Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок "Решение тригонометрических уравнений" 10 класс
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Урок "Решение тригонометрических уравнений" 10 класс

библиотека
материалов


Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение –

средняя общеобразовательная школа №12





Открытый урок

по алгебре и началам анализа

в 10 классе


по теме: «Решение тригонометрических уравнений»



подготовила

учитель математики

МБОУ СОШ №12

ст. Новониколаевской

Панасенко Н.В.









Цели урока:

  1. Образовательные - повторение, обобщение, систематизация и углубление материала темы.

  2. Развивающие –формирование умений применять приемы сравнения, обобщения, выделения главного, логически излагать мысли, делать выводы, развивать речь, внимание и память.

  3. Воспитательные – воспитание ответственности, активности, настойчивости, мобильности, общей культуре.


Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.


Оборудование: интерактивная доска, компьютер, мультимедийный проектор.


План урока.

  1. Организационный момент.

  2. Проверка домашней работы. Устная работа.

  3. Работа в группах.

  4. Систематизация теоретического материала. Объяснение нового.

  5. Физкультминутка. Релаксация.

  6. Проверочный тест.

  7. Домашнее задание. Итог урока.

  8. Рефлексия.


Ход урока:

  1. Организационный момент

Сегодня заключительный урок по теме «Решение тригонометрических уравнений». Повторяем, обобщаем, приводим в систему изученные виды, типы, методы и приемы решения тригонометрических уравнений. Задания по решению тригонометрических уравнений встречаются в вариантах ЕГЭ. Перед вами стоит задача - показать свои знания и умения по решению тригонометрических уравнений.


  1. Проверка домашней работы

Необходимо сдать домашние работы по группам.

Домашняя работа состояла в то, что все учащиеся класса были разбиты по группы (3 уровня сложности: легкий уровень, средний уровень и усложненный уровень). Задания учащиеся получили заранее до урока и оцениваются самими учащимися по готовым решения на интерактивной доске.


Задания легкого уровня.

Решите уравнения:

  1. sin x =1

  2. cos 2x/2- sin2 x/2=-1/2

  3. cos 2x+3 sin x cos x=0

  4. (tg x -2) (tg x +2)=1


Задания среднего уровня.

Решите уравнения:

  1. cos (x/2-π/3)=1/2

  2. 2sin2 x-5sin x+2=0

  3. (2 tg x/2) / (1- tg 2x/2)=2 cos π/6

  4. cos 4x/4- sin4 x/4=-1

  5. Сколько корней имеет уравнение sin x+ sin 3x=0 на отрезке [0; π]


Задания усложненного уровня.

Решите уравнения:

  1. 3cos (x-π/3)=3/2

  2. cos (x+π/4)= cos (2x-π/3)

  3. Найдите наименьший по абсолютной величине корень уравнения 4cos 2x+3 sin x cos x-2sin2 x =2

  4. 2sin x+ 3cos x=3

  5. Сколько корней имеет уравнение sin x/8 * cos x/8* cos x/4 *cos x/2=1/16 на отрезке [π/6; 13π/6]

  6. Найдите ординаты общих точек графиков функций у= 2tg x и у= 1+сtg x


Устно (повторение изученного материала)

А) Ответьте на вопросы:

1) каково будет решение уравнения cos x=a при |a | > 1 ? [Нет решения]

2) чему равен sin П/6; cosП/2; arсcos ½; arcsin 1? Arctg 0,

2) при каком значении а уравнения sin x =a , cos x=a имеют решения? [Если |a | ≤ 1]

3) какой формулой выражаются решения уравнений sin x =a ,

cos x=a ? при условии |a | ≤ 1

4) назовите частные случаи решения уравнений sin x =a ,

cos x=a , если a = -1; 0; 1

5) чему равен arсcos(-a) ? [π- arсcos a]

6) в каком промежутке находится arctg a ? [-π/2; π/2], чему равен arcctg(- a) ? ( π- arcctg a)

7) какой формулой выражается решение уравнения tg x= a?

8) в каком промежутке находится arcсtg a ? (0;π)

9) какой формулой выражается решение уравнений ctg x =a ? (x= arcctg a +πn, n hello_html_d4de0ea.png Z)


Б) В каждом из приведенных примеров сделаны ошибки. Назовите верный ответ и подумайте о причине ошибки.


