Урок-проект по математике на тему "Неравенства"

Урок –   проект

Предмет:    Математика

Тема проекта:   «Решение неравенств»

Творческое название:  «Путешествие в страну неравенств»

 Аннотация:

       Математика как наука обладает уникальным эффектом.  Она по высказыванию М.В. Ломоносова   «Ум в порядок приводит».     В 3 –ем  классе  продолжается формирование у учащихся   важнейших  математических  понятий,  связанных  с числами,   величинами,  отношениями,   элементами  алгебры и геометрии.

       Существенным продвижением учащихся  в области   логико-математического  развития  является  включение  в  курс  понятий  о высказываниях  и  предложениях с переменной .   Дети   приходят к выводу,  что предложение  с  переменной  не является   высказыванием.  В высказывание  оно  превращается  тогда,  когда     вместо  переменной  подставляется  какое  – нибудь  значение.

        Данный  проект  подводит  итог работы с неравенствами,    рекомендует  способы решения  неравенств,  применение  их  в  жизненных  ситуациях  и подготавливает  к более  сложному   материалу  «Координатный луч»,  составление  и  решение  неравенств  по  координатному  лучу.

 

Основополагающий вопрос:

                                            Зачем мы учимся решать неравенства?

Проблемные вопросы учебной темы:

1. Что такое неравенство, виды неравенств.
2. Способы решения неравенств.
3. Решение задач с использованием неравенств.

Темы исследований учащихся:

1. Когда появились неравенства?
2. Как решить неравенства?
3. Где в жизни я могу использовать неравенства?

Дидактические и организационные материалы;

1. Дидактические материалы.
2. Тесты.
3. Задачи, выражения.

4.       Приглашения.

5. Медали-солнышки.

Дидактические цели:

*Развивать познавательный интерес к математике.

*Стимулировать творческую активность учащихся в процессе добывания  новых   

   знаний.

 *Использовать полученные знания в своей повседневной жизни.

 *Формировать навыки работы в группах.

 *Воспитывать любовь к математике, развивать логику мышления

 *Привлекать родителей к участию в процессе  осуществления  проектной   

   деятельности.

Методические задачи:

*Обобщить знания о неравенствах .   

* Закрепить знания  решения неравенств  различными   способами.   

*Учить кратко излагать свои мысли, доказывать.

Материалы и оборудование:  компьютер, тесты, весы.

Формы представления результатов исследования и критерии их оценивания:

1.Бюллетень.

2.Папка – раскладушка.

3.Мини – сочинения.

4. «Дерево   решений»

                                  

Этапы работы над проектом

Этап 1.  Разработка проектного задания:

Задачи   этапа –   -определение  темы;

                                    -творческого  названия;

                                    -основополагающего  вопроса;

                                    -проблемных  вопросов;

                                    -тема  исследований  учащихся;

                                    -выбор  критериев  оценки  результатов.

Класс делится на 3 группы, которые получают задания.

Группа 1   «Исследователи» - собрать теоретический материал о неравенствах;      

                                                    -доказать, что в природе существуют неравенства;

                                                    -оформить бюллетень.

                                  Тема  исследования:  «Когда появились неравенства?»

Группа 2    «Теоретики»     - решить неравенства различными способами;

                                            - кратко изложить свои мысли;

                                            - уметь доказать.

                                   Тема  исследования:  «Как решить неравенства?»

Группа 3     «Практики» - подобрать материал на тему: «Где  в  жизни  я могу    

                                                использовать неравенства?» (мини – сочинения);

                                              -оформить  математический  бюлетень «Думай, считай, 

                                                отгадывай!»

                                 

Этап 2.  Разработка  проекта:

Задачи этапа –сбор и уточнения информации.

                                   -ученики самостоятельно  работают по группам;

                             - распределяют между  собой задания;

                             -анализируют собранный материал;

                             - учитель наблюдает, помогает.

                           

Этап 3.  Оценка,  результат:

Задачи  этапа – анализ выполненных заданий;

                               -ученики готовятся к представлению материала на уроке –   

                                Презентации.

 

                                        

Этап 4. Защита проекта:

Задачи этапа – коллективная защита; -ученики  выступают перед  

                               одноклассниками,  родителями,   учителями.

