Урок уравнения высших степеней 8 класс

Ход учебного занятия

Слайд № 1

Организационный момент

Здравствуйте, дорогие ребята. Садитесь. Вы, наверное, заметили, что сегодня в нашем кабинете мы не одни, мы принимаем гостей. Я думаю, что сегодня мы хорошо и продуктивно с вами поработаем.

Определение темы урока

Слайд № 2

А начать хотелось бы со слов известного физика Альберта Эйнштейна:

«Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно»…

Вот уже сколько столетий человечество решает уравнения! Исторический факт: Герон – греческий математик и инженер впервые еще в  I веке н.э. дал чисто алгебраический способ решения квадратного уравнения. Значит о чем сегодня пойдет речь на нашем занятии? (об уравнениях)

Мотивация на учебную деятельность

Слайд № 3 (уравнения, фронтальная работа с классом)

Перед вами уравнения, чем они принципиально отличаются друг от друга? (степенью)

давайте определим степени предложенных уравнений.

3х – 9 = 6                               Линейные уравнения  - это уравнения первой степени

х² + 5х – 14 = 0?                     Квадратные – второй степени

х³ + 3х = 4

х³ – 9х² + 36х – 80 = 0

3х⁴ – 4х³ + 2х² – 4х + 3=0

(х+6)⁴+(х+4)⁴=0

        2х⁵+3х⁴-5х³-5х²+3х+2=0

Слайд № 4

В качестве эпиграфа к сегодняшнему занятию я решила выбрать слова Н. Н. Миклухо-Маклая. «Ценить людей надо по тем целям, которые они перед собой ставят». А чтобы развиваться, человек должен ставить перед собою какие цели? (высокие)

Как бы вы сформулировали тему нашего сегодняшнего урока? (Решение уравнений высших степеней).

Постановка цели

Ребята, перед вами лежат листы самооценки, внесите туда свою фамилию  и тему урока. Сформулируйте, пожалуйста, цель, которую вы поставите перед собой на это занятие и попытайтесь её достичь.

Слайд № 5

К уравнениям высших степеней относят уравнения третьей степени и выше. Кубические уравнения и четвертой степени были известны ещё в древнем Вавилоне, древним грекам, китайцам, индийцам и египтянам. А всем известный нам  Франсуа Виет (1540-1603) – французский адвокат, ставший советником короля Франции Генриха III, затем Генриха IV, стал «отцом алгебры», так как ввел буквенную символику, правила стал записывать в виде формул. Голландский математик Андриан Ван-Роумен в конце 16 столетия решил бросить вызов всем математикам мира. Он разослал во все европейские страны уравнение 45–й степени:

 .

Французским математикам он решил это уравнение не посылать, считая, что там нет способных справиться с задачей: Декарт в то время ещё не родился, о других математиках не было слышно. Так французские математики не смогли принять вызов. Больше всего было ущемлено самолюбие Генриха IV «И все же у меня есть математик!»- воскликнул король. «Позовите Виета!» В приемную короля вошел пятидесятитрехлетний седоволосый советник. Он тут же, в присутствии короля, министров  и гостей, нашел один корень предложенного уравнения. Король ликовал, все поздравляли придворного советника. На следующий день Виет нашел ещё 22 корня уравнения. Этим он ограничился, так как остальные 22 корня отрицательные, а Виет не признавал ни отрицательных, ни мнимых корней. Алгебра была для Виета увлечением всей его жизни, исследованиям он отдавал всё свое свободное время, мог несколько суток подряд не вставать из-за рабочего стола.

Повторение материала

Уравнения степени три и выше относят к уравнениям высших порядков.

Нам необходимо попробовать решить эти уравнения. Давайте для начала вспомним математические термины и понятия, которыми мы так часто пользовались в последнее время при решении уравнений, разгадывая при этом кроссворд. Заодно и узнаем, как мы будем называть новый для нас тип уравнений, с которым мы сегодня познакомимся. Разобьемся на группы, каждая группа по очереди отвечает на вопросы, а не ответив на вопрос, передает право ответа следующей группе, правильный ответ  +  1 балл каждому участнику группы

Слайд № 6 (ребятам предлагается разгадать кроссворд)

1. Равенство, содержащее переменную. (уравнение)

2. Уравнения с одной переменной, имеющие одинаковое множество корней (равносильные)

3. Значение переменной, при которой уравнение обращается в верное равенство (корень)

4. Один из способов решения уравнений….переменной. (замена)

5. Квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен единице (приведенное)

6. Уравнение вида  ax⁴+ bx²+c=0, где  a, b, c не равны 0, (биквадратное)

7. Чем является выражение   b² - 4ac  для квадратного уравнения?  (дискриминант)

8. Французский математик, имеющий отношение к квадратным уравнения. (Виет)

9. Уравнения, содержащие алгебраические дроби. (рациональные)

11.Квадратное уравнение, в котором один из коэффициентов b=0 или с=0 (неполное)

12. Уравнение вида ах + b=0 (линейное)

у

р

а

в

н

о

с

и

л

ь

н

ы

е

р

р

к

о

р

е

н

ь

а

з

а

м

е

н

а

в

п

р

и

в

е

д

е

н

н

о

е

н

б

и

к

в

а

д

р

а

т

н

о

е

р

е

р

д

и

с

к

р

и

м

и

н

а

н

т

н

в

и

е

т

и

р

а

ц

и

о

н

а

л

ь

н

о

е

е

н

е

п

о

л

н

о

е

л

и

н

е

й

н

о

е

Справились! Молодцы! Так какое понятие для нас сегодня будет новым? (возвратные уравнения)

Создание проблемной ситуации

Слайд № 7 и Слайд № 8 (задача)

Еще в древней Индии получил распространение своеобразный вид спорта – публичное соревнование в решении головоломных задач. Давайте и мы поломаем голову! В учебнике математики Ал-Хорезми, выпущенном им около 830 года под заглавием „Китаб мухтасар аль-джебр ва ал-мукабала", можно было встретить вот такую задачу: «куб и три корня равны 4». Какое уравнение нам необходимо составить?

х³ + 3х = 4        

А как же нам его решить?

Слайд № 9

Давайте рассмотрим вот такую диаграмму, где представлены наиболее распространенные методы решения уравнений.

Какими методами вам уже приходилось пользоваться?

(замена переменных, графический, разложение на множители, по формулам)

Актуализация знаний

Слайд № 10 , 11, 12

Решим уравнение х³+3x=4 разными способами по группам, если группа успешно справляется, то каждый ставит себе по баллу.

1 группа, 4 группа	2 группа, 5 группа	3 группа, 6 группа
Разложение на множители (группировкой) х3+3x–4=0 x3–x+4x–4=0 x(x2–1)+4(x–1)=0 x(x–1)(x+1)+4(x–1)=0 (x–1)(х(х+1)+4)=0 (x–1)(x2+x+4)=0 х – 1 =0   или x2+x+4=0                       D=1–16<0                       нет корней       Ответ: 1	Графически х3+3x–4=0 х3+3x=4 х(х2+3)=4    и      Ответ: 1	Разложение на множители (делением в столбик) x3+3x–4=0        ±1,±3 х3+3x–4              х–1 х3–х2                  х2+х+4        х2+3х–4        х2– х              4х–4              4х–4                     0 (x–1)(x2+x+4)=0 х – 1 =0   или x2+x+4=0                       D=1–16<0                       нет корней        Ответ: 1

Слайд № 13

 Возможно, что будет предложено решить по кубической параболе, но её изучение происходит в 9 классе, может быть кто-нибудь догадается,  поэтому

х³+3x–4=0

х³= - 3x+4

у=х³  и  у=-3x+4

Ответ: 1

А теперь каждый из вас должен решить данные уравнения тем способом, которым он считает более рациональным, и если  оно будет решено правильно, то ставим себе балл.

Слайд № 14,15

1 член группы	2 член группы	3 член группы	4 член группы
x³-3x-2=0 x³+x²-x²-x-2x-2=0 x²(x+1)-x(x+1)-2(x+1)=0 (x+1)(x²-x-2)=0 x+1=0 или x²-x-2=0 x=-1             D=1+8=9                      x₁=2                      x₂=-1  Ответ: -1; 2.	x³-13x+12=0 x³-x-12x+12=0 x(x²-1)-12(x-1)=0 x(x-1)(x+1)-12(x-1)=0 x-1=0 или  x²+x-120=0 х=1            D=1+48=49                                 x₁= 3                   x₂= - 4 Ответ: -4; 1; 3.	x³-7x+6=0 x(x²-1)-6(x-1)=0 x(x-1)(x+1)-6(x-1)=0 (x²+x-6)(x-1)=0 x-1=0  или  x²+x – 6=0 х=1             D=1+24=25                                 x₁=2                                                      x₂= - 3 Ответ: -3; 1; 2.	2x³+x²-3=0 3x³-x³+x²-3=0 3(x³-1)-x²(x-1)=0 3(x-1)(x²+x+1)-x²(x-1)=0 (x-1)(3x²+3x+3-x²)=0 (x-1)(2x²+3x+3)=0 x-1=0   или  2x²+3x+3=0 x=1              2x²+3x+3=0                      D=9-24=-15                      нет корней                     Ответ: 1

Слайд № 16

Омар Хайям  (ок. 1048- ок. 1123) Описал всевозможные виды уравнений третьей степени и рассмотрел сложные и красивые способы геометрических построений для отыскания их решения

 

- полное кубическое уравнение

Слайд № 17 (видеозапись  рассказа ученика, находящегося на индивидуальном обучении)

В средние века проводились не только рыцарские турниры. И в математике случались научные поединки, на которых ученые состязались между собой в том, кто быстрее и больше решит задач, предложенных противником. Победитель получал деньги и обретал славу, ему предлагали занять почетную, хорошо оплачиваемую должность. Драматические события развернулись в Италии.

Профессор Болонского университета Сципион Даль Ферро (1465–1526) находит общее решение уравнения третьей степени, но держит его в секрете до состязаний. Перед смертью он открывает секрет своему ученику Фиоре.

 В 1535 он вызывает на соревнование талантливейшего математика Никколо Тарталью (1499–1557), который, зная, что Фиоре обладает способом решения кубического уравнения, прилагает максимум усилий и сам за несколько дней до поединка находит решение! Поединок состоялся 12 февраля 1535 г. Каждому надо было решить по 30 задач. За два часа Тарталья справился со всеми задачами, предложенными ему Фиоре, а тот не решил ни одной задачи противника. Победа была полной! И это при его «кладбищенском» образовании!

Настоящая фамилия ученого была не Тарталья, а Фонтана. В 1512 году его родной город Брешия был оккупирован французскими войсками. В то время озверевшие солдаты беспощадно грабили и даже убивали мирных жителей. Маленький Николо тоже был тяжело ранен: у него был рассечен язык и гортань. Матери удалось спасти жизнь сына, но говорить свободно он уже никогда не мог, речь его была крайне невнятной. Он получил прозвище Тартатья (заика). Несмотря на тяжелые материальные условия, одаренный мальчик упорно овладевал математикой. Нередко, когда не было денег на покупку бумаги, он писал свои математические вычисления на заборах и камнях, надгробиях на местном кладбище. Тарталья побеждает на соревновании, но тоже держит свое открытие в секрете.

А вот Джероламо Кардано (1501–1576), который был одновременно математиком и механиком, врачом и алхимиком, хиромантом и личным астрологом римского папы, ничего в секрете держать не стал! С юности его обуревала жажда славы. Он тщетно пытается найти алгоритм решения кубического уравнения и в 1539 г. обращается к Тарталье с просьбой поведать ему тайну. Взяв с Кардано «священную клятву» молчания, Тарталья частично и в не слишком вразумительной стихотворной форме приоткрывает для него завесу. Кардано не удовлетворяется и прилагает усилия, чтобы ознакомиться с рукописью покойного Даль Ферро. В 1545 г. он публикует трактат по алгебре «Великое искусство», в которой сообщает алгоритм решения кубического уравнения. Формула Кардано – секрет Даль Ферро и Тартальи. В этой же книге содержится еще одно открытие, сделанное его учеником Луиджи Феррари – решение уравнения четвертой степени.

   x³+рх+q=0

запомнить данную формулу сложно, да и не всегда она делает решение уравнения легче, поэтому в школьную программу работа с ней не включена!

Слайд № 9

Приведенное кубическое уравнение  с помощью замены  дает неполное кубическое уравнение вида .  Обозначим за дискриминант кубического уравнения ,   тогда   , после деления многочленов рассмотреть квадратное уравнение и вычислить х.

Слайд № 10

 Замена ,  ,

,

,

,

,

,

т. е. .

,

у - 2 =0     или     у²+2у+13=0

у = 2                    D = 4 – 52 = - 48.

                            Нет корней

, тогда при   ;

Ответ: 5.

Слайд № 11

1  группа	2 группа	3 группа
х3 - х2 -9x-6=0 (х+2)(x²- 3x -3)=0 х+2=0   или   x²- 3x -3=0 х= - 2            D=9 +12 = 21                      x₁=                     x₂=  Ответ: - 2;  ;	6x³+ х2 - 11x - 6=0 (х+1)(6 х2 - 5x – 6)=0 х+1=0   или   6 х2 - 5x – 6=0 х= - 1             D=25+ 144= 169                                      x₁= 1,5                        x₂= - Ответ: -1; 1,5; - .	x³- 2х2 - 5x + 6=0 (x-1)(х2 - x – 6)=0 х - 1=0   или  (х2 - x – 6)=0 х=1             D=1+24=25                                 x₁= - 2                                                      x₂= 3 Ответ: 3; 1; - 2.
4  группа	5 группа	6 группа
х3 +6 х2 +3x - 10=0 (х – 1)(x² + 7x + 10)=0 х – 1=0    или    x² + 7x + 10=0 х = 1                  D=49 - 40 = 9                            x₁= - 5                                                             x₂= - 2 Ответ: - 5; 1; - 2.	х3 + 12х2 +36x + 32=0 (х + 2)(x² + 10x + 16)=0 х + 2 =0    или    x² + 10x + 16=0 х = - 2                  D=100 - 64 = 36                            x₁= - 8                                                             x₂= - 2 Ответ: - 8; - 2.	х3 +6 х2 +3x - 10=0 (х – 1)(x² + 2x - 2)=0 х – 1=0    или    x² + 2x - 2=0 х = 1                  D=4 + 8 = 12                           x₁=                           x₂=  Ответ: - 2;  ;

Внимательно рассмотрите данные уравнения. Что интересного можно заметить?

2х³+ 7х²+ 7х+2=0        

3х³ + 4х² + 4х + 3 = 0

5х³ - 8х² - 8х + 5 = 0

3х⁴ – 4х³ + 2х² – 4х + 3=0,

 х⁴ + 4х³ - 2х² + 4х + 1=0.

Возвратными называются такие уравнения, в которых коэффициенты, одинаково удаленные от начала и конца, равны между собой.

ах³+ bх²+ bх+а=0         нечетной степени, доказано, что обязательно присутствует корень -1,

и   (х-1)(ах²+(b-a)x+а)=0

1 группа, 4 группа	2 группа, 5 группа	3 группа, 6 группа
2х3+ 7х2+ 7х+2=0         (х+1)(2х2+5x+2)=0 х + 1=0   или     2х2+5x+2=0 х= - 1               D = 25-16=9                            х= - 2    х= -    Ответ: -1; - 2; -	3х3 + 4х2 + 4х + 3 = 0  ( х + 1) (3х2 + х + 3)=0  х + 1=0    или    3х2 + х + 3=0 х= - 1                   D=1-36 < 0                              нет корней Ответ: - 1	5х3 - 8х2 - 8х + 5 = 0 (х + 1) (5х2 - 13 х + 5)=0 х + 1=0    или    5х2 - 13 х + 5=0 х= - 1                   D=169-100=69                              x₁=                               x₂=  Ответ: - 1;   ;

 уравнения четной степени, решают по четкому алгоритму делением на x²

      тогда уравнение сводится к квадратному

2x⁴ – 3x³ + x² – 3x + 2 = 0

2y² – 3y – 5 = 0.        

     

нет корней

Ответ: 0,5; 2.

х⁴ + х³- 4х² + х + 1 = 0

 Уравнения вида:  приводятся к биквадратному заменой:

, тогда

Уравнение примет вид:

и после упрощения

после упрощения

   т.к.

  

т.е.

Подведение итогов урока

Решение уравнений высших степеней, как правило, вызывает большие трудности в связи с тем, что единого метода для решения таких уравнений не существует. Каждое уравнение требует индивидуального подхода и решается или единственно верным способом или комбинациями различных методов. Мы должны подбирать нужный метод для решения конкретного уравнения. Умение находить правильный метод и обосновывать свой выбор позволит в дальнейшем понять решение уравнений высших степеней, содержащих  параметры.

Анализ результатов, самооценка

Давайте поработаем с листом самооценки. Заполните его, отвечая на поставленные вопросы. Мы добились поставленной цели?

 Постановка домашнего задания

Выберите сами себе домашнее задание, исходя из оценки своих возможностей. Вам предлагается два уровня сложности! Файл опубликован в дневнике.ру в папке с домашними заданиями для вашего класса, но можно осуществить выбор уже сейчас, взяв карточку у меня. Это будет карточка среднего уровня сложности или карточка с более сложными уравнениями

-самостоятельная работа. 

-работа в парах, оценивание работы друг друга

Дополнительные задачи:

1)  х³+12х² + 49х + 78 = 0    ( х = - 6)

2)  х³ + 3х² -2х – 2 = 0    (х = 1, х = -2 ± )

3)  х³ – 5х² +7х – 3 = 0    (х_1,2 = 1,   х₃ = 3)

4)  3х³ + 4х² + 4х +3 = 0   ( х = - 1)

5)  6х³ – х² – 20х + 12 = 0 (х =  , х = , х = - 2 )

6)  х³ - 4х² - 9х – 4 = 0   ( х = -1, х = )

7)  х³ -6х² + 9х – 2 = 0  ( х = 2, х = 2 ± )

8)  2х³ – 9х² + 10х – 3 = 0  ( х = , х = 1, х = 3)

9)  х³ – 5х² – 5х + 1 = 0      ( х = - 1, х =)

10)  2х³ – 3х² – 3х + 2 = 0,   ( х = -1, х = , х = 2 )

11)  2х³ + 3х² -1 = 0   (х_1,2 = -1, х₃ = )

12)  х³ – 6х +5 = 0       ( х = 1, х =   )         

13)  х³ – 3х – 2 = 0     (х_1,2 = - 1, х₃ = 2 )

14)  х³ – 7х – 6 = 0      ( х  = - 2, х = - 1, х = 3 )

15)  х³ + х – 10 = 0      ( х = 2)