Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»

Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

средняя образовательная школа №1

имени генерал – лейтенанта Б.П. Юркова

г.Зверева Ростовской области.








Урок - семинар на тему


«Решение уравнения sin x + cos x = 1»











учитель математики МБОУ СОШ №1

им. Б.П. Юркова


Куц Фёдор Иванович














г. Зверево

2015 г.




Перед человеком к разуму три пути: путь размышления — это самый благородный; путь подражания — это самый легкий; путь личного опыта — самый тяжелый путь.

Конфуций


Цели урока:


Главная дидактическая цель: рассмотреть все возможные способы решения данного уравнения.


Обучающие: изучение новых приемов решения тригонометрических уравнений на примере данного в творческой ситуации урока-семинара.


Развивающие: формирование общих приемов решения тригонометрических уравнений; совершенствование мыслительных операций учащихся; развитие умений и навыков устной монологической математической речи при изложении решения тригонометрического уравнения.


Воспитывающие: развивать самостоятельность и творчество; способствовать выработке у школьников желания и потребности обобщения изучаемых фактов.


Вопросы для подготовки и дальнейшего обсуждения на семинаре.

1) Введение вспомогательного угла.

2) Использование универсальной тригонометрической подстановки:

3) Сведение к однородному уравнению.

4) Применением формул сложения тригонометрических функций

5) Возведение обеих частей уравнения в квадрат.

6) Применение формул двойного и половинного аргумента.

7) Применение основного тригонометрического тождества.

8) Приведение к квадратному уравнению относительно одной из функций.

9)Графическое решение уравнения.


Все учащиеся разбиваются на группы (по 2-3 человека) в зависимости их индивидуальных способностей и желания. Каждой группе определяется задание для подготовки и выступления на уроке-семинаре. Выступает один человек от группы, а остальные учащиеся принимают участие в дополнениях и исправлениях ошибок, если в этом возникнет необходимость.


Организационный момент.


Учащимся сообщаются:


Тема урока: «Различные способы решения тригонометрического уравнения sin x + cos x = 1».


Форма проведения: урок – семинар.



Задачи урока:


а) рассмотреть возможность решения одного и того же уравнения различными способами;

б) познакомиться с различными общими приемами решения тригонометрических уравнений;

в) изучение нового материала (введение вспомогательного угла, универсальная подстановка).


План семинара:

1) Введение вспомогательного угла.

2) Использование универсальной тригонометрической подстановки:

3) Сведение к однородному уравнению.

4) Применением формул сложения тригонометрических функций

5) Возведение обеих частей уравнения в квадрат.

6) Применение формул двойного и половинного аргумента.

7) Применение основного тригонометрического тождества.

8) Приведение к квадратному уравнению относительно одной из функций.

9)Графическое решение уравнения.


  1. Решение первой группы.

Решение уравнения sin x + cos x = 1 методом «Введения вспомогательного угла».


Если дано уравнение a sin x + b cos x = с, то разделив обе части уравнения на выражение

hello_html_m4b5338f0.gifи вводя дополнительный угол hello_html_m58576334.gif, получим уравнение cos hello_html_m58576334.gif sin x + sin hello_html_m58576334.gif cos x = hello_html_m5bd9fba7.gif.

Откуда sin (x + hello_html_m58576334.gif) = hello_html_m5bd9fba7.gif.

(Или sin hello_html_m58576334.gif sin x + cos hello_html_m58576334.gif cos x = hello_html_m5bd9fba7.gif. Откуда cos (x + hello_html_m58576334.gif) = hello_html_m5bd9fba7.gif).

Для уравнения sin x + cos x = 1 имеем: a = 1, b = 1: hello_html_m4b5338f0.gif = hello_html_m60e4d710.gif= hello_html_39f1b7ec.gif.

hello_html_m41f3a28f.gifsin x + hello_html_m41f3a28f.gif cos x = hello_html_m41f3a28f.gif; hello_html_73ca8c00.gif sin x + hello_html_73ca8c00.gif cos x = hello_html_73ca8c00.gif.

hello_html_m13de269e.gifcoshello_html_m2bf5a2e4.gifsinx + sinhello_html_m2bf5a2e4.gifcosx = hello_html_73ca8c00.gif, sin(x + hello_html_m2bf5a2e4.gif) = hello_html_73ca8c00.gif; x +hello_html_m2bf5a2e4.gif = (- 1)n arcsin hello_html_73ca8c00.gif + π n, n hello_html_m2e28bbd1.gif Z;

x +hello_html_m2bf5a2e4.gif = (- 1)n hello_html_m2bf5a2e4.gif+ π n, n hello_html_m2e28bbd1.gif Z; x = -hello_html_m2bf5a2e4.gif + (- 1)n hello_html_m2bf5a2e4.gif+ π n, n hello_html_m2e28bbd1.gif Z.