                                        

1.Актуализация знаний:

Учитель: - Ребята,  наше  занятие  Клуба знатоков математики сегодня   

                    будет не совсем обычным.  

Сегодня  у нас  присутствуют  гости,  давайте  поприветствуем  их. 

На занятии  нам предстоит очень  интересная   исследовательская   работа.

 

- Скажите,    какими  качествами   нужно  обладать  ученику, чтобы  он   

  сделал   для  себя открытие?             (Нужно быть внимательным, наблюдательным,   

                                                                    активным,  уметь  поддерживать  товарища)

 

-Перед  вами «Дерево  решений»            (на магнитной доске) 
  Вы знаете  это  волшебное дерево.  На нём могут созреть любые плоды,   

  а  может,  не  вырасти  ничего.  Всё  зависит  от  вас,   от того,  как  вы 

  будете  работать.

 

- Давайте  же  все   будем внимательными,  точными  и активными,  чтобы 

  достичь  цели в  исследовательской работе и на   ДЕРЕВЕ   выросли плоды

  нашего  исследования.

- Итак, все настроились на  работу, проверили посадку, открыли  

  исследовательские  журналы,  записали  число.      (6 ноября)

- Сегодня у числа  6   День рожденья.   Исследуйте  его.

                                                               (Оно  однозначное,   состоит из 6 единиц,  число 6  

                                                               делится  на 1, 2,  3  и 6,   оно меньше  7,  но  больше 5)

 

 -Итак,   ребята,  тема  нашего  занятия  «Путешествие  в  страну  Неравенств».   

   Мы  уже  встречались  с  ними  на  уроках  математики,  умеем   решать  пока 

   простые  виды неравенств,   но  «Чтобы  математику  понять

                                                               И  постичь  неведомые  таинства,

                                                         Надо  научиться  нам  решать,

                                                         Кроме уравнений  и неравенства.

 - И  перед   нами  будут стоять  сегодня  следующие  вопросы:     

                                                              Когда появились неравенства?

                                                              Что такое неравенство?

                                                        Как  решать    неравенства?

                                                        Что значит решить неравенство?

                                                        Где  в жизни  можно использовать нер-ва?

-Ответы  на  них  мы должны   дать  в  ходе  нашего  занятия.

-Исследуя  тему  «Неравенства»,  мы  распределили эти проблемные  вопросы по     

  группам  и    назвали   их  так:

1.       Исследователи,   где  ребята   «копали»  историю  неравенств.

2.       Теоретики   исследовали,   как   решать  неравенства.

3.       Практики   доказывали,   Как  и  Где  можно  использовать  неравенства.      

  

         Народная мудрость гласит: «Скажи мне, и я забуду.

                                                             Покажи  мне, - я смогу запомнить.

                                                             Позволь мне это сделать самому,

                                                             и это станет моим навсегда».

         Под  таким  девизом  работали  группы,  исследуя   свои вопросы.

 

   

Итак, приступаем  к  работе.  Вспомним правила  работы  в  группе.   ( НАЗЫВАЮТ)                    

Слово  предоставляется  нашим   исследователям:

Ученик-исследователь  1:     Мы с ребятами искали  ответ  на  вопрос  «Когда появились  неравенства?»   В  ходе  исследования    узнали много   нового и интересного   и, используя  полученные  знания  по  теме  «Неравенства»,  выпустили математический  бюллетень.   

                                           Бюллетень  о   неравенствах:

Ученик-исследователь  2:     

        Понятия «больше» и «меньше» наряду с понятием равенства возникли в связи со счетом предметов и необходимостью сравнивать различные величины. Понятиями неравенства пользовались уже древние греки  в  III в. до н. э.         

       Математика,  как  наука,  обладает уникальным  эффектом.   Она,  по высказыванию   М.В.  Ломоносова   «ум в порядок приводит».    В  математике   первостепенное   значение   приобрели   НЕРАВЕНСТВА. По сути  -  это логическое выражение.  Оно может быть либо верным, либо нет - в зависимости от того,  что стоит справа и слева.  Неравенство – это соотношения  между  числами  или  величинами,  указывающие,  какие из них больше других,  где используются  знаки    «>»   или  «<».     Например:  в < с > а     или     а + 3 < 90.

