Урок "Решение задач по теме Треугольники"

Решение задач «Треугольники»

Цели и задачи урока:

образовательные:

• обобщить, закрепить и углубить знания по изученной теме;
• формировать умение обучаемых доказывать равенство данных треугольников, опираясь на изученные признаки, применять свойства равнобедренного треугольника;
• отработать навыки решения простейших задач на построение с помощью циркуля и линейки;

развивающие:

• развивать логическое мышление, самостоятельность учащихся при    решении      заданий; умение на практике применять знания, полученные на уроках;

 воспитывающие:

• воспитывать познавательную активность, упорство в достижении поставленной цели, культуру умственного труда

Оборудование:

• наглядный материал (готовые чертежи);
• карточки с задачами для индивидуальной работы на доске;
• таблицы с признаками равенства треугольников.

Тип урока: урок закрепления полученных знаний.

Ход урока

І. Организационный момент.

  Учитель:

- Тема урока: «Решение задач по теме «Треугольники»». Мы сегодня обобщим и систематизируем знания по данной теме и наша цель: подготовиться к контрольной работе, которая будет на следующем уроке.

- Откройте дневники и запишите  домашнее задание.

- Обратите внимание:  

• I уровень: № 120(б), 121;
• II – III уровень: №160 (б), 162(б).

II. Актуализация опорных знаний.

1. У доски двое учащихся решают задачи по карточкам.

Карточка № 1. Начертите равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. С помощью циркуля и линейки проведите медиану АА1 к боковой стороне ВС.

Карточка № 2. Дано: АО = BO, СО = DO, CO = 5см, ВО = 3см, BD = 4см. 1)Докажите, что САО = DBO. 2)Найдите периметр треугольника САО.

 
2.  Для остальных учащихся класса организована фронтальная работа. 

Цель: повторить  основные вопросы теории темы «Равнобедренный треугольник и его свойства» с помощью теста.

Теоретический тест. [1]
1) Медиана в равнобедренном треугольнике является его биссектрисой и высотой.  Это утверждение:
а) всегда верно;      
б) может быть верно;       
в) всегда неверно.
Ответ: б), если медиана проведена к основанию равнобедренного треугольника.

2) Если  треугольник равносторонний, то:
а) он равнобедренный;    
б) все его углы равны;
в) любая его высота является биссектрисой и медианой.
Ответ: а), б), и в),  равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника; в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому в равностороннем треугольнике все углы равны.

3) В каком треугольнике только одна его высота делит треугольник на два равных треугольника? 
а) в любом;            
б) в равнобедренном;        
в)  в равностороннем.
Ответ: б), высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника.

4) Биссектриса в равностороннем треугольнике является медианой и высотой. Это утверждение:       
а) всегда верно;       
б) может быть верно;        
в) всегда неверно.
Ответ: а)

5) Если  треугольник равнобедренный, то
а) он равносторонний;        
б) любая его медиана является биссектрисой и высотой;
в) ответы а) и б) неверны.
 Ответ: в), т.к. равнобедренный  треугольник не всегда является равносторонним;  медиана, проведённая к боковой стороне равнобедренного  треугольника, не является биссектрисой и высотой, если треугольник не равносторонний.       

6) В каком треугольнике любая его высота делит треугольник на два равных треугольника?
а) в любом;                  
б) в равнобедренном;      
в)  в равностороннем.
Ответ: в). 

Проверка ответов.

Учитель: 
- Мы с вами повторили материал темы «Равнобедренный треугольник и его свойства», а теперь повторим признаки равенства треугольников. (Обратить  внимание обучающихся на таблицы с признаками равенства треугольников) 

3. Задачи в  рисунках (на доске).

Учитель: 
- Определите, являются ли равными треугольники на рисунках.

- Сколько пар равных элементов должно быть в равных треугольниках? 

Постепенно заполняется таблица на доске:

I признак	II признак	III признак

          

4. Проверяются  работы учащихся, выполнявших задания по карточкам. Они  задают друг другу по теоретическому вопросу.

Решение (карточка №2).

1) САО = DBO по двум сторонам и углу между ними (АО=BO, СО=DO, АОС= BOD – вертикальные углы);
2) РСАО = СА + СО + АО;
3) CА =ВD = 4см, АО = ВО = 3см;
4) РСАО = 4 + 5 + 3 = 12(см).
Ответ: 12см.

III. Выполнение заданий учебника.

Учитель:
- А теперь, ребята, мы поработаем все вместе, в тетрадях.

 №160(а). Прямая а проходит через середину отрезка AB и перпендикулярна к нему. Докажите, что каждая точка прямой а равноудалена от точек A и B.

Учитель:
- Выполните рисунок к данной задаче. (Пройти по рядам, посмотреть, помочь).
- Чтобы у всех было единое обозначение, точку на прямой обозначим буквой К.
- Как вы понимаете:  точка равноудалена от точек А и В?
- А теперь проверим, правильно ли вы выполнили рисунок. (Раскрыть доску с рисунком)

Доказательство:
АОК = BОК по двум сторонам и углу между ними (АО=ВО, т.к. О - середина AB, АОК =ВОК, т.к. а  АВ, ОК – общая сторона), тогда АК=ВК.

Учитель:
- Так что мы с вами доказали? 
- Т.о. мы доказали, что любая точка равноудалена от точек A и B.

IV. Физминутка.

V. Тестирование.  (Дифференцированные задания)  

Учитель: 
- Я вам предлагаю тест трёх уровней. Ответы на вопросы теста вы должны внести в карту ответов. Обратите внимание: карт ответов у вас два, т.е. вам необходимо продублировать ответы. Один вы сдадите мне, а другой оставите себе для самопроверки. Время выполнения теста 5 минут.

Карта ответов.

УРОВЕНЬ  __I_____  Вариант______      

Фамилия, имя___________________     

Класс  7 А                                                           

№ задания	1	2	3
Баллы	1	2	2
Вариант  ответа
Оценка

(У II-III уровней за первое задание два балла)

I уровень.   

Вариант 1.

Вариант 2.

1. В треугольниках ABD и СМН (рис.5,а)          AB = СМ, AD =CН.                                              ABD = CМН, если …                                   а) В = М;   б) А = Н;  в)А = С    2. АС – биссектриса BAD (рис.5,в).               ВСА = =DCA.  АВС =ADC                 по …                                                                    а) двум сторонам и углу между ними;              б) стороне и прилежащим к ней углам;           в) трём сторонам.                                               3. BCD =100˚ (рис.5, д). Найдите ABC.    Ответы: а) 40˚; б) 80˚; в) 100˚.

1. В треугольниках ABF и CDK (рис.5,б)       A = C, AF= CК.       ABF = CDK, если …                                                                                                                                а) В = D;   б) F = К;  в) F = D.       2. DC = BC, AB = AD (рис. 5,г)        ВAС =DAC по…         а) двум сторонам и углу между ними;          б) стороне и прилежащим к ней углам;          в) трём сторонам.    3. BAD =110˚ (рис.5,е). Найдите ABC.                                Ответы: а) 110˚; б) 35˚; в) 70˚.

II уровень. 

     

Вариант 1.

Вариант 2.

1. В треугольниках АВС и ADC (рис. 6, а)      1 = 2, AD = 5cм, DC = 3см.                        Найдите AB.                                                         Ответы: а) 5см; б) 3см;  в) недостаточно данных.                                                                  2. Периметр равнобедренного треугольника  равнобедренного треугольника  равен 28см, а его боковая сторона равна 9см.   Найдите длину основания  треугольника.        Ответы: а) 10см; б) 14,5см; в) 29см.                   3. BCD =115˚ (рис.6, в). Найдите ABC.     Ответы: а) 50˚; б) 65˚; в) 75˚.

1. В треугольниках DEF и DHF (рис. 6, б)       1 = 2, FE = FH, FH = 5cм, DE=10cм       Найдите DH.       Ответы: а) 6см; б) 10см; в) недостаточно  данных.      2. Основание равно 12см, а его периметр равен 38см.       Найдите боковые  стороны треугольника.      Ответы: а) 12см, 12см; б) 11см, 15см;       в) 13см, 13см.      3. BAD =124˚ (рис.6, г). Найдите ACB.             Ответы: а) 56˚; б) 68˚; в) 28˚.

III уровень. 

Вариант 1.

Вариант 2.

