Урок с презентацией "Квадратные уравнения"

• 1 слайд

  Квадратные уравнения
  (методы решения)
  

• 2 слайд

  Квадратные уравнения
  

• 3 слайд

  Методы решения уравнения
  

• 4 слайд

  I. Азбука квадратного уравнения
  
  Неполные квадратные уравнения
  

• 5 слайд

  I. Азбука квадратного уравнения
  По формуле корней
  

• 6 слайд

  I. Азбука квадратного уравнения
  6. Теорема Виета
  

• 7 слайд

  II. Специальные методы
  Цель: Привести уравнение общего вида к неполному квадратному уравнению.
  
  
  
  Ответ: 2, 4.
  Замечание: метод применим для любых квадратных уравнений, но не всегда удобен в использовании. Используется для доказательства формулы корней квадратного уравнения.
  
  7. Метод выделения квадрата двучлена
  

• 8 слайд

• 9 слайд

  Пригласительный билет
  I вариант
  
  

• 10 слайд

  Пригласительный билет
  I I вариант
  
  

• 11 слайд

  Пригласительный билет
  I вариант
  
  

• 12 слайд

  Гипотеза 1
  Если в квадратном уравнении a+b+c=0, то один из корней равен 1, а второй по теореме Виета равен
  

• 13 слайд

  Пригласительный билет
  I I вариант
  
  

• 14 слайд

  Гипотеза 2
  Если в квадратном уравнении a-b+c=0, то один из корней равен -1, а второй по теореме Виета равен
  

• 15 слайд

  II. Специальные методы
  8. Если в квадратном уравнении a+b+c=0, то один из корней равен 1, а второй по теореме Виета равен
  
  9. Если в квадратном уравнении
  a-b+c=0, то один из корней равен -1, а второй по теореме Виета равен
  
  
  На основании теорем
  

• 16 слайд

  Самостоятельная работа
  I вариант
  
  II вариант
  
  

• 17 слайд

  Диофант
  Из «Арифметики Диофанта»
  

• 18 слайд

  Михаэль Штифель
  (1487 – 1567)
  Из «Арифметики» Штифеля
  

• 19 слайд

  Спасибо за внимание!
  

Савкина Наталья Валентиновна

Учитель математики ВКК

Тема: «Квадратные уравнения (методы решения)».

Цели урока:

Общеобразовательные:

·        систематизировать знания по этой теме;

·        выработать умение выбора рационального способа решения квадратного уравнения.

Развивающие:

·        расширение кругозора учащихся;

·        пополнение словарного запаса;

·        развитие мышления, внимания, умения учиться.

Воспитательные:

·        воспитание общей культуры;

·        воспитание интереса к математике;

·        воспитание активности, мобильности.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Оборудование: проектор, экран, раздаточный материал, учебник .

Хронометраж:

№ п/п	Этап урока	Временные рамки
1.	Организационный момент.
2.	Актуализация знаний.
3.	Открытие новых знаний.
4.	Рефлексия.
5.	Итог урока.

Ход урока

I. Организационный момент.

Учитель: Здравствуйте ребята, сегодня мы займемся коллективным творчеством, вы являетесь соавторами урока, и чтобы он получился отличным, я попрошу вашего внимания и активной работы.

         Тема нашего занятия (слайд 1)[1] «Квадратные уравнения (методы решения)».

         Я предлагаю, используя технологию критического мышления, заполнить первые две строки ваших диагностических карт (слайд 2)

Что я знаю по этой теме
Что я хочу узнать по этой теме
Что я узнал на уроке

         II. Актуализация знаний.

         Учитель: Сегодня у нас урок-презентация методов решения квадратных уравнений. Как вы думаете, как можно сформулировать цель нашего занятия, исходя из обозначенной темы?

         Дети: Речь идет о методах, значит их несколько, нужно вспомнить каждый и проиллюстрировать примером.

         Учитель: Иными словами, обобщить и систематизировать весь предшествующий опыт решения квадратных уравнений. А зачем это нам нужно?

         Дети: Для возможности выбора рационального пути решения.

         Учитель: Итак, наша цель: вспомнить способы решения квадратных уравнений различных видов, систематизировать имеющиеся знания, получить дополнительные формулы, позволяющие облегчить решение квадратных уравнений в особых случаях.

Фронтальная беседа по вопросам:

         1) Вспомним, какие уравнения называются квадратными? (слайд 3)

         2) Как называются числа a, b,c?

         3) Как называется уравнение, если старший коэффициент равен 1?

         4) Как называются уравнения, если второй или третий коэффициенты равны 0?

         4) Как решаются неполные квадратные уравнения? (слайд 4)

         5) Как решается квадратное уравнение, если все его коэффициенты отличны от 0? (слайд 5)

         6) Сформулируйте теорему Виета. Можно ли ее использовать для нахождения корней приведенного квадратного уравнения?

         Все выше перечисленные способы решения составляют «Азбуку квадратных уравнений». Кроме них для решения применяются так называемые «Специальные методы». С одним из них вы уже знакомы, применяли его при выводе формулы корней квадратного уравнения – это метод выделения квадрата двучлена (слайд 6).

         Перед тем как рассмотреть следующий специальный метод я предлагаю вам выполнить следующее задание:

         Установите связь между уравнением и наиболее удобным способом его решения.(слайд 7).(Стрелки появляются по щелчку.)

III. Открытие новых знаний.

Учитель: Приступаем к работе в тетрадях. Предлагаю вам решить «красивое» уравнение

.

(краткое обсуждение способов решения)

Учитель: Легко заметить ,что при решении 4 –м способом из таблицы «Азбука квадратного уравнения» дискриминант уравнения – многозначное число и по ходу решения возникает вопрос: «Как извлечь корень квадратный из этого многозначного числа».

Давайте отложим решение этого уравнения. Оказывается, существует способ быстрого решения этого уравнения, и я приглашаю вас на презентацию этого способа:

Заполните «Пригласительный билет», решая уравнения в тетради.

(Идет работа по карточкам. (слайд 8,9)

I вариант              

№ п/п	Уравнение	a	b	c	a+b+c
1.
2.
3.

II вариант            

№ п/п	Уравнение	a	b	c	a-b+c
1.
2.
3.

         Предлагаю I варианту проверить правильность заполнения. (слайд 10)

         Фронтальная беседа с учащимися I варианта по вопросам:

-       Какие закономерности прослеживаются в таблице?

-       Есть ли среди представленных уравнений, которые не удовлетворяют этим закономерностям?

-       Сформулируйте гипотезу о корнях уравнения коэффициенты которого подчиняются этому свойству. (слайд 11)

Далее проводится аналогичная работа со II вариантом. (слайд 12. Ответы. Слайд 13. Гипотеза 2)

Учитель:  В таблице методов решения[2] эти специальные способы выделены как 8-ой и 9-ый. (Слайд 14)

Вернемся к решению красивого уравнения.

Учитель: Для закрепления оформим в таблице два уравнения. (см. таблицу. Приложение 1)

IV. Рефлексия.

Учитель: После обобщения всех способов решения квадратных уравнений,  предлагаю вам выполнить следующую самостоятельную работу. (Слайд 15). По вариантам следует, решив уравнения, установить соответствие между буквой и большим модулем корня уравнения.

I вариант  

Установите соответствие между уравнением и большим модулем его корня:

№ п/п	Уравнение	Буква
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.

Ключ

	11	2,5		34	1,34	5	1,87	87	6
А	Т	Е	Д	Л	Ь	И	Н	О	Ф	Ш

II вариант            

Установите соответствие между уравнением и большим модулем его корня:

№ п/п	Уравнение	Буква
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.

Учитель: Если вы все правильно сделали, то у I варианта получилось слово (щелчок) ДИОФАНТ, а у II варианта – (щелчок) ШТИФЕЛЬ.

Фронтальная работа:

-       Поднимите руки, у кого нет расхождений в именах. (посчитать и записать). Молодцы – поставьте себе оценку – отлично.

-       Поднимите руки, у кого расхождение в именах в одну, две буквы. (посчитать и записать). Молодцы – поставьте себе оценку – хорошо.

-       Поднимите руки, у кого расхождения в именах более, чем в 3 буквы. (посчитать и записать).

Учитель: Наверняка вам интересно, почему в ходе выполнения самостоятельной работы вы получили имена этих ученых.

Учитель: Диофант Александрийский (слайд 16) Древнегреческий математик, живший, предположительно в III веке нашей эры. Ввел в алгебру буквенную символику, его трактат «Арифметика» содержит ряд задач, решаемых при помощи квадратных уравнений. На слайде вы видите страницу рукописи «Арифметики» Диофанта, где в верхней строке показана запись уравнений высших порядков. А вообще Диофант всю свою жизнь занимался решением уравнений с несколькими переменными в целых числах, поэтому такие уравнения называют диофантовыми.

Михаэль Штифель (слайд 17) знаменитый немецкий математик, изучая библию старался найти в ней математическое истолкование. В 1544 году Штифель первым в Европе сформулировал правило решение квадратных уравнений, приведенных к каноническому виду. На слайде вы видите страницу из книги «Арифметика» Штифеля.

VI. Итог урока.

Учитель:  Сегодня мы заканчиваем разговор о методах решения квадратных уравнений, но из таблиц вы  видите, что квадратные уравнения и уравнения к ним сводящиеся, можно решать и другими методами, с которыми вы будете знакомиться на следующих занятиях, а также будете рассматривать приложение квадратных уравнений.

Учитель: Дети, на столах остался еще один незаполненный лист «Домашнее задание».

(Комментарий домашнего задания)

Домашнее задание

№ 1. Составьте по 2 квадратных уравнения на применение теорем (метод 8, 9).

№ 2. В древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. Задачи часто представлялись в стихотворной форме. Задача знаменитого индийского математика XII века Бхаскары:

Обезьянок резвых стая

Всласть поевши, развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая

На поляне забавлялась,

А двенадцать по лианам

Стали прыгать, повисая…

Сколько ж было обезьянок.

Ты скажи мне, в этой стае?

№ 3. Надгробная надпись на могиле Диофанта имеет следующее содержание: «Диофант провел шестую часть своей жизни в детстве, двенадцатую – в юности, после седьмой части, проведенной в бездетном супружестве и еще 5 лет, у него родился сын, умерший по достижении половины числа лет жизни отца, после чего Диофант прожил только 4 года». Сколько лет жил Диофант?

Учитель: Предлагаю вам вернуться к заполнению последней строки Диагностической карты. Что я узнал на уроке….

Также попрошу вас отметить ваше настроение после занятия.

(С каждого ряда по ребенку: собрать диагностические карты и самостоятельные работы).

Учитель: Благодарю всех за сотрудничество, было очень приятно с вами общаться. (слайд 18)

I. Азбука квадратного уравнения

Неполные квадратные уравнения:			По формуле				6.  Теорема Виета
1.  ax2 = 0	x = 0		4. ax2 + bx + c = 0	D < 0	Корней нет		Если х1 и х2 – корни          уравнения.      , то	Если  х1 и х2 – корни    уравнения.  ax2 + bx + c = 0     ,  то
2.  ax2 + bx = 0, (b0)	x = 0  или x =			D = 0
				D > 0
3.  ax2 + c = 0, (c0)	если  < 0, то корней нет если  > 0, то		5.    ax2 + bx + c = 0        b = 2k (четное число)

II. Специальные методы			III. Общие методы решения уравнений
7.  Метод выделения  квадрата двучлена. Цель: Привести уравнение общего вида к неполному квадратному уравнению. Замечание: метод применим для любых квадратных уравнений, но не всегда удобен в использовании. Используется для доказательства формулы корней квадратного уравнения.	Пример: решите уравнение х2-6х+8=0. , , ,   Ответ: 2; 4.		10. Метод разложения на множители. Цель: Привести квадратное уравнение общего вида к виду А(х)·В(х)=0,  где А(х) и В(х) – многочлены относительно х. Способы: •   Вынесение общего множителя за скобки; •   Использование формул сокращенного умножения; •   Способ группировки.	Пример: решите уравнение 3х2+2х-1=0
На основании теорем:			11.  Метод введения новой переменной. Умение удачно ввести новую переменную – важный элемент математической культуры. Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной	Пример: решите уравнение
8.  Если в квадратном уравнении a+b+c=0, то один из корней равен 1, а второй по теореме Виета равен	Пример: решите уравнение 157х2+20х-177=0
9.  Если в квадратном уравнении a+c=b, то один из корней равен -1, а второй по теореме Виета равен	Пример: решите уравнение 203х2+220х+17=0		12.  Графический метод. Для решения уравнения  f(x) = g(x) необходимо построить графики функций y = f(x),    y = g(x)  и найти точки их пересечения; абсциссы точек пересечения и будут корнями уравнения. Замечание: Графический метод часто применяют не для нахождения корней уравнения, а для определения их количества.	Пример: решите уравнение

---

[1] Используется презентация к уроку

[2] Приложение: Азбука уравнений