 

Ученик исследователь  1:      У неравенств  такие   же  свойства  как  и  у  равенств.   Неравенства  возникли после  того,  как  в  результате работ немецкого   математика  ГАУССА  и русского   математика  П. Л. Чебышева, была поднята роль  приближенных  значений.

В настоящее  время  всюду,  где  рассматриваются задачи с  приближенными  решениями,    появляются  неравенства.  

 

 Ученик-исследователь  3:       Неравенства  бывают  числовыми,  например:   48 : 6 < 9,    с одной   или несколькими    переменными   а + в > c . 

Неравенство  может быть верным  5*3 > 5*2   или  неверным    5*3 < 10.    Решая  или  доказывая неравенства,  мы опираемся  на  основные свойства  отношения  «больше  или  меньше»   между  числами.                                                                                                                

   

         Учитель :  Наши   Исследователи  еще  хотят  показать  КАК   ПРИШЛИ  В  НАШУ    

                    ЖИЗНЬ  НЕРАВЕНСТВА и  ЧТО   неравенства   в  жизни  существуют  

                    всюду.    Давайте послушаем  их. 

         Ученик-исследователь  4:  

 Я бы хотел доказать, что неравенства  существуют  в нашей жизни  и очень  часто.   Свой   эксперимент  я покажу  на   весах.        (СНАЧАЛО  НА  ЧИСЛОВЫХ)

        Еще  в  1  классе,  изучая  числа, мы  учились  сравнивать  их.  Представляли

число  в  количестве  и  даже  сравнивали  его  на  вес.   Например:  сравним   число  9  и 7.   (ВЗВЕШИВАЕМ)   Что  мы  видим?    9 > 7,   а  7 < 9.

 А сейчас  я  покажу  другой  жксперимент.

 На одну чашку весов я положу пряник,  а на   вторую – конфету. 

 Что мы видим?   Чашка  с пряником   перевешивает   чашку с  конфетой.  

 Вес неравный.    Делаем   вывод:  пряник  тяжелее   конфеты.

 Мы получили неравенство:    а <  в    или    в > а

 

           

   -А  сейчас, ребята,  расскажут о  своих  наблюдениях.

       Ученик-исследователь  5:                   

Наблюдая в жизни, изучая  неравенства я пришел к выводу,  что  неравенством  можно  показать  вес  грузовой  машины  и   легкового   автомобиля.   а   >    в        или        в   <

 

Ученик- исследователь  6:

А  я  хочу показать  неравенством   кто выше:  утенок   или   котенок.    Их  также  можно  сравнить  неравенством  и  по  весу:     с   <   d         d    >   с  

Ученик –исследователь  7:  Исследуя  тему «Неравенства»,  я  решила,  а  почему бы  не  сравнить  наш  дом  и дом  бабушки  по  высоте  и  площади,  показать  это  неравенством:        x  > y   или   y<  x.

            

Учитель:  Спасибо,   исследователям.  Вы  хорошо исследовали   и  доказали, что неравенства  в нашей жизни  существуют,  их  можно  видеть  всюду,  а  мы  на  уроках   математики   будем  учиться их  решать.

- А  сейчас,   мы проведем  математическую   разминку,   где покажем,   как  мы уже   умеем  решать  неравенства. 

Разминка – тесты    (устно)

1.Найдите неравенства:                                   (т. к.  нер-ва   это сравнение   чисел  и  величин            

                                                                            с помощью знаков  больше или  меньше)

   а) а + в = с               в) с > а                                                           

   б) а + в > c              г)  а + в = с + а                 верно (б, в)

2.  Поставь знак, чтобы получилось верное неравенство:

а) 9o 5 < 50            ( +, -, х, :)                            верно (+, -, х)

б) 20o 2 > 12              ( +, -, х, : )                       верно (х, -, +)

3.   Подбери и вставь числа, чтобы получились верные неравенства:

а) 14 + 20 < o * 8           (5, 15, 8 )                     прав. (5, 8)

б) 5 * 3 > 5 * o               ( 4, 2, 5)                       прав. (2)

4.  Найди верное неравенство:

      а) 5 * 3 < 10

б) 64 : 8 > 5 * 7                                                     верно  (в)

в) 48 : 6 < 10   

 

 Учитель:  Молодцы, ребята!  А теперь  слово  даем  ТЕОРЕТИКАМ.  Они  покажут  способы  решения  неравенств.

Ученик-теоретик  1:  Перед нами стоял проблемный вопрос «Как решить неравенство?»   Мы долго думали,  решали,  спорили   и пришли к  выводу, что  неравенство   можно  решить  разными способами.   

           Я  докажу  решение  неравенства    Х – 37 < 29   путем подбора. Неравенство будет верным, если  вместо переменной   Х  подставлю    числа,  которые в   значении    разности  дадут  число  меньше  29. 

Подбираю числа.   Начинаю  с 38,   т. к.  38 больше 37 и разность  равна 1,  а 1 < 29.   Дальше  исследую  другие  числа  больше  38.   К примеру, число 47.  47 минус  37 равно 10,  а  10  меньше  29.     Неравенство  верно.  Проверю числом 70.

70 - 37  равно 33,  а 33  больше 29  на  4,  поэтому  беру   число  ни 66,  а  65.   Так  как

65 – 37 < 29.   Делаю вывод,  что  решением  неравенства   будут  числа  от 38 до 65.

 

Ученик-теоретик   2:   А я  хочу доказать решение неравенства с помощью 

                                         уравнения.

              Итак, дано неравенство   У – 15 > 30.  Сначала узнаю,  при  каком значении   неизвестного  получится   равенство.   Для этого составляю уравнение    У–15 = 30.   Решаю  его. 

             Нам неизвестно уменьшаемое.   Чтобы  найти уменьшаемое,    надо к разности прибавить вычитаемое:  У= 30+15.   Считаю правую  часть  У = 45.   Проверяю:

 45 –  15 = 30.    30 = 30.  Следовательно,   корень уравнения   равен  45.

            

 

              Возвращаемся к неравенству.    Подставляем в неравенстве   число 45.  Получаем:  45 – 15  = 30.  Следовательно, надо  увеличить  уменьшаемое,  чтобы  разность стала больше, чем  30.  Значит, решениями неравенства  будут  числа  больше  45.   Проверяю: 

46 - 15 > 30,   т. к. 31  больше 30.    Или:  100 -15  >  30.   

Тоже  верно, потому что 85 больше 30.

 

Учитель:   Молодцы,  ребята,  умело   доказали  способы   решения      неравенства.

                   -А теперь,  пришло время отдохнуть.  

 

ФИЗМИНУТКА.

 

Командир группы теоретиков:     Мы  предлагаем  для  закрепления решить неравенства тем  способом,  который  удобен  и понятен вам.    

                                                     (На доску  вывешиваются  2 неравенства)

Работа  в  журналах:     / у  доски  2 уч-ся одновременно/

 1.  Решить неравенство   (путем подбора)

      а) Х : 7 < 6                      Х= 35, 28, 21, 14, 7, 0   

                                         35: 7  < 6

                                         5 < 6

      ( в правой части большее число, чем в левой. В левой будет  меньше 6,  это  35:7=5,  28:7=4,

                                                                                                                               21:7=3,   14:7=2,     7:7=1)

      При  Х    равном  35,  28, 21, 14,  7,  это неравенство будет верным.

 

2.  Решить неравенство с помощью уравнения.

        5 * х > 10                     5 * x = 10

        x > 10 : 5                      х = 10 : 5

        х > 2                             x = 2           (неизвестное  число – второй  множитель,

                                                                 он равен 2, значит  в нерав-ве  множитель

                                                                             надо увеличить,  взять 3 ….  10 и т.д

         5 * 3 > 10                      5 * 2 = 10

       15 > 10                          10 = 10    

 

Гимнастика для  глаз:  нарисовали глазами  овал,  а теперь нарисуйте овал 

                                                  по-больше;   А сейчас  нарисуйте квадрат  и  впишите

                                                  в него   треугольник. 

                                               - Молодцы, ребята,  глазки отдохнули  и опять за работу.

Учитель:   Нашим  практикам   достался серьезный  вопрос.  Они  выясняли,  где

                       в  жизни   могут  использоваться  неравенства.  Давайте послушаем  их.  

                                            (РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ  с помощью  нер-ва   2-мя  способами)

 

Ученик – Практик 1:      К примеру, на праздник «Золотая осень»  мы  собираем  

                                                   композиции  из цветов.  В букете  было   43   дубочка. Когда

мы  взяли  из букета несколько  цветов, то в нем  осталось  больше 15.

        

 

              Сколько же  цветов  мы  могли  взять,  чтобы  составить другую композицию?

На  доске  дается  краткая  запись задачи:   БЫЛО – 43

                                                                               ОСТАЛОСЬ – 15

                                                                                ВЗЯЛИ - ?

Если мы взяли неизвестное  число цветов,  то обозначим  их  через  Х.   Составляем неравенство  43 – Х > 15.  Решаем путем подбора.  Левая  часть должна  быть больше  правой.   Подбираю:  43 -1 = 42,   а 42 > 15.  Беру следующее число,  например  23.                                            43 – 23 = 20.   А  20  >  15  на  5,  поэтому  число  надо  увеличить   и  предельным  числом в этом неравенстве  может  быть  27,  т.к. 43 – 27 = 16,   16 > 15.  

            Следовательно,   мы  могли  взять  от  1 до  27  цветочка  для  составления  композиции.

Ученик – практик  2:    (дается  краткая  запись задачи,  ребята  по  ней  составляют условие  к  задаче и  решают  с помощью уравнения)

      На  школьном  дворе  мы с ребятами собирали   каштаны.  Для  своей поделки  использовали  14 каштанов и у нас осталось  меньше  14.   Сколько  всего каштанов мы  собрали?

                           У – 14 < 14                У – 14= 14

                           27 - 14 < 14                У= 14 + 14

                                   13 < 14               У= 28                 проверяем:                                                         

             Неравенство  верно.             28 – 14 = 14

                                                                       14 = 14  

Значит, число собранных каштанов должно быть меньше,  чем 28. 

Этому неравенству подходят числа от 27  до 15, т. к. 15 – 14 равно 1, 

а 1  меньше  14.

 

Учитель:   Молодцы,  ребята!  Вы  теперь  знаете,   что и  задачу  можно  решать   

                    с  помощью   неравенства,  т. е.  неравенства  в  жизни можно    

                    использовать  всюду.

 

Подведение  итогов: 

 1. Когда  появились неравенства?   (Неравенства появились очень  давно.  Нерав- ва   в математике первыми доказали  математики  Гаусс и Чебышев)  

2.  Так что же такое НЕРАВЕНСТВО? (Нерав-во  – это   сравнение чисел  величин с помощью знаков больше и меньше)                     

3. Как   решаются  неравенства?    (Нер-ва  решаются путем подбора  и с помощью

уравнения)

4. Что значит решить   неравенство?   (…значит найти все значения   Х, которые

     подходят  данному неравенству)

5. Где в жизни  можно использовать неравенства? (При сравнении  любых предметов,  в решении  задач,  даже можем   узнать   насколько   больше  или меньше одно  число  от  другог

 6. Приведите примеры из жизни с использованием   неравенств. (По  росту  уч-ся,   по весу   портфелей,   размер классной доски,  размеры  ученического   стола и   учительского,  рост   учителя  и ученика  и т. д.)

 

 

Учитель:    Верно, ребята.  Неравенства в жизни всюду  и мы   вместе  доказали это.

Посмотрите на это неравенство:  х * 7 + 45 : 9 > 75 – ( 20 : 4).    Сложно?   Интересно?  Совсем скоро вы  научитесь  решать  и  такие  неравенства! 

        А   сейчас  скажите, кто был сегодня  на уроке внимательным,  активным  и  точным?  

        Какая группа провела серьезную работу  в  исследовании неравенств?    (Ученики   обмениваются  мнениями:  Что получилось?                  

                                                             

 Рефлексия:     Над   чем   надо   поработать?)

                          (активные  участники награждаются   символическим Солнышком со   

                                                                                                           словом «СПАСИБО!»)

Оценивание.