Эта серия корней распадается на две серии:

при четном n: n = 2m x = -hello_html_m2bf5a2e4.gif + hello_html_m2bf5a2e4.gif+ 2πm = 2πm, m hello_html_m2e28bbd1.gif Z;

при нечетном n: n= 2k + 1 x = -hello_html_m2bf5a2e4.gif - hello_html_m2bf5a2e4.gif+ π (2k + 1) = - hello_html_50661fa5.gif + π + 2πk= = hello_html_50661fa5.gif + 2πk, k hello_html_m2e28bbd1.gif Z.

Ответ. x = 2πn, n hello_html_m2e28bbd1.gif Z; x = hello_html_50661fa5.gif + 2πk, k hello_html_m2e28bbd1.gif Z.

Или 2)hello_html_11852162.gif sinhello_html_m2bf5a2e4.gifsinx + coshello_html_m2bf5a2e4.gifcosx = hello_html_73ca8c00.gif; cos(x - hello_html_m2bf5a2e4.gif) = hello_html_73ca8c00.gif; x -hello_html_m2bf5a2e4.gif = ± arccos hello_html_73ca8c00.gif + 2π n, n hello_html_m2e28bbd1.gif Z;

x -hello_html_m2bf5a2e4.gif = ± hello_html_m2bf5a2e4.gif+ 2π n, n hello_html_m2e28bbd1.gif Z; x =hello_html_m2bf5a2e4.gif ± hello_html_m2bf5a2e4.gif+ 2π n, n hello_html_m2e28bbd1.gif Z.

Эта серия корней распадается на две серии: x = 2πn, n hello_html_m2e28bbd1.gif Z; x = hello_html_50661fa5.gif + 2πk, k hello_html_m2e28bbd1.gif Z.

Ответ. x = 2πn, n hello_html_m2e28bbd1.gif Z; x = hello_html_50661fa5.gif + 2πk, k hello_html_m2e28bbd1.gif Z.

  1. Решение второй группы.

Решение уравнения sin x + cos x = 1 с помощью универсальной тригонометрической подстановки: sin x = hello_html_719f1f08.gif, cos x =hello_html_665d1c6b.gif.

Перепишем данное уравнение с учетом приведенных формул:

hello_html_8fd052a.gif+hello_html_665d1c6b.gif = 1. Умножим обе части уравнения на общий знаменательhello_html_m46134543.gif (hello_html_m46134543.gif ≠0).


hello_html_2e307a6c.gif+ hello_html_m7fe83919.gif = hello_html_m46134543.gif; hello_html_7b06f19.gif - hello_html_2e307a6c.gif = 0; hello_html_2e307a6c.gif (hello_html_mdd39dd6.gif - 1) = 0.

hello_html_2e307a6c.gif= 0 илиhello_html_mdd39dd6.gif - 1 = 0.

1) hello_html_mdd39dd6.gif= 0, hello_html_m418f76f4.gif = πn, n hello_html_m2e28bbd1.gif Z; x = 2πn, n hello_html_m2e28bbd1.gif Z.


2)hello_html_mdd39dd6.gif = 1, hello_html_m418f76f4.gif = hello_html_m2bf5a2e4.gif + πk, k hello_html_m2e28bbd1.gif Z; x = hello_html_50661fa5.gif + 2πk, k hello_html_m2e28bbd1.gif Z.

Ответ. x = 2πn, n hello_html_m2e28bbd1.gif Z; x = hello_html_50661fa5.gif + 2πk, k hello_html_m2e28bbd1.gif Z.

3. Решение третьей группы.

Решение уравнения sin x + cos x = 1 приведением к однородному уравнению относительно синуса и косинуса.

Используя формулы двойного аргумента sin x = 2sinhello_html_m418f76f4.gifcoshello_html_m418f76f4.gif, cosx = cos2 hello_html_m418f76f4.gif - sin2hello_html_m418f76f4.gif и записывая

правую часть уравнения в виде 1= cos2hello_html_m418f76f4.gif + sin2hello_html_m418f76f4.gif, получаем:

2sinhello_html_m418f76f4.gifcoshello_html_m418f76f4.gif + cos2hello_html_m418f76f4.gif - sin2hello_html_m418f76f4.gif = cos2hello_html_m418f76f4.gif + sin2hello_html_m418f76f4.gif; 2 sin2hello_html_m418f76f4.gif - 2sinhello_html_m418f76f4.gifcoshello_html_m418f76f4.gif = 0.


Вынося 2sinhello_html_m418f76f4.gifза скобки, получим равносильное уравнение

2 sinhello_html_m418f76f4.gif (sinhello_html_m418f76f4.gif – cos hello_html_235a4a84.gif = 0. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен

нулю, другие при этом имеют смысл. Следовательно, 2sinhello_html_m418f76f4.gif = 0 или sinhello_html_m418f76f4.gifcoshello_html_m3ec4c3e7.gif

1) sinhello_html_m418f76f4.gif = 0. hello_html_6fb9bb7.gif = hello_html_6b2fd1c.gifn, n hello_html_m2e28bbd1.gif Z; x = 2πn, n hello_html_m2e28bbd1.gif Z.

2) sinhello_html_m418f76f4.gif - coshello_html_m418f76f4.gif = 0 – однородное уравнение первой степени. Делим обе части уравнения на coshello_html_m418f76f4.gif

(coshello_html_m418f76f4.gif ≠ 0, в противном случае, если coshello_html_m418f76f4.gif = 0, то и sinhello_html_m418f76f4.gif = 0, что противоречит основному

тригонометрическому тождеству cos2hello_html_m418f76f4.gif + sin2hello_html_m418f76f4.gif = 1).

tg hello_html_6fb9bb7.gif - 1= 0; tg hello_html_6fb9bb7.gif = 1.

hello_html_6fb9bb7.gif= hello_html_m2bf5a2e4.gif +hello_html_m12570275.gif х = hello_html_50661fa5.gif + 2πk, k hello_html_m2e28bbd1.gif Z .

Ответ. x = 2πn, n hello_html_m2e28bbd1.gif Z; x = hello_html_50661fa5.gif + 2πk, k hello_html_m2e28bbd1.gif Z.

4. Решение четвертой группы.

Решение уравнения sin x + cos x = 1 с применением формул сложения тригонометрических

функций sinhello_html_695bfd0f.gif + sinhello_html_7233e67b.gif= 2 sin hello_html_61975a5f.gif cos hello_html_m707ff419.gif .

Выразим cos x через sin x, используя формулы приведения: cos x = sin(hello_html_50661fa5.gif - x).

sin x + sin (hello_html_50661fa5.gif - x) = 1; 2 sinhello_html_m1a33df70.gifcos hello_html_4077a2f2.gif = 1; 2 sin hello_html_m2bf5a2e4.gif cos (x - hello_html_m2bf5a2e4.gif) = 1;

2∙hello_html_73ca8c00.gif ∙ cos (x - hello_html_m2bf5a2e4.gif) = 1; cos (x - hello_html_m2bf5a2e4.gif) =hello_html_73ca8c00.gif .

x - hello_html_m2bf5a2e4.gif = ± arccoshello_html_73ca8c00.gif +2hello_html_6b2fd1c.gifn, n hello_html_m2e28bbd1.gif Z; x = hello_html_m2bf5a2e4.gif ± hello_html_m2bf5a2e4.gif +2hello_html_6b2fd1c.gifn, n hello_html_m2e28bbd1.gif Z.

x = 2hello_html_6b2fd1c.gifn, n hello_html_m2e28bbd1.gif Z; х = hello_html_50661fa5.gif + 2hello_html_6b2fd1c.gifk, k hello_html_m2e28bbd1.gif Z.

Ответ. x = 2πn, n hello_html_m2e28bbd1.gif Z; x = hello_html_50661fa5.gif + 2πk, k hello_html_m2e28bbd1.gif Z.

5. Решение пятой группы.

Решение уравнения sin x + cos x = 1 способом возведения обеих частей уравнения в квадрат.

(sin x + cos x )2 = 1; sin2 x + 2sin x cos x + cos x2 = 1.

Используя формулу синуса двойного аргумента sin 2x = 2sin x cos x и основное

тригонометрическое тождество cos2х + sin2х = 1, имеем:

sin 2x + 1 = 1; sin 2x = 0; 2x = πn, n hello_html_m2e28bbd1.gif Z; x = hello_html_m36b19c3f.gif , n hello_html_m2e28bbd1.gif Z.

При возведении уравнения в квадрат получаем уравнение – следствие, поэтому проведем

проверку.

Проверка.

1) При х = n, n hello_html_m2e28bbd1.gif Z, 0 + 1 = 1 верно, х = n, n hello_html_m2e28bbd1.gif Z – корни уравнения.

2) При х = hello_html_50661fa5.gif + 2πn, n hello_html_m2e28bbd1.gif Z; 1+ 0 = 1 верно, х = hello_html_50661fa5.gif + n, n hello_html_m2e28bbd1.gif Z – корни уравнения.

3) При х = π + 2πn, n hello_html_m2e28bbd1.gif Z, 0 - 1 = 1 неверно, х = π + 2πn, n hello_html_m2e28bbd1.gif Z – не являются корнями

уравнения.

4) При х = hello_html_3e938cb2.gif + 2πn, n hello_html_m2e28bbd1.gif Z, -1+ 0 = 1 неверно, х = hello_html_3e938cb2.gif + n, n hello_html_m2e28bbd1.gif Z – не являются корнями

уравнения.

Ответ. x = 2πn, x = hello_html_50661fa5.gif + 2πn, n hello_html_m2e28bbd1.gif Z.

6. Решение шестой группы.

Решение уравнения sin x + cos x = 1 с применение формул двойного и половинного

аргумента.

Запишем уравнение в виде: sin x = 1 - cos x .

Сделаем замену: sin x = 2sinhello_html_m418f76f4.gifcoshello_html_m418f76f4.gif, 1 - cos x = 2sin2hello_html_m418f76f4.gif.

2sinhello_html_m418f76f4.gifcoshello_html_m418f76f4.gif = 2sin2hello_html_m418f76f4.gif; 2sinhello_html_m418f76f4.gifcoshello_html_m418f76f4.gif - 2sin2hello_html_m418f76f4.gif = 0. Вынося 2sinhello_html_m418f76f4.gifза скобки, получим равносильное

уравнение 2sinhello_html_m418f76f4.gif (sinhello_html_m418f76f4.gifcos hello_html_235a4a84.gif = 0. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей

равен нулю, а другие при этом не теряют смысла.


2sinhello_html_m418f76f4.gif = 0 или cos hello_html_m418f76f4.gif - sinhello_html_m418f76f4.gif = 0.

1) 2sinhello_html_m418f76f4.gif = 0; hello_html_m418f76f4.gif = πn, n hello_html_m2e28bbd1.gif Z; x = 2πn, n hello_html_m2e28bbd1.gif Z.

2) coshello_html_m418f76f4.gif = sinhello_html_m418f76f4.gif ; hello_html_mdd39dd6.gif = 1; hello_html_m418f76f4.gif = hello_html_m2bf5a2e4.gif + πk; x = hello_html_50661fa5.gif + 2πk, k hello_html_m2e28bbd1.gif Z.

Ответ. x = 2πn, n hello_html_m2e28bbd1.gifZ; x = hello_html_50661fa5.gif + 2πk, k hello_html_m2e28bbd1.gifZ.

7. Решение седьмой группы.

Решение уравнения sin x + cos x = 1 с применение основного тригонометрического

тождества.

Из тождества sin2 x + cos2 x = 1 имеем cos2 x = 1 - sin2 x, откуда cos x = ±hello_html_m6a23f7a4.gif.


sin x ±hello_html_m6a23f7a4.gif = 1; ±hello_html_m6a23f7a4.gif = 1 – sin x; 1 - sin2 x = (1 – sin x)2;

(1- sin x) (1 + sin x) - (1 – sin x)2 = 0; (1- sin x) (1 + sin x – 1 + sin x) = 0; (1 - sin x) ∙ 2sin x = 0.

1 – sin x = 0 или 2 sin x = 0.

1) sin x = 1; x = hello_html_50661fa5.gif + 2πk, k hello_html_m2e28bbd1.gifZ.

2) sin x = 0; x = πn, n hello_html_m2e28bbd1.gif Z.

В процессе решения обе части уравнения возводились в квадрат, что могло

привести к появлению посторонних решений, поэтому необходима проверка.

Выполним ее.


При х = hello_html_50661fa5.gif + 2πk, k hello_html_m2e28bbd1.gifZ, 1+ 0 = 1 верно, х = hello_html_50661fa5.gif + k, k hello_html_m2e28bbd1.gifZ.– корни уравнения.

При х = n, n hello_html_m2e28bbd1.gif Z, 0 + 1 = 1 верно, х = n, n hello_html_m2e28bbd1.gifZ – корни уравнения.

При х = π + 2πn, n hello_html_m2e28bbd1.gif Z, 0 - 1 = 1 неверно, х = π + 2πn, n hello_html_m2e28bbd1.gif Z – не являются корнями уравнения.

Ответ. x = 2πn, n hello_html_m2e28bbd1.gif Z; x = hello_html_50661fa5.gif + 2πk, khello_html_m2e28bbd1.gifZ.

8. Решение восьмой группы.

Решение уравнения sin x + cos x = 1 способом приведения к квадратному уравнению

относительно одной из функций.

Рассмотрим основное тригонометрическое тождество sin2 x + cos2 x = 1, откуда следует sin x =

±hello_html_7e6b47db.gif, подставим полученное выражение в данное уравнение.

±hello_html_7e6b47db.gif + cos x = 1; ±hello_html_7e6b47db.gif = 1 - cos x.

Возведем обе части полученного уравнения в квадрат: 1 – cos2x = 1 – 2cos x + cos2x;

2cos2x - 2cos x = 0; cos x (cos x – 1) = 0.

cos x = 0 или cos x – 1 = 0.

1) cos x = 0. x = hello_html_50661fa5.gif + πk, k hello_html_m2e28bbd1.gifZ.

2) cos x – 1 = 0; cos x =1. х = 2πn, n hello_html_m2e28bbd1.gif Z.

Корни необходимо проверить.

При х = hello_html_50661fa5.gif + 2πk, k hello_html_m2e28bbd1.gifZ, 1+ 0 = 1 верно, х = hello_html_50661fa5.gif + k, k hello_html_m2e28bbd1.gifZ – корни уравнения.

При х = - hello_html_50661fa5.gif + 2πk, k hello_html_m2e28bbd1.gifZ, - 1 + 0 = 1 неверно, х = - hello_html_50661fa5.gif + k, k hello_html_m2e28bbd1.gifZ не являются корнями

уравнения.

При х = n, n hello_html_m2e28bbd1.gif Z, 0 + 1 = 1 верно, х = n, n hello_html_m2e28bbd1.gifZ – корни уравнения.

Ответ. x = 2πn, n hello_html_m2e28bbd1.gif Z; x = hello_html_50661fa5.gif + 2πk, khello_html_m2e28bbd1.gifZ.

9. Решение девятой группы.

Решение уравнения sin x + cos x = 1 графическим способом

Перепишем уравнение в виде: sin x = 1 - cos x.

Построим в одной системе координат графики функций: у = sin x , y =1 - cos x.



http://studyport.ru/data/Exact_Science/Image5482.gif

Абсциссы точек пересечения являются решениями данного уравнения.

Из графика видно, что уравнение имеет 2 решения: x = 2πn, n hello_html_m2e28bbd1.gif Z; x = hello_html_50661fa5.gif + 2πk, k hello_html_m2e28bbd1.gif Z. (Необходимо обязательно проверять это вычислениями).

Ответ. x = 2πn, n hello_html_m2e28bbd1.gif Z; x = hello_html_50661fa5.gif + 2πk, k hello_html_m2e28bbd1.gif Z.


Итог урока.

Учащиеся научились решать тригонометрические уравнения вида a sin x + b cos x = c, освоили новый материал.

На примере одного уравнения рассмотрели несколько способов решения.

Учащиеся были непосредственными участниками урока, была задействована обратная связь в системе ученик-учитель.

Учащиеся получили навыки самостоятельной работы с дополнительной литературой.


Литература.

1. Материалы курса «Тригонометрия в школе». /Н.Н. Решетников, М. Педагогический университет «Первое сентября», 2010 г.

2. Математика. Большой справочник школьников и поступающих в вузы. М.»дрофа»,1999 г.

3. Математика. Учебное пособие для слушателей подготовительных курсов. Новочеркасск, НГМА,2003 г.

4.Алгебра и начала анализа. 10 -11 классы: учебник для общеобразовательных учреждений: базовый уровень/ Ш.А. Алимов и др./ - М, Просвещение, 2010 г.

Интернет- ресурсы

1.studyport.rutochnyie-naukigrafikov-vuravneniy

2.festival.1september.ru/articles/515874/


Краткое описание документа:

урок-семинар

«Решение уравнения sin x + cos x = 1».

В работерассмотрены различные способы решения уравнения

sin x + cos x = 1:

Такие как: Метод дополнительного угла, универсальная тригонометрическая подстановка,, сведение уравнения к однородному тригонометрическому уравнению, Преобразование суммы в произведение,возведение обеих частей уравнения в квадрат, применение основного тригонометрического тождества,графический способ.

Автор
Дата добавления 18.05.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров528
Номер материала 286873
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх