Модульный урок .
Алгебра и начала
анализа, 10 класс.
Тема: «Решение
тригонометрических уравнений».
Цели изучения этого
модуля распределяются по трем уровням:
1 уровень – общий,
т.е. знания этого уровня должны овладеть все учащиеся;
2 уровень – включает все,
что достигнуто на 1 уровне, но в более сложном виде;
3 уровень – включает,
все, что достигнуто на 1 и 2 уровнях, но применяется в нестандартных ситуациях.
Ребята должны уметь:
1 уровень - решать
простейшие тригонометрические уравнения; решать тригонометрические уравнения по
заданному алгоритму;
2 уровень – решать
тригонометрические уравнения, самостоятельно выбирая метод решения;
3- применять
полученные знания в нестандартной ситуации.
Работа учащихся на
уроке состоит из четырех учебных элементов.
Элементы № 1-4
соответствуют 1 уровню подготовки учащихся,
№ 5 обеспечивает 2
уровень, № 6 для 3 уровня подготовки. Вся работа над данным модулем
сопровождается оценочным листом учащегося.
(Приложение № 1).
УЭ -1.
Цель: Закрепить решение простейших тригонометрических
уравнений.
Указания учителя.
Вспомните основные
правила решения тригонометрических уравнений
( учебник под
редакцией А.Н.Колмагорова). Выполните письменно самостоятельную работу.
Индивидуальная
работа.
Задание .
Выполните задание (Приложение
№ 2).
УЭ – 2.
Цель: Закрепить умения решать тригонометрические уравнения
методом сведения к квадратному.
Указания учителя.
Прочитайте внимательно данные ниже пояснения.
Выполните самостоятельные работы.
Пояснения.
Метод сведения к
квадратному уравнению состоит в том, что, пользуясь изученными формулами надо
преобразовать уравнение к такому виду, чтобы какую- то функцию или комбинацию
функций обозначить через y, получив
при этом квадратное
уравнение относительно y.
Пример. Решить уравнение 4 – cоs2x =4 cоs2x .
Решение. Вместо cоs2x
подставим тождественное ему выражение 1 – sin2x.
Тогда исходное
уравнение примет вид 4- (1 – sin2x) = 4sin x,
3+ sin2x =4sin x,
sin2x - 4sin x + 3 =0.
Если заменить y = sin x, получим квадратное уравнение y2- 4y +3=0.
Оно имеет корни 1
и 3. Значит, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений sin x=1 или sin x=3.
Уравнение sin x=1
имеет решение x= + 2Пn, nZ.
Уравнение sin x=3
решений не имеет.
Ответ: x= + 2Пn, nZ.
Индивидуальная
работа.
Задания
самостоятельной работы.
Решите уравнения. (
Приложение № 3)
УЭ – 3.
Цель: Закрепить навык решения тригонометрических
уравнений методом разложении на множители.
Указания учителя.
Прочитайте внимательно данные ниже пояснения.
Выполните задания.
Метод разложения
на множители.
Под разложением на
множители понимается представление данного выражения в виде произведения
нескольких множителей. Если в одной части уравнения стоит произведение
нескольких множителей, а в другой – 0, то каждый множитель приравнивается к
нулю. Таким образом, исходное уравнение можно представить в виде совокупности
более простых уравнений. К сожалению нельзя указать единого способа разложения
на множители любого выражения. Одними из самых популярных являются способы
вынесения за скобки общего множителя, группировки, применение формул
сокращенного умножения.
Пример.
Решите уравнение 2sin3
x – cos 2x - sin x = 0/
Решение. Сначала
сгруппируем первый член с третьем, а cos 2x представим в виде cоs2x - sin2x.
Получим
(2sin3
x - sin x) – (cos2 x - sin2x) = 0.
Из выражения стоящего
в первых скобках, вынесем sin x, а в выражении, стоящем во вторых скобках, вместо cos2 x запишем 1 - sin2x.
Уравнение примет вид
sin x ( 2 sin2x – 1) – (1- 2 sin2x) = 0.
Выполним дальнейшие
тождественные преобразования
sin x
( 2 sin2x – 1) + ( 2 sin2x – 1)) = 0
(2 sin2x – 1) (sin x + 1)=
0.
Отсюда следует, что
исходное уравнение равносильно совокупности уравнений (2 sin2x – 1) =
0 или (sin x + 1) = 0.
Отсюда sin2x= .
Тогда sin x = ; sin x = - или sin x = - 1.
Ответ: x= ; x= - + 2Пn, nZ.
Задания
самостоятельной работы.
Решите уравнения. (
Приложение № 4).
УЭ – 4.
Цель: Закрепить навык решения однородных
уравнений.
Указания учителя.
Прочитайте внимательно данные ниже пояснения.
Выполните задания.
Однородными
называются уравнения вида
а sin x + б
cos x= 0,
а sin2x + б sin x cos x + c cоs2x = 0 и
т.д. Здесь а, б, с – числа.
Покажем сначала, как
решать однородное уравнение первой степени, т.е. уравнение вида а sin x + б
cos x= 0.
Пример 1. Решить уравнение 5 sin x – 2 cos x = 0.
Решение. Поделим обе
части уравнения на cos x или sin x. Но предварительно надо доказать, что это
выражение никогда не обращается в нуль. Итак, предположим, что cos x =
0.Тогда 5 sin x – 20= 0 sin x =0.
Получается, что если sin x =0, то
и cos
x = 0, чего быть не может ввиду равенства sin2x + cоs2x = 1.
Значит, можно
поделить уравнение на cos x:
5.
Получим уравнение 5tg x – 2 =
0.
Отсюда x=arctg.
Аналогично решаются
однородные уравнения вида
а sin2x
+ б sin x cos x + c
cоs2x = 0.
Их решение начинается
с того, что обе части уравнения делят на cоs2x и sin2x.
Пример 2. 12 sin2x + 3 sin 2x – 2 cоs2x = 2.
Решение. Данное
уравнение не является однородным. Но его можно превратить в однородное, заменив
3 sin 2x на 6 sin x cos x и число 2 на
2sin2x + 2cоs2x.
Приведя подобные
члены, получим уравнение
10 sin2x + 6 sin x cos x – 4 cоs2x
= 0. (*)
Теперь надо доказать,
что cos x0. Пусть и cos x = 0.
Подставим это значение косинуса в уравнение (*).
Получим 10 sin2x = 0 sin x =0, чего быть не может ввиду равенства
sin2x + cоs2x = 1. Значит, cos x0. Тогда можно поделить обе части
уравнения (*) на cоs2x.
Получим 10 tg2x + 6 tg x –
4 = 0 tg x= -1 или tg x=.
Отсюда : x== - + Пn, nZ; x=arctg.
Задания
самостоятельной работы.
Решите уравнения. (
Приложение № 5).
УЭ – 5.
Указания учителя.
Вы прошли первый
уровень усвоения материала. Теперь вам самостоятельно придется выбрать метод
решения уравнений. Вспомните основные тригонометрические формулы.
Задания самостоятельной
работы.
Решите уравнения. (
Приложение № 6).
УЭ – 6.
Указания учителя.
Вы освоили решение
уравнений второго уровня сложности. Целью дальнейшей вашей работы является
применение своих знаний и умений в более сложных ситуациях.
Задания
самостоятельной работы.
Решите уравнения. (
Приложение № 7).
Указания учителя.
Проверьте и оцените
свои работы. Исправьте ошибки, если они есть, подсчитайте количество баллов.
Проставьте количество баллов в оценочный лист. Оцените свои работы.
Домашнее задание.
1.Если вы получили
оценку «4» или «5», то выполните любое задание из дополнительных глав учебника.
2. Если вы получили
«3» или «2», то выполните из учебника под редакцией А.Н. Колмагорова №166, 168,
169.
Приложение № 1.
Оценочный лист учащегося.
Фамилия
|
Имя
|
Учебные элементы
|
Колличество
баллов за основные задания
|
Корректирующие
задания
(дополнительные
задания другого варианта)
|
|
№ 1
|
|
|
|
№ 2
|
|
|
|
№ 4
|
|
|
|
№ 5
|
|
|
|
№ 6
|
|
|
|
№ 7
|
|
|
|
№ 8
|
|
|
|
№ 9
|
|
|
|
Итоговое
количество баллов
|
(n)
|
Оценка
|
|
Оценка «5» ставится,
если ученик набрал n32 баллов;
«4» - при ;
«3» - при ;
при n21 ученик получает «2».
Приложение № 2.
Вариант № 1
|
Вариант № 2
|
cos x =
(1 балл)
|
cos x = - (1
балл)
|
sin x= - (1
балл)
|
sin x= (1
балл)
|
tg x =
1 (1
балл)
|
ctg x = -
1 (1
балл)
|
сos ( x +) =
0 (2 балла)
|
sin (x - ) (2
балла)
|
2 cos x =
1 (1 балл)
|
4 sin x =
2 (1 балл)
|
3 tg x =
0 (1 балл)
|
cos 4x
=0 (2 балла)
|
sin 4x=
1 (2 балла)
|
5tg x = 0 (1 балл)
|
Приложение № 3.
Вариант № 1
|
Вариант № 2
|
tg2x - 3tg x + 2 = 0 (2балла)
|
2 + 2 cоs2x - 3cos
x =0 (2балла)
|
2cоs2x
+ 5 sin x – 4 = 0 (3 балла)
|
4 - 5cos x -2 sin2x = 0 (3 балла)
|
+ 2
sin x=3 (3балла)
|
+ 2
sin x=3 (3балла)
|
Приложение № 4.
Вариант № 1
|
Вариант № 2
|
sin2x - sin x =
0 (2балла)
|
ctg2 x – 4
ctgx=0 (2балла)
|
3cos x + 2sin 2 x =0
(3балла)
|
5sin 2 x - 2 sin x=0 (3балла)
|
Приложение № 5.
Вариант № 1
|
Вариант № 2
|
sin x- cos x = 0 (2балла)
|
5sin x+ 6cos x =
0 (2балла)
|
sin2x - sin 2x
= 3 cоs2x (3балла)
|
3sin2x -2sin 2 x
+ 5 cоs2x =0 (3балла)
|
Приложение № 6.
Вариант № 1
|
Вариант № 2
|
сos 2x - 5sin x – 3=0 (1балл)
|
cos 2x + 3 sin x = 2 (1
балл)
|
sin 2x + сos 2x =0 (1 балл)
|
sin 2x - сos 2x =0 (1 балл)
|
cоs2x- сos 2x = sin x (2балла)
|
6 - 10cоs2x + 4сos 2x = sin 2x (2балла)
|
sin 4x - сos 2x = 0 (2 балла)
|
сos x сos 2x =1 (2балла)
|
5 - 5 сos() = 2cоs2(2П – x)
(2балла)
|
cоs2 () - cоs2(2П + x)=
(2балла)
|
Приложение № 6.
1. sin 6x+ сos 6x
=1 - 2 sin 3x (2балла)
2. 29 – 36 sin2 (x
– 2) – 36 сos (x-2) = 0 (3балла)
3. 2 sin x cos x + - 2 cos x - sin x =
0 (2балла)
4. sin 4x = 2 cоs2x –
1 (2балла)
5. sin x(sin x + cos x) =
1 (3балла)
6. = (3балла)
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.