Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок решения задач методом объемов

Урок решения задач методом объемов

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С-2 МЕТОДОМ ОБЪЕМОВ

Данный метод применим для задач :

-нахождение расстояния между двумя скрещивающими прямыми.-

-нахождение расстояния от точки до плоскости.

Алгоритм метода объемов.

  • построить пирамиду, в которой высота, опущенная из вершины этой пирамиды на плоскость основания, является искомым расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми;

  • доказать, что эта высота и есть искомое расстояние;

  • найти объём этой пирамиды двумя;

  • способами и выразить эту высоту;

При решении задач данного типа используется следующие утверждение:

1)Если объем пирамиды АВСД равен V, то расстояние от точки М до плоскости α, содержащей треугольник АВС, вычисляется по формуле

d=

2).Расстояние м/у скрещивающими прямыми , содержащими отрезки hello_html_515314eb.gif

АВ и С D соответственно , можно вычислить по формуле


Задача № 1

Ребро куба ABCDA 1B 1C 1D1 равно 1 .Найти расстояние между скрещивающими диагоналями двух соседних граней куба

РЕШЕНИЕ:

Рассмотрим как соседние диагонали куба

Скрещивающие прямые А 1В и В 1С.

Найдем расстояние между ними по формуле

d= , где- объем тетраэдра , – угол м/у прямыми А 1В и В 1С. Для вычисления угла заменим прямую В 1С

прямой А 1D и найдем его из треугольника А 1DВ, т.к. треугольник равнобедренный угол 60 0. Тогда d =

найдем е=

Тогда d= Ответ : d=

способ 2( метод координат)

искомое расстояние –это расстояние от точки C до плоскости ( A1DB)

вычисляется d =

пусть уравнение плоскости ( A1DB) : Ax + By + Cz+ D =0

введем систему координат с центром в точке D(0,0,0) тогда

А1(1,0,1), В(1,1,0) т.к. точка D принадлежит плоскости ( A1DB), то D = 0

А1 принадлежит плоскости ( A1DB), то А+С =0, С= - А

В принадлежит плоскости ( A1DB), то А+В =0, В= -А

Значит Ах -Ау –Аz =0 , х-у –z =0

C(0,1,0) тогда d =

Ответ : d=





Задача № 2

Ребро куба ABCDA 1B 1C 1D1 равно a . Найти расстояние от точки С до (ВDС1).

Покажем искомое расстояние от точки C до

плоскости DС1). Это перпендикуляр СН равный высоте

пирамиды В С 1СD. Объем пирамиды равен

V==

C другой стороны треугольник ВDС1 равносторонний DB=C 1D=C 1B =

V=

V=, ,

Ответ :



Задача № 3

Ребро куба ABCDA 1B 1C 1D1 равно 1 .Найти расстояние между скрещивающими прямыми ВA 1 и B 1D. (2 способа)hello_html_m453f6090.png

Для решения задач методом объемов используют опорные задачи:

1.Если вершины АВDA1 параллелепипеда ABCDA 1B 1C 1D1 являются вершинами тетраэдра , то имеет место равенство

VABCA1 =

2.Пусть p и g – площади двух граней тетраэдра, aдлина общего ребра,

α- величина двугранного угла между этими гранями. Тогда объем тетраэдра может быть вычислен по формуле

V= hello_html_m27b7c6c.png

Доказательство :

hello_html_m74b1bdb2.png

hello_html_m39401574.png

hello_html_621e78fe.png









Задача №4 (ЕГЭ-2012 г.)

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 2,боковые ребра 3,точка D- середина ребра СС1 .Найти расстояние от вершины С до плоскости (ADB1).



hello_html_m62218ae.png

(два способа решения)hello_html_m496789b9.png













Задача №5 (ЕГЭ-2012 г.)

В правильной четырехугольной призме ABCDA 1B 1C 1D1 стороны основания равны 1, а боковое ребро равно 2. Точка М- середина

ребра AA1 . Найти расстояние от точка А до плоскости (ВМ D1).

hello_html_m1aa69a23.png

















Задача №5 (ЕГЭ-2012 г.)

В правильной четырехугольной призме ABCDA 1B 1C 1D1 стороны основания равны 1, а боковое ребро равно 2. Точка М- середина

ребра AA1 . Найти расстояние от точка А до плоскости (ВМ D1).



hello_html_mc301223.png

















Задача №2.В правильной четырехугольной призме АВСDА1B1C1D1 стороны основания равны 4, боковые ребра равны 2, точка Е – середина ребра ВВ1. Найдите расстояние от вершины В до плоскости АС1E (см. Рис.5).



hello_html_m6bc8d63c.png

Решение (метод объёмов)

Пусть d – расстояние от точки В до плоскости АС1Е. Для нахождения d применим метод «вспомогательного объема», состоящий в том, что V пирамиды ВАЕС1 выражается двумя способами:

а) с одной стороны VВАЕС1 = SАЕС1 ∙ d, а с другой стороны

б) VВАЕС1 = SАBE ∙ h, где h – расстояние от вершины С1 до плоскости (ABE),

и h = C1B1 = 4.

Тогда

Оттуда

Рассмотрим ∆ АВЕ, он – прямоугольный,

АВ = 4;

Тогда

Рассмотрим ∆ АЕС1, он - равнобедренный, т.к. АЕ=ЕС1 (см. Рис.6).

hello_html_165231d8.pngРис.6

Прямоугольные ∆ АВЕ и ∆В1С1Е равны по двум катетам:

ВЕ=В1Е; АВ=В1С1

По теореме Пифагора в ∆АВЕ


Проведем ЕК АС1,

по теореме Пифагора

АС1 - диагональ прямой призмы:



Следовательно,



Итак,


Ответ:


Задача.

Ребро SA пирамиды SABC перпендикулярно плоскости основания АВС.

А) Постройте прямую пересечения плоскости, проходящей через середины ребер АВ, АС и SA, и плоскости, проходящей через середину ребра ВС и перпендикулярной ему.

Б)Найдите расстояние от вершины А до этой плоскости, если SA=, АВ=АС=5, ВС=2

hello_html_3d3fc699.png Решение: метод объемов.

Решение: Пусть АА1=d - расстояние от т. А до плоскости KLM;

В пирамиде KALM, АК= ; АМ=АL= ; LM= .

KM= ; KH= ; АН=

VKALM =SALM * AK = SKLM * AA1 ; AA1== 1

Ответ:1



Общая информация

Номер материала: ДБ-183794

Похожие материалы