Урок в 10 классе "Функция y=arccos x" по алгебре и началам анализа, профильный уровень, автор А.Г. Мордкович

Урок в 10 классе «Функция y=arccos x».

Алгебра и начала анализа, профильный уровень, автор А. Г. Мордкович

Разработала учитель математики МБОУ Суземской СОШ №2 Романенкова В. М.

Цель урока:

1) ввести определение функции y=arccos x.

2) рассмотреть свойства функции y= arccos x.

3) ввести определение арккосинуса числа и его свойства.

Ход урока.

1.     Мотивация урока.

Сегодня на уроке мы познакомимся с ещё одним видом обратных тригонометрических функций.

Какую обратную функцию изучим? y=arccos x.

2.     Актуализация значений по функции y=cos x и её свойствам и теореме об обратной функции.

На экране график функции y=cos x

1) График какой функции на экране? y=cos x

2) Вспомните свойство монотонности функции y=cos x.

Функция y=cos x монотонно возрастает на [-π; 0], монотонно убывает на [0; π], монотонно возрастает на [π; 2π] и т.д. и принимает все значения от -1 до 1.

3) Что мы имеем по теореме об обратной функции?

Если функция y=f(x) монотонна на множестве x, то она обратима.

3.     Введение определения функции y=arccos x (абстрактно-дедуктивный метод).

На каждом из промежутков функция y=cos x имеет обратную функцию. Среди них предпочтение отдают одной функции, обратной к функции y=cos x, x∈[0; π]. Её обозначают x=arccos y. Поменяв местами x и y, пишут: y=arccos x.

Итак: y=arccos x – это функция, обратная к функции y=cos x, x∈[0; π].

4) Вспомните, как получить график функции y=f^-1(x), обратной по отношению к функции y=f(x)?

Надо график функции y=f(x) преобразовать симметрично относительно прямой y=x.

5) Постройте в тетрадях график функции y=cos x на [0; π], симметрично отобразите его относительно прямой y=x и вы получите график функции y=arccos x, x∈[0; π].

На экране появляется образец построения.

4.     Свойства функции.

Продолжите самостоятельно заполнение таблицы, которую начали на прошлом уроке.

Внесите в таблицу самостоятельно свойства функции y=arccos x.

	D(f)	E(f)	нечётная, чётная	возрастает, убывает	непрерывность
y=arcsin x x∈[-π/2; π/2]	[-1;1]	[-π/2; π/2]	нечётная	возрастает	непрерывна
y=arccos x x∈[0; π]	[-1;1]	[0; π]	ни чётная, ни нечётная	убывает	непрерывна
y=arctg x x∈(-π/2; π/2)
y=arcctg x x∈(0; π)

На экране образец заполнения таблицы.

5.     Формирование понятия арккосинуса числа.

Осуществим переход от функции y=arccos x, x∈[0; π] к понятию арккосинуса числа.

На экране запись: y=arccos x, x=cos y, 0≤y≤ π

                                      cos(arccos x)=x, 0≤arccos x≤ π

Что называется arccos a?

Если |a|≤1, то arccos a – это такое число из отрезка [0; π], косинус которого равен a.

6.     Введите понятие arccos a. На экране:

На экране геометрическая иллюстрация.

если |a|≤1, то arccos a=t<=>{cos t=a, 0≤t≤ π cos (arccos a) =a.

7.     Свойство arccos a.

Для любого a∈[-1;1] верно arccos a + arccos (-a) = π.

Доказательство

Пусть a>0.

На чертеже: arccos a – длина дуги AM; arccos (-a) – длина дуги AP. Дуги AM и PC симметричны относительно вертикального диаметра окружности, значит, длины этих дуг равны.

arccos a + arccos (-a) = AM + AP = PC + AP = AC = π;

arccos (-a) = π – arccos a, где 0≤a≤1

8.     Усвоение определений.

Задания на «да» и «нет» на доске.

условие arccos a=t	|a|≤1	cos t=a	0≤t≤π	Вывод
arccos 1/2= π/3	+	+	+	да
arccos (-√2/2)=3π/4	+	+	+	да
arccos 0=π	+	–	+	нет
arccos 1=0	+	+	+	да

Подведение итогов.

С какими новыми понятиями вы сегодня познакомились?

Дайте определение функции y=arccos x, x∈[0; π]

Что вы узнали о функции y=arccos x?

С какими ещё новыми понятиями вы познакомились?

Дайте определение arccos a. (повторяются существенные признаки).

9.     Закрепление понятий функции y=arccos x и арккосинуса числа.

Два ученика вызываются к доске. Один решает №21.21 (а; б), второй №21.15 (а; б). Устно №21.22.

10.                        Подведение итогов урока.

Что нового узнали?

Задание на дом. 21 п. 2 №21.21 (в; г), №21.15 (в; г), №

Урок в 10 классе.

Тема: “ Уравнение касательной к графику функции”.

Алгебра и начала анализа (профильный уровень) ; автор А. Г. Мордкович.

Разработала учитель математики МБОУ Суземской СОШ №2 Романенкова В. М.

Цель:

1)    Научиться составлять уравнение касательной к графику функции.

2)    Научиться применять уравнение касательной в нестандартной ситуации.

     А.

Тип урока: совершенствование умений.

Ход урока.

1.     Введение алгоритма.

1)    Сегодня на уроке мы продолжим изучать тему «уравнение касательной к графику функции».

2)    Напишите на доске уравнение касательной  y=f(a)+f ‘(a)(x-a).

Задание и образец решения на доске.

Составьте уравнение касательной к графику функции y=tg x  в точке х=а.

Решение:

1)    X=a ;

2)    F(a)=tg a ;

3)    F ‘(x)= ;

4)    F ‘(a)=;

5)    y=tg a().

Чтобы быстро и верно составить уравнение касательной мы выполняем шаги.

1)    Что мы делаем в начале?

Находим абсциссу точки касания;

2)    Что делаем потом?

Находим  f(a);

3)    Что делаем дальше?

Находим  f ‘(x);  

4)    Затем?

Находим  f ‘(a);

5)    И как составляли уравнение?

Подставили найденные выражения а; f(x) и f ‘(a) в формулу y=f(a)+f ‘ (a)(x-a).

Составьте самостоятельно алгоритм составления уравнения касательной к графику функции y=f(x).

Алгоритм составления касательной к графику функции:

1)    Найти абсциссу f(x) точки касания: a.

2)    Вычислить  f(a);

3)    Найти f ‘(x);

4)    Вычислить f’(a);

5)    Подставить найденные числа a; f(a) и f ‘(a) в формулу y=f(a)=f ‘(a)(x-a)

2.     Усвоение алгоритма.

На доске таблица:

Примеры	Шаг 1       a	Шаг 2      f(a)	Шаг 3      f ‘(x)	Шаг 4    f ‘(a)	Ответ
F(x)=x;  a=3	3↓	9↓	2x↓	6	Y=9+6(x-3)
F(x)=x;   a=1	1	1	3x	3	Y=1+3(x-1)
F(x)=2-x-x; a=0	0	2	-1-3x	-1	Y=2-(x-0)
F(x)=x-3x+5; a=1	-1	7	2x-3	-5	Y=7-5(x+1)
F(x)=sin2x; a=		1	2cos2x	0	Y=1+0(x-)
F(x)=;   a=2	2	4		7	Y=4+7(x-2)
F(x)=cos;  a=0	0	1	-sin3x	0	Y=1+0(x-0)

1)    Учащиеся самостоятельно заполняют 1-й столбик. Этот шаг проговаривается вслух. После данного шага проверка на экране.

2)    Затем заполняют 2-й столбик. Второй шаг проговаривается вслух и т.д.

3.     Закрепление умения.

Разработать пример 2.

К графику функции y= провести касательную так, чтобы она была параллельна прямой у=4х-5.

Решение:

1.     Найдем абсциссу точки касания;

2.     K=4 , так как искомая касательная параллельна прямой y=4x-5;

3.     K=f ‘(a) , значит f ‘(a)=4;

4.     F ‘(x)=x;

5.     x=4 ,  т.е.    а=4;  a=2;   a=-2;

6.     f (a)=; f(a)=;

7.     f ‘(a)= f ‘(a)=4;

8.     y=;   y=4x-;

y=-+4(x+2);   y=4x+.

Ответ : y=4x-; y=4x+.

Помогают учащиеся  № 43.4 (а; б); 43.6 (а; б); 

                                        № 43.7 (а; б); 43.29 (а; б);

                                        № 43.30 (а; б);  43.31 (а; б).

4.     Самостоятельная работа (обучающая).

1В.                                                    2В.

№43.3 (а);                                        №43.3 (б);                                  Решения на

№43.5 (а);                                        №43.5 (б);                            обратной стороне

№43.8 (а);                                        №43.8 (б);                                       доски.

№43.15 (а);                                      №43.15 (б);

Домашнее задание: §43; №43.3 (в; г); 43.4(в; г); 43.5 (в; г); 43.14 (в; г); 43. 29(в; г); 43.30 (в; г); 43.31 (в; г).

5.     Подведение итогов. Что узнали на уроке? Чему научились? Где можно применить?