1. В треугольниках АВС и А1В1С1               А =  А1,  AВ = А1В1, АС = А1С1.         На сторонах BC и В1С1 отмечены  точки К и К1, такие, что СК = С1К1.  АВ = 10cм, ВС = 13см, С1К1= 6см.                Найти  В1К1. Ответы: а) 10см; б) 7см; в) 19см.                    2. Периметр треугольника ABC равен   39см. Одна из сторон на 4см больше второй и на 2см больше третьей   стороны.  Найдите стороны ABC.                Ответы: а) 9см, 13см, 17см;                                             б) 11см, 13см, 15см;                                           в) 10см, 12см, 17см.                            3. В равнобедренном треугольнике DEF  основание DF = 12cм, EH – высота (рис. 7, а). Найдите DH.                                                Ответы: а) 6см; б) 12см; в) 24см.

1. В треугольниках АВС и А1В1С1   В = В1, АВ = А1В1, ВС = В1С1. На сторонах АC и А1С1 отмечены точки   D и D1 так, что АD = А1D1. АВ = 12см,  АС = 9см, D1С1 = 3см. Найти А1D1.  Ответы: а) 12см; б) 9см; в) 6см.   2. Найдите стороны треугольника MNP, если  его периметр равен 63см, одна из сторон на 3см   меньше второй и в 2 раза меньше третьей. Ответы: а) 15см, 18см, 30см;                        б) 12,2см, 24,4см, 26,4см;                         в) 14см, 17см, 28см.       3. В равнобедренном треугольнике KLM c основанием КМ боковая сторона равна 9см, а периметр – 28см. LН – биссектриса треугольника (рис7,б). Найдите НM. Ответы: а) 14см; б) 5см; в) 9см .

Учитель:
- Время, отведённое на тесты, закончилось. Передайте, пожалуйста, свои карты ответов. Не забудьте продублировать результаты теста. А сейчас проверьте свои работы по предложенной таблице. Подсчитайте сумму баллов. Поднимите руку, кто оценил свою работу на «5», кто – на «4», кто – на «3».

• 6 баллов – «5»;
• 5 баллов – «4»;
• 3 балла  –  «3»;
• 0-2балла – «2».

Ответы на тесты:

№ задания	I уровень вариант 1	I уровень  вариант 2	II уровень вариант 1	II уровень вариант 2	III уровень вариант 1	III уровень вариант 2
1	в	б	в	б	б	в
2	б	в	а	в	б	а
3	б	в	б	б	а	б

VI.  Практическое применение знаний. 

Учитель:                    
- После следующей задачи вы должны ответить на вопрос: « Где на практике применяются признаки равенства треугольников?».

- Представьте, что вы на берегу озера и вам нужно определить ширину озера с помощью знаний, полученных на уроках геометрии. В точках B,C,O, D,E и F стоят колышки, а в точке A – дерево. Нам необходимо найти длину расстояния AB, а расстояния EF мы можем измерить с помощью рулетки. Как, зная эти расстояния, найти расстояние AB, если OC=OD, OB=OE?

Решение:

- Чтобы найти расстояние AB надо доказать:
1. СОВ = DOE;
2. AОC = FOD.

1) СОВ = DOE по двум сторонам и углу между ними (ОС = OD, OB= OE, COB = DOE  – вертикальные углы).
2) AOC = FOD по стороне идвум прилежащим к ней углам (ОС = OD, ACO = FDО из равенства треугольников СОВ и DОЕ, СOA = DOF- вертикальные углы).
3) АВ = АС – ВС, F E = DF – DE, но АС = FD, т.к. AОC = FOD, BC = ED , т.к. СОВ = DОЕ, тогда АВ = EF.

Где на практике применяются признаки равенства треугольников?

VI. Подведение итогов урока.

Цель: развивать способность учащихся к анализу и к критическому отношению при решении задач, способность к содержательному обобщению и рефлексии.

Работа проходит в форме беседы.

-  Ребята, чем мы сегодня занимались на уроке? 
- Какие знания по теме «Треугольники» вы сегодня применяли при решении задач?
- Почему так важно знать признаки равенства треугольников? (С помощью  признаков равенства треугольников решаются также алгебраические, географические, физические задачи.)