Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Урок -семинар по теме " Способы решения иррациональных уравнений"

Урок -семинар по теме " Способы решения иррациональных уравнений"

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

Урок с применением ИКТ по теме «Некоторые способы решения иррациональных уравнений».

hello_html_55122e4f.jpg

Автор: Чертилина Лариса Владимировна.

Место работы: ГАПОУ СО «Самарский государственный колледж»

Дисциплина: Математика

Цитата урока: (выписана на интерактивной доске).


«Знание только тогда – знание, когда оно добыто усилием собственной мысли, а не памятью» - слова Л.Н. Толстого.


hello_html_m70184a7e.jpg

Цель:

  • обобщение знаний учеников по данной теме;

  • демонстрация различных методов решения иррациональных уравнений;

  • показ возможности решения иррациональных уравнений на основе исследования;

  • формирование навыка самообразования, самоорганизации, умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы;

  • воспитание самостоятельности, умения выслушивать других и умения общаться в группе;

  • повышение интереса к предмету.


Форма проведения: семинарское занятие.


Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор.


Ход занятия:

Учитель:

Сегодня мы поговорим об иррациональных уравнениях.

Иррациональным называют уравнение, в котором переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень.)


hello_html_6e0a6645.jpg


На доске приведены примеры уравнений иррациональных и не являющихся иррациональными.


1) hello_html_m2c35e609.png


Назовите те уравнения, которые являются иррациональными.

Дайте определения иррационального уравнения.

Ответы учеников.(иррациональными являются уравнения 1), 3), 4), 6). Определение иррационального уравнения:

I. Учитель:

На предыдущих уроках мы рассматривали решение иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в степень корня (в основном в квадрат). При возведении частей уравнения в чётную степень мы получаем уравнение-следствие, решение которого приводит иногда к появлению посторонних корней. И тогда обязательной частью решения уравнения является проверка корней или нахождение области определения уравнения.

Однако при решении иррациональных уравнений не всегда следует сразу приступать к «слепому» применению известного алгоритма решения.

В заданиях Единого государственного экзамена имеется довольно много уравнений, при решении которых необходимо выбрать такой способ решения, который позволяет решить уравнения проще, быстрее. Поэтому необходимо знать и другие методы решения иррациональных уравнений, с некоторыми из них мы сегодня познакомимся.

При подготовке к уроку некоторые ученики получили листы-рекомендации, в которых рассматриваются основные приёмы решения иррациональных уравнений. Ребята ознакомились с предложенными решениями и подобрали свои уравнения, решить которые предстоит нам на уроке.


II.Выступление учеников


1 ученик.

Решение иррационального уравнения методом возведения обеих частей уравнения в степень корня.

х + = 3х – 7

Решим данное уравнение традиционным способом – методом возведения обеих частей в квадрат. Слагаемое, содержащее квадратный корень оставим в левой части уравнения, а х перенесём в правую часть.

= 2х – 7

Возведём обе части уравнения в квадрат:

=

Получаем:

х + 4 = 4 – 28х + 49

Перенесём все члены уравнения в одну часть, получаем квадратное уравнение

4 – 29х + 45 = 0

Корни этого уравнения х = 5 и х = 2,25

Решая это уравнение мы возводили обе части уравнения в квадрат. При возведении обеих частей уравнения в любую четную степень получается уравнение, являющееся не равносильное данному, а являющееся следствием исходного, следовательно, при этом возможно появление посторонних корней. Поэтому необходимым условием решения является проверка корней.

Если х = 5, то = 10 - 7

3 = 3 – верно

х = 5 – корень уравнения

Если х = 2,25, то = 4,5 - 7

2,5 = - 2,5 – неверно

х = 2,25 посторонний корень

Ответ: х = 5

Предлагаю решить в классе уравнение: hello_html_3a750c3c.png


2 ученик. Решение уравнения методом исследования области определения уравнения.


Пусть дано уравнение: - = –

Возведение обеих частей в квадрат приведёт нас к громоздким вычислениям и трате времени на экзамене.

Воспользуемся методом исследования области допустимых значений заданного уравнения.

Область допустимых значений данного уравнения определяется системой неравенств <=> <=> х=2






Данное уравнение определено только при х = 2.

Проверим, является ли число 2 корнем уравнения:

- = –

5 = 5 – верно.

Ответ: х = 2.


Попробуйте решить уравнение: = х - 2


3 ученик. Использование свойства монотонности функции.

Я хочу рассказать об уравнениях, решение которых основывается на свойстве монотонности функций. Существуют теоремы:


Теорема 1. Пусть уравнение имеет вид: f(x) = с, где f(x) –монотонно возрастающая (убывающая) функция, а с – число, входящее область значений функции f(x), тогда уравнение f(x) = с имеет единственный корень.


Теорема 2. Пусть уравнение имеет вид f(x)= g(x), где функции f(x) и g(x) «встречно монотонны», т.е. f(x) возрастает, а g(x) убывает или наоборот, то такое уравнение имеет не более одного корня.


Если удается заметить эти свойства функций в уравнении или привести уравнение к таким видам, и при этом нетрудно угадать корень уравнения, то он и будет единственным решением данного уравнения.

Пример для изучения

Пусть дано уравнение: + = 6

ОДЗ уравнения: х+60; х

Функции = и = являются возрастающими на промежутке [- 6; , поэтому функция у = + так же является возрастающей на этом промежутке, и следовательно принимает любое значение, в том числе и 6, только один раз. Значит, уравнение имеет единственный корень.

Найдём этот корень подбором.

х = 2.

Проверкой убеждаемся, что число 2 является корнем данного уравнения.


Ответ: х = 2.

Я предлагаю решить на уроке уравнение:

+ = 9 –

Это уравнение можно попытаться решить возведением обеих частей в квадрат (трижды!). Однако при этом получится уравнение четвертой степени.

Попробуйте использовать свойства монотонности функций, входящих в уравнение.

Ответ: х = 1

4 ученик Метод введения новой переменной.


Удобным средством решения иррациональных уравнений иногда является метод введения новой переменной, или «метод замены». Метод обычно применяется в случае, если в уравнении неоднократно встречается некоторое выражение, зависящее от неизвестной величины. Тогда имеет смысл обозначить это выражение какой-нибудь новой буквой и попытаться решить уравнение сначала относительно введенной неизвестной, а потом уже найти исходную неизвестную.

Пример для изучения:

Дано уравнение: + =

ОДЗ уравнения: х х

Пусть , тогда

Получаем уравнение t + =




= = 2

Тогда

или

Возведём обе части уравнения в 5-ю степень. При возведении обеих частей уравнения в нечётную степень получаем уравнение, равносильное данному, следовательно, не требуется проверка найденных корней. Получаем

; х = ; х = 2


Ответ: х = ; х = 2

В классе я предлагаю решить уравнение: hello_html_m27efd5f6.png

5 ученик. Метод оценки частей уравнения.

Рассмотрим уравнение: + = 14х -

Запишем уравнение в виде + = -( +49)

+ = -


Так как левая часть данного уравнения неотрицательная, а

правая - неположительная при любых допустимых значениях x ,

то равенство возможно только в том случае, когда они обе части уравнения

равны нулю. Легко убедиться, что это возможно только при х = 7.


Для решения в классе предлагаю уравнение:

+ = 0


III. Работа учеников в группах.

После прослушивания выступающих начинается работа учеников в группах по решению предложенных уравнений.

Учитель контролирует работу групп, даёт консультации.

IV . Домашнее задание № 1712 – 1719 (а) стр 253 задачника


V. Итог урока:

рефлексия

hello_html_5079a1d3.jpg


Вопросы рефлексии:

Как вы считаете, насколько полезным было проведенное занятие?

Получены ли новые знания и умения?

Кратко опишите, какие моменты занятия вам особенно запомнились.

Каких моментов занятия вам хотелось бы избежать?

Какие трудности вы испытали при изучении материала, при ответе на вопросы, в ходе решения заданий? Сумели ли вы их преодолеть? Если да, то как?

Опишите свои впечатления от проведенного занятия. Хотели бы вы в будущем принимать участие в таких занятиях?


Литература.

  1. Математика: Учебник для 11 класса: среднее (полное) общее образование (базовый уровень) /М.И.Башмаков. – 2-е изд.- М. : Издательский центр «Академия», 2012.- 320 с.

  2. Шереметевский В. П. Очерки по истории математики. Изд. 2-е, стереотипное. – М.: Едиториал УРСС, 2009. – 184 с. (Академия фундаментальных исследований: история математики.) – ISBN 5-354-00869-7




Министерство образования и науки Самарской области

Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение Самаркой области « Самарский государственный колледж»

hello_html_m133fc54a.jpg










Открытый урок с применением ИКТ

по учебной дисциплине:

«Математика: алгебра и начала анализа. геометрия»
для группы ОП-15-01

специальности

23.02.01 Организация перевозок и управление на транспорте (по видам).


преподавателя

Чертилиной Ларисы Владимировны.



















Самара 2016

Общая информация

Номер материала: ДБ-138596

Похожие материалы