    1. arcsin 45= √2/2 (неопределенно)


    1. arcos (-1/2) = -π/3 (2π/3 )


    1. arcsin 3 = arcsin 1*3= π/4*3= 3π/4 (не существует)


    1. arctg 1= arctg π/4 /4)


    1. arctg (√3)= - π/6 ( /4)


    1. hello_html_d4de0ea.pnghello_html_d4de0ea.pngcos x=1/2 , х = ± π/6 + 2πк, к Z

Верно : cos x=1/2 , х = ± π/3 + 2πк, к Z

Ошибка в вычислении значений тригонометрической функции

hello_html_d4de0ea.pnghello_html_d4de0ea.png2) sin x =√ 3/2 , x = π/3 + πк, к Z

Верно : sin x =√ 3/2 , x = (-1)к π/3 + πк, к Z

Ошибка в формуле нахождения решения уравнения sin x =a

hello_html_d4de0ea.pnghello_html_d4de0ea.png3) cos x/3 =√ 2/2 , x/3 = ± π/4 + 2 πк ; x = ± 3π/4 + 2 πк/3, к Z

Верно : cos x/3 =√ 2/2 , x/3 = ± π/4 + 2 πк ; x = ± 3π/4 + 6 πк, к Z


Ошибка в выполнении деления



hello_html_d4de0ea.pnghello_html_d4de0ea.png4) sin 2x =1/3, x = (-1/2)narcsin1/3 + πn, n Z

Верно : sin 2x =1/3 , x = (-1)n/2 arcsin1/3 + πn/2, n Z

Вычислительная ошибка

hello_html_d4de0ea.pnghello_html_d4de0ea.pnghello_html_m70d9bffa.gif5) cos x = -1/2, x = ±(-π/3) + 2πm, m Z

Верно : cos x = -1/2, x = ±2π/3 + 2πm, m Z

По определению arcсos(-π/3) [0]

hello_html_d4de0ea.png6) cos x =√10/3, x = arcсos√10/3 + 2πn, n Z


x- не существует, так как √10/3 не удовлетворяет условию | cos x | ≤ 1

hello_html_d4de0ea.pnghello_html_d4de0ea.png7) tg x =-1, x =- π/4 + 2πn, n Z

Верно : tg x =-1, x = -π/4 + πn, n Z

В периоде

hello_html_d4de0ea.pnghello_html_d4de0ea.pnghello_html_m70d9bffa.gif8) ctg x =-√3/3, x= -π/3+πm, m Z

Верно : ctg x =-√3/3, x= 2π/3+πm, m Z


По определению arcсos(-π/3) [0]


  1. Работа в группах

А теперь выберите одно из предложенных уравнений и решите его.

На экране проецируется задание.

На оценку

1 вариант

2 вариант

hello_html_61997db6.gifhello_html_61997db6.gifhello_html_61997db6.gifhello_html_61997db6.gifhello_html_61997db6.gifhello_html_61997db6.gifhello_html_61997db6.gifhello_html_61997db6.gifhello_html_61997db6.gifhello_html_61997db6.gif

«3»


«4»




«5»


2 cos2х + 5 sin х - 4=0


cos 2х + cos х =0



2 sin (x/2) + 1 = cos х

Ответы

(-1)k π/6 + πk, k Z


π + 2πk, k Z

± π/3 + 2 πn, n Z


2 πk, k Z

(-1)k π/2+2πn,n Z


3 sin x - 2 cos2x =0


cos 2x + sin x =0



2cos(x/2) + 1=cos x


Ответы

(-1)k π/6 + πk, k Z


π/2 + 2πk, k Z

(-1)k+1 π/6 + πn, n Z


π + 2πk, k Z

± π/2 + 4πn, n Z


Проверьте свое решение с ответами

На экране проецируются ответы


  1. Систематизация теоретического материала.

Классификация тригонометрических уравнений.


На доске написаны уравнения разных типов. Учащиеся должны определить тип и методы решения уравнений.

sin x/2 =1/2

cos (x +π/3)=1

sin 2x =-√3/2

Это простейшие тригонометрические уравнения типа sin f(x)=a, которые решаются сначала относительно f(x), а затем полученные уравнения решаются относительно х по известным формулам.

2sin2 x-7 cos x-5=0

2 cos 23x+ sin 3x-1=0

сtg x-√3tg x+1=√3

Эти уравнения приводятся к алгебраическим путем введения новой переменной и сведению его к квадратному уравнению.

sin2 x- sin x=0

cos 2x+ sin x cos x=1

5 sin x+3 sin2x=0

Данные уравнения решаются разложением на множители. При решении таких уравнений нужно пользоваться правилом: произведение нескольких множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а остальные при этом имеют смысл.

2sin x-3 cos x=0

4 sin2 x+2 sin x cos x=3


Однородные уравнения первой (второй) степени. Они решаются делением обеих частей уравнения на cos x (sin x), cos 2x (sin2 x)

sin x+ sin 3x=4cos 3x

cos 2x+ cos x=0

cos 3x*cos 2x= sin3 x *sin 2x

2sin2 x+ cos 4x=0

Данный тип уравнений решается с помощью формул сложения, понижения степеней и разложения произведения тригонометрических функций в сумму.


cos x- √3sin x=2

2 cos x+ 2sin x=√6

3 cos x+ sin x=2


Уравнения вида a cosx+ b sinx = c, где a;b; c 0. Решаются методом введения вспомогательного аргумента.

2 cos 3x+4 sin x/2=7

2 cos 3x+ cos x=-8

3 cos 3x+ cos x=4


Данные уравнения решаются оценкой левой и правой частей


  1. Физкультминутка

А сейчас давайте немного отдохнем. Для этого я предлагаю выполнить несколько упражнений.

Упражнение 1. Цель этого упражнения - устранение вредных эффектов от неподвижного сидения в течение длительного периода времени и профилактика грыжи межпозвоночных дисков поясничного отдела.

  • В положении стоя положите руки на бедра.

  • Медленно отклоняйтесь назад, глядя на небо или в потолок.

  • Вернитесь в исходное положение.

Повторите 10 раз.

Упражнение 2. Цель - укрепление мышц задней стороны шеи для улучшения осанки и предотвращения болей в области шеи.

Поза: сидя или стоя

Смотрите прямо перед собой, а не вверх и не вниз.

Надавите указательным пальцем на подбородок.

Сделайте движение шеей назад.

Совет: совершая это движение, продолжайте смотреть прямо перед собой, не смотрите вверх или вниз. Для этого представьте, что кто-то, стоящий позади вас, тянет за нить, проходящую через ваш подбородок. Оставайтесь в этом положении в течение 5 секунд.
Повторите 10 раз.


К однородным уравнениям после применения формул тригонометрии могут быть сведены различные тригонометрические уравнения, которые первоначально не были однородными.

Рассмотрим уравнение: А sin2 х + В sinх cos х + С cos2х = D, преобразуем данное уравнение А sin2 х + В sinх cos х + С cos2х =D (sin2 х + cos2х)

или (А –D) sin2 х + В sinх cos х + (С-D) cos2х =0.

Уравнение A sin x+ B cos x = С также не является однородным. Но после выполнения ряда преобразований данное уравнение становится однородным уравнение второго порядка:

A sin x+ B cos x = С

A sin 2 (x/2) + B cos 2(x/2) = С

2 A sin(x/2) cos(x/2) + В (cos2(x/2) - sin2(x/2) )= С (sin2(x/2) + cos2(x/2)). А теперь давайте решим следующее уравнение.


Решить уравнение 2 sin x+ cos x=2, используя нужные методы

sin x=2 sin x/2 cos x/2

cos x= cos2 x/2- sin2 x/2

2=2*1=2 *(sin2 x/2+ cos 2x/2)

4 sin x/2 cos x/2+ cos 2x/2- sin2 x/2=2 sin2 x/2+2 cos 2x/2

4 sin x/2 cos x/2+ cos 2x/2- sin2 x/2-2 sin2 x/2-2 cos 2x/2=0

4 sin x/2 cos x/2- cos 2x/2-3 sin2 x/2=0

Если cos x/2=0 , то должно выполняться равенство sin2 x/2=0, а синус и косинус одновременно быть равными нулю не могут. Поэтому можно обе части уравнения разделить на cos 2x/2 и получить уравнение, равносильное данному

3tg 2x/2-4 tg x/2+1=0

Пусть tg x/2=у, получим квадратное уравнение

3у2-4у+1=0

Д=16-12=4, Д>0, уравнение имеет два различных корня

у1=1; у2=1/3


Итак, tg x/2=1 или tg x/2=1/3

x/2= arctg1 +πn, nhello_html_d4de0ea.png Z x/2= arctg1/3 +πк, кhello_html_d4de0ea.png Z

x/2= π/4 +πn, nhello_html_d4de0ea.png Z x= 2arctg1/3 +2πк, кhello_html_d4de0ea.png Z

x= π/2 +2πn, nhello_html_d4de0ea.png Z

Ответ: x= π/2 +2πn, nhello_html_d4de0ea.png Z , x= 2arctg1/3 +2πк, кhello_html_d4de0ea.png Z


Вопрос: Какие методы были использованы при решении уравнения (тригонометрические тождества, однородное уравнение, введение новой переменной)


  1. Проверочный тест

На экране проецируется задание.

