Урок с элементами проблемной лекции по алгебре и началам анализа в 11 классе. Площадь криволинейной трапеции.

Урок.

Тема: Площадь криволинейной трапеции.

Цель: Показать, что первообразная есть переменная площадь, систематизировать различные интерпретации первообразных, учить вычислять площадь криволинейной трапеции, формировать прием теоретического обобщения на основе составления правила ориентира решения класса задач, учить применять индуктивный и дедуктивный способы рассуждения для решения проблемы.

Тип урока: Элементы проблемной лекции.

Ход урока.

I Организационный момент

II Проверка домашнего задания.

Весь класс, за исключением 6 человек, пишет самостоятельную работу по 4-м вариантам, два по теории два по практике.

1) Найти первообразные для y=f(x)

вариант 1

вариант 2

2) Найти конкретные первообразные для f(x):

вариант 1

вариант 2

вариант 3

Таблица производных и первообразных. Примеры на применение таблицы.

вариант 4

Три правила нахождения первообразной, применение. (Привести свои примеры)

В это время работа с остальными учащимися: разбор домашнего задания и решение примеров, ему аналогичных.

Устно: найти первообразную для f(x), если:

Цель: контроль знаний учащихся, предупреждение их отставания, отработка техники вычисления первообразных функций вида y=axⁿ, y=sinx и многочлена.

Вопросы. Сколько существуют первообразных для данной функции? Как найти конкретную первообразную, проходящую через точку М?

Далее учащиеся самостоятельно с последующим самоконтролем выполняют задание: найти первообразную, проходящую через точку М(1;2) для функции y=x²-4x+2

Решение записано на доске и ученики сверяют свои ответы. (Оказываю помощь, если у кого из ребят есть затруднения). Этой группе ребят ставлю только положительные оценки.

Через 10-12 минут собираем работы у первых четырех вариантов.

III Мотивация учебной деятельности

Закреплять умение конструировать определение понятий, выделять существенные связи, повторить соответствующие схемы мыслительной деятельности.

IV Работа класса по усвоению новых знаний

1 Определение криволинейной трапеции.

2 Характеристические признаки понятия выделяем коллективно: криволинейная трапеция ограничена прямыми x=a, x=b, y=0 и кривой y=f(x), непрерывной на [a; b], f(x)>0.

Учащиеся по ходу объяснения пишут конспект.

Ориентир: важно уметь искать связи между далекими на первый взгляд, разделами науки. В физике первообразная — путь при заданной скорости, или скорость по ускорению. Но исторически понятие первообразной было связано с площадями в геометрии.

3 Покажем, что первообразную можно толковать как переменную площадь криволинейной трапеции S(x) – площадь, функция от х.

Развиваем мышление.

Подчеркнем, для математики характерно, что одно и тоже понятие может толковаться по разному, отсюда широта ее применения.

4 Изучение некоторых свойств функции S(x) (коллективный поиск) S(x) ограничена, S'(x)>0, S(x)- возрастающая; ограниченна, если ограниченна y=f(x). Нет ли связей y=S(x) с f(x)

Проблема. Подчеркиваем, что установление новых связей — дело трудное, но оно является источником новых , связей, знаний

5 Поиск решения проблемы.

Прямо на вопрос мы не можем ответить. Займемся изучением более глубоких свойств S(x), и, может тогда обнаружатся новые связи. Часто помогает в этом производная данной функции. Припоминается алгоритм вычисления производной функции

x → x+Δ x

ΔS → S(x+Δ x)

в силу непрерывности S(x) на [a;b]

В пределе площадь полосочки вырождается в отрезок (качественный переход), S(x) и y=f(x) – две противоположности. «Открытие» S(x)- первообразная для f(x) и может быть записана по основному свойству S(x)=F(x)+C

6 Сопоставим известные нам сведения о первообразной (взгляд назад помогает осмыслить достигнутое, успешно двигаться вперед). Первообразная — это семейство кривых, имеющих данную производную; это путь при заданной скорости, переменная площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой

y=f(x)=S'(x); x=a, x=b, y=0

7 Имеет ли S(x) особые свойства, выделяющее ее из семейства первообразных на [a;b]?

Проблема

8 Решение проблемы: опыты, индукция, анализ.

Демонстрация с помощью движущейся линейки

(S(a)=0) → (S(a)=F(a)+c) → (c=-F(a))

S'(x)=F(x)-F(a) - дедукция

Так как S(b) вся площадь, то S(b)=F(b)-F(a) площадь всей трапеции. Учимся видеть за символами реально существующие вещи.

От чего зависит площадь криволинейной трапеции? Какие данные нужно иметь для ее вычисления? Какой будет последовательность действий при решении задач данного класса?

Уметь разворачивать связи, отраженные в формуле в объективной последовательности.

9 Решение упражнений.

Задача. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y=x², прямыми х=1, х=2 и осью 0х.

Цель: Показать образец оформления решения, учить анализу через синтез, составить алгоритм решения данного класса задач на этой задаче-модели (теоретическое обоснование)

Алгоритм. 1 Построить чертеж. Выделить искомую площадь.

2. Найти концы промежутка.

3 Найти одну из первообразных для данной функции.

4 Воспользоваться формулой S(b)=F(b)-F(a)

Решение: y=f(x), y=x²

S(b)=F(b)-F(a)

Ответ: (кв.ед.)

Отделить и обобщить несущественное.

Несущественно в задаче: задание конкретной функции, конкретных границ интегрирования, они могут быть заданы другим условием, например как абсциссы точек пересечения кривых, график функции может находиться и под осью 0х.

10 Закрепление. Работа по образцу, перенос по аналогии на простом материале. Учащийся у доски. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями у=2х-х², у=0.

Чем отличается эта задача от предыдущей? Какой информации не достает для решения? Отнести задачу к классу. Применим соответствующий алгоритм.

11 Подведение итогов урока.

Что нужно прочно знать?

Что главное в материале?

Д/з. Стр. 175 пункт 6.3 №6.30*(б, в). Творческое задание №6.24* (б, г).