂)

3х²+5х+2=0

D=b²-4ac=25-4·3·2=1

,  D>0

уравнение имеет два корня, эти же корни имеет приведенное квадратное уравнение 

а)

б)

в)

г)

д)

е)

1) №580 (а, в, г, д)

2) Решить и выполнить проверку: №581 (а, б)

3)Найти корни и выполнить проверку используя обратную теорему Виета: №583 (в, г, д)

4)Найти подбором корни уравнения №№585, 587, 589, 592.

VI Работа в парах №595

VII Контрольные вопросы:

1) Сформулируйте и докажите прямую теорему Виета для уравнения х²+pх+q=0.

2) Сформулируйте и докажите прямую теорему Виета для уравнения ах²+bх+с=0.

3) Сформулируйте и докажите обратную теорему Виета.

VIII Творческое задание

Написать квадратное уравнение, корни которого равны:

а)и; б)и; в)и;

г)и;   д)и;       е)и.

IХ Подведение итогов урока

Х Дифференцированное домашнее задание

№580 (б, е), №581 (в, г), №583 (а, б), №586

Повторение трудностей

х²-3х+а=0;

; a=?

a=-28