На оценку

1 вариант

2 вариант

«3»


«4»


«5»


3 sin x+ 5 cos x = 0

5 sin2 х - 3 sinх cos х - 2 cos2х =0

3 cos2х + 2 sin х cos х =0

5 sin2 х + 2 sinх cos х - cos2х =1

2 sin x - 5 cos x = 3

1- 4 sin 2x + 6 cos2х = 0

2 cos x+ 3 sin x = 0

6 sin2 х - 5 sinх cos х + cos2х =0

2 sin2 x – sin x cosx =0

4 sin2 х - 2sinх cos х - 4 cos2х =1

2 sin x - 3 cos x = 4

2 sin2 х - 2sin 2х +1 =0


Учитель: Ребята, проверьте свое решение с ответами.

На экране проецируются ответы


1 вариант

2 вариант

hello_html_61997db6.gifhello_html_61997db6.gifhello_html_61997db6.gifhello_html_61997db6.gifhello_html_61997db6.gifhello_html_61997db6.gifhello_html_61997db6.gifhello_html_61997db6.gifhello_html_61997db6.gifhello_html_61997db6.gifhello_html_61997db6.gifhello_html_61997db6.gif«3»



«4»



«5»


- arctg 5/3+ πk, k Z.

π/4 + πk; - arctg 0,4 + πn, k, n Z.


π/2 + πk; - arctg 1,5 + πn, k, n Z.

π/4 + πk; - arctg 0,5 + πn, k, n Z.


arctg ( - 1 ± √5) + πk, k Z.

π/4 + πk; arctg 7 + πn, k, n Z.

- arctg 2/3+ πk, k Z.

arctg 1/3+ πk; arctg 0,5 + πn, k, n Z.


πk; arctg 0,5 + πn, k, n Z.

-π/4 + πk; - arctg 5/3 + πn, k, n Z.


arctg ( 2 ± √11) + πk, k Z.

π/4 + πk; arctg 1/3 + πn, k, n Z.


  1. Домашняя работа

Решить уравнения, выбирая наиболее рациональный способ решения.

  1. 3 cos 2 x+ sin 2x=2

  2. cos x/2- sin x/2=6/2

  3. 2 cos x+5 sin x+2=0

  4. 2 cos x+3 sin x=3


  1. Итог работы

Подведем итоги урока. Сегодня на уроке мы вспомнили числовые значения тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций, вспомнили формулы решения простейших тригонометрических уравнений, рассмотрели общие подходы решения тригонометрических уравнений, закрепили навыки и проверили умения решать тригонометрические уравнения, познакомились с новыми способами решения некоторых известных тригонометрических уравнений.

Я думаю, что у вас сложилось более полное представление о тригонометрических уравнениях и разнообразии способов их решения. И у меня появилась уверенность, что с решением тригонометрических уравнений большинство из вас справится.

Фронтальным опросом вместе с учащимися подводятся итоги урока:

- Что нового узнали на уроке?

- Испытывали ли вы затруднения при выполнении самостоятельной работы?

- Какие из способов решения тригонометрических уравнений из рассмотренных оказались наиболее трудными?

- Какие проблемы у вас возникли по окончании урока?

Спасибо вам за работу на уроке. Я благодарю всех, кто принял активное участие в работе. Благодарю вас за помощь в проведении урока. Надеюсь на дальнейшее сотрудничество. Урок окончен.



8



Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Краткое описание документа:

Открытый урок

по алгебре и началам анализа

в 10 классе

по темеЦели урока:

  1. Образовательные - повторение, обобщение, систематизация и углубление материала темы.
  2. Развивающие –формирование умений применять приемы сравнения, обобщения, выделения главного, логически излагать мысли, делать выводы, развивать речь, внимание и память.
  3. Воспитательные – воспитание ответственности, активности, настойчивости, мобильности, общей культуре.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Оборудование: интерактивная доска, компьютер, мультимедийный проектор.

План урока.

I.Организационный момент.

II.Проверка домашней работы. Устная работа.

III. Работа в группах.

IV. Систематизация теоретического материала. Объяснение нового.

V. Физкультминутка. Релаксация.

VI. Проверочный тест.

VII.Домашнее задание. Итог урока.

VIII.Рефлексия.: «Решение тригонометрических уравнений»

Автор
Дата добавления 31.05.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров1671
Номер материала 296518
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх