Инфоурок Алгебра КонспектыУрок «Решение тригонометрических уравнений».

Урок «Решение тригонометрических уравнений».

Скачать материал

 

Модульный урок .

Алгебра и начала анализа, 10 класс.

Тема: «Решение тригонометрических уравнений».

Цели изучения этого модуля распределяются по трем уровням:

1 уровень – общий, т.е. знания этого уровня должны овладеть все учащиеся;

2 уровень – включает все, что достигнуто на 1 уровне, но в более сложном виде;

3 уровень – включает, все, что достигнуто на 1 и 2 уровнях, но применяется в нестандартных ситуациях.

Ребята должны уметь:

1 уровень - решать простейшие тригонометрические уравнения; решать тригонометрические уравнения по заданному алгоритму;

2 уровень – решать тригонометрические уравнения, самостоятельно выбирая метод решения;

3- применять полученные знания в нестандартной ситуации.

Работа учащихся на уроке состоит из четырех учебных элементов.

Элементы № 1-4 соответствуют 1 уровню подготовки учащихся,

№ 5 обеспечивает 2 уровень, № 6 для 3 уровня подготовки. Вся работа над данным модулем сопровождается оценочным листом учащегося.

(Приложение № 1).

 

УЭ -1.

Цель:  Закрепить решение простейших тригонометрических уравнений.

Указания учителя.

Вспомните основные правила решения тригонометрических уравнений

( учебник под редакцией А.Н.Колмагорова). Выполните письменно самостоятельную работу.

Индивидуальная работа.

Задание .    

Выполните задание  (Приложение № 2).

 

 

УЭ – 2.

Цель: Закрепить умения решать тригонометрические уравнения методом сведения к квадратному.

 Указания учителя.

 Прочитайте внимательно данные ниже пояснения. Выполните самостоятельные работы.

Пояснения.

Метод сведения к квадратному уравнению состоит в том, что, пользуясь изученными формулами надо преобразовать уравнение к такому виду, чтобы какую- то функцию или комбинацию функций обозначить через y, получив

при этом квадратное уравнение относительно y.

Пример. Решить уравнение  4 – cоs2x =4 cоs2x .

Решение. Вместо cоs2x  подставим тождественное ему выражение  1 – sin2x.

Тогда исходное уравнение примет вид  4- (1 – sin2x) = 4sin x,

                                                                      3+ sin2x =4sin x,

                                                                       sin2x - 4sin x + 3 =0.

Если заменить y = sin x, получим квадратное уравнение y2- 4y +3=0.

Оно имеет корни 1 и 3. Значит, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений    sin x=1 или sin x=3.

Уравнение sin x=1 имеет решение  x= + 2Пn, nZ.

Уравнение sin x=3 решений не имеет.

Ответ: x= + 2Пn, nZ.

Индивидуальная работа.

 

Задания самостоятельной работы.

Решите   уравнения. ( Приложение № 3)

 

УЭ – 3.

Цель: Закрепить навык решения тригонометрических уравнений методом разложении на множители.

 

Указания учителя.

 Прочитайте внимательно данные ниже пояснения. Выполните задания.

Метод разложения на множители.

Под разложением на множители понимается представление данного выражения в виде произведения нескольких множителей. Если в одной части уравнения стоит произведение нескольких множителей, а в другой – 0, то каждый множитель приравнивается к нулю. Таким образом, исходное уравнение можно представить в виде совокупности более простых уравнений. К сожалению нельзя указать единого способа разложения на множители любого выражения. Одними из самых популярных являются способы вынесения за скобки общего множителя, группировки, применение формул сокращенного умножения.

Пример.

Решите уравнение  2sin3 xcos 2x - sin x = 0/

Решение. Сначала сгруппируем первый член с третьем, а cos 2x представим в виде cоs2x - sin2x. Получим

(2sin3 x - sin x) – (cos2 x - sin2x) = 0.

Из выражения стоящего в первых скобках, вынесем sin x, а в выражении, стоящем во вторых скобках, вместо cos2 x запишем 1 - sin2x. Уравнение примет вид 

sin x ( 2 sin2x – 1) – (1- 2 sin2x) = 0.

Выполним дальнейшие тождественные преобразования

sin x ( 2 sin2x – 1) + ( 2 sin2x – 1)) = 0

(2 sin2x – 1) (sin x + 1)= 0.

Отсюда следует, что исходное уравнение равносильно совокупности уравнений (2 sin2x – 1) = 0 или (sin x + 1) = 0.

Отсюда sin2x= .

Тогда  sin x = ; sin x = -   или sin x = - 1.

Ответ: x= ; x= -  + 2Пn, nZ.

 Задания самостоятельной работы.

Решите   уравнения. ( Приложение № 4).

 

УЭ – 4.

Цель: Закрепить навык решения однородных  уравнений.

Указания учителя.

 Прочитайте внимательно данные ниже пояснения. Выполните задания.

Однородными называются уравнения вида

а sin x + б cos x= 0,

а sin2x + б sin x cos x + c cоs2x = 0 и т.д. Здесь а, б, с – числа.

Покажем сначала, как решать однородное уравнение первой степени, т.е. уравнение вида    а sin x + б cos x= 0.

Пример 1. Решить уравнение  5 sin x – 2 cos x = 0.

Решение. Поделим обе части уравнения на  cos x или  sin x. Но предварительно надо доказать, что это выражение никогда не обращается в нуль. Итак, предположим, что cos x = 0.Тогда  5 sin x – 20= 0  sin x =0.

Получается, что если sin x =0, то и  cos x = 0, чего быть не может ввиду равенства sin2x + cоs2x = 1.

Значит, можно поделить уравнение на cos x:

5.

Получим уравнение 5tg x – 2 = 0.

Отсюда x=arctg.

Аналогично решаются однородные уравнения вида

а sin2x + б sin x cos x + c cоs2x = 0.

Их решение начинается с того, что обе части уравнения делят на cоs2x и sin2x.

 

Пример 2.    12 sin2x + 3 sin 2x – 2 cоs2x = 2.

Решение. Данное уравнение не является однородным. Но его можно превратить в однородное, заменив 3 sin 2x  на 6 sin x cos x и число 2 на

2sin2x + 2cоs2x.

Приведя подобные члены, получим уравнение

 10 sin2x + 6 sin x cos x – 4 cоs2x = 0.   (*)

Теперь надо доказать, что cos x0. Пусть и  cos x = 0. Подставим это значение косинуса в уравнение (*). 

Получим  10 sin2x = 0  sin x =0, чего быть не может ввиду равенства

sin2x + cоs2x = 1. Значит, cos x0. Тогда можно поделить обе части

уравнения (*) на cоs2x.

Получим  10 tg2x + 6 tg x – 4 = 0 tg x= -1 или  tg x=.

Отсюда : x== - + Пn, nZ;  x=arctg.

Задания самостоятельной работы.

Решите   уравнения. ( Приложение № 5).

 

УЭ – 5.

Указания учителя.

Вы прошли первый уровень усвоения материала. Теперь вам самостоятельно придется выбрать метод решения уравнений. Вспомните основные тригонометрические формулы.

Задания самостоятельной работы.

Решите   уравнения. ( Приложение № 6).

 

УЭ – 6.

Указания учителя.

Вы освоили решение уравнений  второго уровня сложности. Целью дальнейшей вашей работы является применение своих знаний и умений в более сложных ситуациях.

Задания самостоятельной работы.

Решите   уравнения. ( Приложение № 7).

 

Указания учителя.

Проверьте и оцените свои работы. Исправьте ошибки, если они есть, подсчитайте количество баллов. Проставьте количество баллов в оценочный лист. Оцените свои работы.

 

Домашнее задание.

1.Если вы получили оценку «4» или «5», то выполните любое задание из дополнительных глав учебника.

2. Если вы получили «3» или «2», то выполните из учебника под редакцией А.Н. Колмагорова №166, 168, 169. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение № 1.       Оценочный лист учащегося.

 

Фамилия

Имя

Учебные элементы

Колличество баллов за основные задания

Корректирующие задания

(дополнительные задания другого варианта)

 

№ 1

 

 

 

№ 2

 

 

 

№ 4

 

 

 

№ 5

 

 

 

№ 6

 

 

 

№ 7

 

 

 

№ 8

 

 

 

№ 9

 

 

 

Итоговое количество баллов

(n)

Оценка

 

 

Оценка  «5» ставится, если ученик набрал  n32 баллов;

 «4»  -  при  ;

«3»  - при     ;

при n21 ученик получает «2».

 

 

 

 

Приложение № 2.

 

Вариант № 1

Вариант № 2

cos x =                           (1 балл)

cos x = -                      (1 балл)

sin x= -                         (1 балл)

sin x=                         (1 балл)

tg x = 1                               (1 балл)

ctg x = - 1                          (1 балл)

сos ( x +) = 0                  (2 балла)

sin (x - )                         (2 балла)

2 cos x = 1                           (1 балл)

4 sin x = 2                          (1 балл)

3 tg x = 0                              (1 балл)

cos 4x =0                            (2 балла)

sin 4x= 1                              (2 балла)

5tg x = 0                              (1 балл)

    

Приложение № 3.

 

Вариант № 1

Вариант № 2

 tg2x - 3tg x + 2 = 0             (2балла)

2 + 2 cоs2x - 3cos x =0            (2балла)

2cоs2x + 5 sin x – 4 = 0      (3 балла)

4 -  5cos x -2 sin2x = 0          (3 балла)

+ 2 sin x=3      (3балла)

+ 2 sin x=3      (3балла)

 

 

Приложение № 4.

 

Вариант № 1

Вариант № 2

 sin2x -  sin x = 0             (2балла)

ctg2 x – 4 ctgx=0         (2балла)

3cos x + 2sin 2 x =0        (3балла)

5sin 2 x - 2 sin x=0     (3балла)

 

Приложение № 5.

 

Вариант № 1

Вариант № 2

 sin x- cos x = 0             (2балла)

5sin x+ 6cos x = 0              (2балла)

 sin2x -  sin 2x = 3 cоs2x            (3балла)

3sin2x -2sin 2 x + 5 cоs2x =0    (3балла)

 

Приложение № 6.

 

Вариант № 1

Вариант № 2

сos 2x - 5sin x – 3=0           (1балл)

cos 2x + 3 sin x  = 2              (1 балл)

sin 2x  + сos 2x =0               (1 балл)

sin 2x - сos 2x =0                (1 балл)

   cоs2x- сos 2x  =  sin x     (2балла)                              

6 - 10cоs2x + 4сos 2x  =  sin 2x   (2балла) 

 sin 4x -  сos 2x = 0             (2 балла)

сos x сos 2x =1       (2балла)

5 - 5 сos() = 2cоs2(2П – x) 

(2балла)

cоs2 () -  cоs2(2П + x)=     

(2балла)    

 

 

Приложение № 6.

1. sin 6x+ сos 6x =1 - 2 sin 3x                                     (2балла)

2. 29 – 36 sin2 (x – 2) – 36 сos (x-2) = 0                      (3балла)

3. 2 sin x cos x +  - 2 cos x -  sin x = 0               (2балла)

4. sin 4x = 2 cоs2x – 1                                                   (2балла)

5. sin x(sin x + cos x) = 1                                             (3балла)

 

6.  =                                             (3балла)

 

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Урок «Решение тригонометрических уравнений»."

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 3 месяца

Заведующий хозяйством

Получите профессию

Экскурсовод (гид)

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 627 560 материалов в базе

Материал подходит для УМК

  • «Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровень) (в 2 частях),  изд-во «Мнемозина»», Мордкович А.Г.

    «Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровень) (в 2 частях), изд-во «Мнемозина»», Мордкович А.Г.

    Тема

    § 23. Методы решения тригонометрических уравнений

    Больше материалов по этой теме
Скачать материал

Другие материалы

Методические рекомендации к решению задач при скольжении тел
  • Учебник: «Физика (углублённый уровень)», Кабардин О.Ф., Орлов В.А., Эвенчик Э.Е. и др. / Под ред. Пинского А.А., Кабардина О.Ф.
  • Тема: § 3. Основные понятия и законы динамики
  • 03.09.2020
  • 194
  • 2
«Физика (углублённый уровень)», Кабардин О.Ф., Орлов В.А., Эвенчик Э.Е. и др. / Под ред. Пинского А.А., Кабардина О.Ф.
Презентация по русскому языку по программе 8.3. К учебнику "Э.В. Якубовской "Русский язык" ФГОС ОВЗ. 2 класс. Тема "Выделение буквы и звука в слове"
  • Учебник: «Русский язык (для обучающихся с интеллектуальными нарушениями) (в 2 частях)*», Якубовская Э.В., Коршунова Я.В.
Рейтинг: 5 из 5
  • 03.09.2020
  • 1676
  • 135
«Русский язык (для обучающихся с интеллектуальными нарушениями) (в 2 частях)*», Якубовская Э.В., Коршунова Я.В.

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 03.09.2020 326
    • DOCX 164.5 кбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Ширшова Мари Акоповна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Ширшова Мари Акоповна
    Ширшова Мари Акоповна
    • На сайте: 7 лет и 1 месяц
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 11462
    • Всего материалов: 18

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Экскурсовод

Экскурсовод (гид)

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс повышения квалификации

Особенности подготовки к проведению ВПР в рамках мониторинга качества образования обучающихся по учебному предмету «Математика» в условиях реализации ФГОС НОО

72 ч. — 180 ч.

от 2200 руб. от 1100 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 74 человека из 31 региона
  • Этот курс уже прошли 279 человек

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в сфере начального общего образования

Учитель математики в начальной школе

300/600 ч.

от 7900 руб. от 3950 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 127 человек из 44 регионов
  • Этот курс уже прошли 176 человек

Курс повышения квалификации

Реализация межпредметных связей при обучении математике в системе основного и среднего общего образования

36 ч. — 144 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 21 человек из 14 регионов
  • Этот курс уже прошли 94 человека

Мини-курс

История России: ключевые события и реформы

8 ч.

1180 руб. 590 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 108 человек из 37 регионов
  • Этот курс уже прошли 46 человек

Мини-курс

Фокусировка и лидерство: достижение успеха в условиях стресса и перемен

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 20 человек из 13 регионов

Мини-курс

Психология и педагогика в работе с подростками

5 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 48 человек из 28 регионов
  • Этот курс уже прошли 18 человек