Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок " Решение задачи разными способами".

Урок " Решение задачи разными способами".

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Урок решения одной задачи, 8-й класс, геометрия


Цель: Организация деятельности по формированию самостоятельного, творческого мышления через нахождение всевозможных способов решения одной задачи.

Задачи:

  • формировать умения оперативно принимать решения в условиях дефицита времени, развивать гибкость, экономичность мышления;

  • организовать отсроченное повторение и объединить большой объем теории в одну укрупненную единицу;

  • показать многообразие и красоту математических решений, создать ситуацию успеха, радости от самостоятельного преодоления трудностей.

Тип урока: урок систематизации и обобщения.

Формы организации учебной деятельности: парная и групповая.

Ход урока

1. Организационный момент.

Ученикам необходимо прослушать высказывания, и выяснить о какой фигуре пойдет речь на уроке. Свой ответ обосновать.

- Фигура представляет собой выпуклый многоугольник.

- Сумма её внутренних углов 360 градусов.

- А сумма внутренних углов, прилежащих к одной стороне 180 градусов.

- Данная фигура хорошо разбивается на параллелограмм и треугольник.

После обсуждения учитель прикрепляет на доску магнитом “королеву урока” - трапецию.

2. Работа в парах по воспроизведению теории ( ученик и ученик- консультант).

Ученики в течении 5-7 минут отвечают друг другу на вопросы, которые появляются на экране. Хорошо если пары детей будут разноуровневыми, тогда один из учеников является консультантом и помогает вспомнить нужный материал товарищу в случае затруднения.

Вопросы:

- Дайте определение трапеции.

- Перечислите виды и свойства трапеции.

- Как разбить трапецию на параллелограмм и треугольник?

- Что нужно провести в трапеции, чтобы получить подобные треугольники?

- Как разбить трапецию на два прямоугольных треугольника и прямоугольник?

- Дайте определение средней линии трапеции, перечислите её свойства.

- Как найти площадь трапеции?

3. Подготовка к выполнению группового задания ( устное решение теста).

Учитель предлагает ребятам записать в тетрадях ответы на задания устного теста, который затем проверяется самопроверкой.

 http://festival.1september.ru/articles/506900/img1.gif

- Выберите трапеции:

Ответ: а, б, в.

- Выберите прямоугольные треугольники:

http://festival.1september.ru/articles/506900/img2.gif

Ответ: а, в, г.

- Вычислите площади предложенных трапеций:

http://festival.1september.ru/articles/506900/img3.gif

Ответ: а) 34 см2, б) 25 см2, в) 48 см2.

4. Групповая работа, составление планов решения задачи.

http://festival.1september.ru/articles/506900/img4.gif

Ученикам предлагается решить задачу:

Найти площадь трапеции со сторонами оснований 10 см, 20 см и боковыми сторонами 6 см и 8 см.

Класс предварительно делится на четыре группы одинаковые по силам. Каждой группе дается время на поиск и обсуждение способов решения задачи. Учитель выступает как консультант, если нужно направляет и корректирует процесс решения задачи. Каждая группа выбирает одно из решений и оформляет его в тетраде. У доски демонстрируются планы решения задачи представителями групп.

5. Презентация проектов, оформление решения.

http://festival.1september.ru/articles/506900/img5.gif

Первое решение:

1. Проведем ВНhttp://festival.1september.ru/articles/506900/Image3121.gifАD и СКhttp://festival.1september.ru/articles/506900/Image3121.gifАD, тогда четырехугольник НВСК – прямоугольник.

2. Пусть АН=http://festival.1september.ru/articles/506900/Image3122.gifсм, тогда КD=(10-http://festival.1september.ru/articles/506900/Image3123.gif) см.

Используя теорему Пифагора, выразим высоту h из http://festival.1september.ru/articles/506900/img6.gifАВН и http://festival.1september.ru/articles/506900/img6.gifСКD: hhttp://festival.1september.ru/articles/506900/Image3124.gif , hhttp://festival.1september.ru/articles/506900/Image3125.gifhttp://festival.1september.ru/articles/506900/Image3126.gif

Составляя и решая уравнение, получим, что h=4,8(см)

3. Тогда Shttp://festival.1september.ru/articles/506900/Image3127.gif= http://festival.1september.ru/articles/506900/Image3128.gif,8=72 (смhttp://festival.1september.ru/articles/506900/Image3129.gif)

http://festival.1september.ru/articles/506900/img7.gif

Второе решение:

1. Проведем СНhttp://festival.1september.ru/articles/506900/Image3121.gifАD и СКhttp://festival.1september.ru/articles/506900/Image3131.gifАВ, тогда АВСК - параллелограмм, http://festival.1september.ru/articles/506900/Image3132.gifАК=ВС=10 см и АВ=КС=6 см

2. Рассмотрим http://festival.1september.ru/articles/506900/img6.gifКСD: КС=6 см, СD=8 см, КD=10 см. Так как КDhttp://festival.1september.ru/articles/506900/Image3129.gif= КСhttp://festival.1september.ru/articles/506900/Image3133.gifСDhttp://festival.1september.ru/articles/506900/Image3129.gif, то по теореме, обратной теореме Пифагора, http://festival.1september.ru/articles/506900/img6.gifКСD - прямоугольный.

3. Можно найти высоту по формуле: СН=http://festival.1september.ru/articles/506900/Image3134.gif(см)

4. Площадь трапеции находим, так же как и в первом решении.

http://festival.1september.ru/articles/506900/img8.gif

Третье решение:

1. Продолжим АВ до пересечения с СD в точке Е, проведем СКhttp://festival.1september.ru/articles/506900/Image3131.gif АВ.

2. Устанавливаем, что http://festival.1september.ru/articles/506900/img6.gifКСD– прямоугольный и АВСК- параллелограмм.

3. http://festival.1september.ru/articles/506900/img6.gifAЕD и http://festival.1september.ru/articles/506900/img6.gifКСD подобны по первому признаку (http://festival.1september.ru/articles/506900/Image3136.gifD- общий, http://festival.1september.ru/articles/506900/Image3137.gifКСD=http://festival.1september.ru/articles/506900/Image3136.gifАЕD по свойству параллельных прямых), коэффициент подобия k=2, так как k =http://festival.1september.ru/articles/506900/Image3138.gif

4. Отсюда АЕ=KC•k=12 см, DE= DC•k= 16 см.

5. Так как http://festival.1september.ru/articles/506900/img6.gifAЕD и http://festival.1september.ru/articles/506900/img6.gifКСD- прямоугольные, то Shttp://festival.1september.ru/articles/506900/Image3139.gif (смhttp://festival.1september.ru/articles/506900/Image3129.gif)

Shttp://festival.1september.ru/articles/506900/Image3140.gif(смhttp://festival.1september.ru/articles/506900/Image3141.gif). Площадь http://festival.1september.ru/articles/506900/img6.gifAЕD можно было найти через отношение площадей подобных треугольников: http://festival.1september.ru/articles/506900/Image3142.gif

Теперь можно найти площадь трапеции: Shttp://festival.1september.ru/articles/506900/Image3127.gif=Shttp://festival.1september.ru/articles/506900/Image3143.gif(смhttp://festival.1september.ru/articles/506900/Image3129.gif)

http://festival.1september.ru/articles/506900/img9.gif

Четвертое решение:

1. Проведем СК http://festival.1september.ru/articles/506900/Image3131.gifАВ и соединим точки К и С отрезком.

2. Нетрудно доказать, что http://festival.1september.ru/articles/506900/img6.gifАВК, http://festival.1september.ru/articles/506900/img6.gifВКС, http://festival.1september.ru/articles/506900/img6.gifКСD равные и прямоугольные.

3. Shttp://festival.1september.ru/articles/506900/Image3127.gif=3•Shttp://festival.1september.ru/articles/506900/Image3145.gif=3•http://festival.1september.ru/articles/506900/Image3146.gif=72 (смhttp://festival.1september.ru/articles/506900/Image3129.gif)

После анализа всех решений приходим к выводу, что самым рациональным и оригинальным является четвертый способ, а наиболее естественным и привычным оказалось решение первое.

6. Исследование задачи при изменении фигуры.

После обсуждения способов решений, ребятам предлагаются задания на изменение фигуры. Можно предложить ответить на вопросы исследовательского характера:

1. Всегда ли трапецию можно разбить на три равных треугольника?

Выясняется, что это можно сделать только, если одно основание в два раза больше другого.

2. Может ли трапеция быть составлена из трех равных треугольников другого вида?

Трапецию можно составить из трех правильных треугольников, равнобедренных и произвольных треугольников.

3. Сохраняться ли способы решения в этих случаях? Какие способы будут наиболее рациональными?

Перед детьми становится вновь проблема: нужно проанализировать способы решения по измененному чертежу, а так же вспомнить формулы для вычисления площади правильного и произвольного треугольников. Для правильного треугольника отрабатывается формула: S=http://festival.1september.ru/articles/506900/Image3147.gif . Для произвольного треугольника используем формулу Герона:

S=http://festival.1september.ru/articles/506900/Image3148.gif , http://festival.1september.ru/articles/506900/Image3149.gifhttp://festival.1september.ru/articles/506900/Image3150.gif

Имеет смысл предложить ребятам для простоты вычислений длины сторон 13, 14, 15, чтобы за технической стороной дела не потерялась идея решения.

После исследования задачи на изменение фигуры, можно предложить изменить длины оснований трапеции так, чтобы они не отличались друг от друга в два раза. Тогда очевидно, что трапецию невозможно разбить на три равных треугольника. И наш “красивый” способ решения использовать невозможно.

В качестве домашней работы можно предложить задачи:

1. Найти площадь трапеции, у которой параллельные стороны имеют длины 25 см и 11 см, а непараллельные – 13 см и 15 см.

2. Составить трапецию из трех равнобедренных треугольников, выбрать самостоятельно длины сторон и вычислить площадь трапеции.

7. Рефлексия.

При подведении итогов урока следует сделать акцент на всём объеме материала, который был использован на уроке. Можно предложить ребятам перечислить основные теоремы, которые применялись на уроке:

1. Признаки параллельных прямых.

2. Теорема Пифагора и ей обратная.

3. Неравенство треугольника.

4. Свойства площади.

5. Отношение площадей подобных фигур.

6. Определение, виды и свойства трапеции.

7. Признаки подобия треугольников.

8. Формула площади трапеции.

9. Формула площади прямоугольного треугольника.

10. Формула площади равностороннего треугольника.

11. Формула Герона.

Заключение.

Таким образом, одной из форм уроков по систематизации и обобщению нескольких тем может служить урок решения одной задачи. Основная цель – показать многообразие подходов при решении одной задачи, развивать исследовательские навыки, формировать умение видеть рациональные способы решения. Однако увлекаться этой формой не следует. Такие уроки станут наиболее эффективными, если их проводить один или два раза в четверть. Тогда можно подобрать такую задачу, при решении которой действительно применялся бы большой объем теории. В заключении хочется отметить, что работа учителя – это постоянный поиск и творчество, поэтому каждый выбирает свои методы, пользуется своими индивидуальными приемами. “Хороших методов существует ровно столько, сколько существует хороших учителей”. Д. Пойа.

Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 25.03.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров119
Номер материала ДВ-554267
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх