Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок в 11 классе «Наименьшее и наибольшее значения функции»
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Урок в 11 классе «Наименьшее и наибольшее значения функции»

библиотека
материалов

hello_html_6ee117ca.gifhello_html_45a3bde5.gifhello_html_7bc5221e.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m3d17cf3c.gifhello_html_9be96ac.gifhello_html_9be96ac.gifhello_html_m59d412b6.gif

План-конспект урока


«Наименьшее и наибольшее значения функции»




ФИО (полностью)

Мирошникова Елена Анатольевна


Место работы

МБОУ Зимовниковская СОШ №1


Должность

Учитель


Предмет

Алгебра и начала анализа


Класс

11


Тема и номер урока в теме

«Наибольшее и наименьшее значение функции», урок 45-46


Базовый учебник

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профильный уровни / [Ю.М, Колягин, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин]; под ред. А.Б. Жижченко. – М.: Просвещение, 2009г







Тема: « Наибольшее и наименьшее значения функции»

«Особую важность имеют те

методы науки, которые позволяют

решать задачу, общую для всей

практической деятельности

человека: как располагать

своими средствами для

достижения наибольшей выгоды»


П.Л. Чебышев.

Цель урока:

  • Создать условия для развития ученика, его интеллектуальности, развить общие познавательные способности и ориентировать ученика на самостоятельное освоение нового опыта.

Методические подходы


-универсальные учебные действия (УУД):

  • сформировать понятия наибольшего и наименьшего значения функций;

  • научить учащихся применять правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке (на интервале);

  • формирование практического опыта способов деятельности – индивидуальный, ценностно-ориентированный;



-личностные:





-регулятивные:

  • развивать рефлексивную способность,

  • самостоятельное структурирование знаний и достижений позитивного результата;

  • установление связей между целью учебной и ее мотивом, ориентация в социальной значимости содержания;


  • организация своей учебной деятельности, контроля, волевая саморегуляция.


Результаты изучения

темы

ЗУНы, опыт решения проблемы; личностные результаты - формирование ценностных отношений к себе, другим, к ОП и его результатам.



Тип урока

урок формирования новых знаний

Формы работы учащихся


фронтальная, парная, индивидуальная

Необходимое техническое оборудование


компьютер, проектор, интерактивная доска.

Этап урока

Деятельность учителя

Деятельность ученика

Время

(в мин.)

1

Организационный момент

1. Приветствие.
2. Определение отсутствующих.
3. Проверка готовности обучающихся к уроку (наличие учебных принадлежностей).

4. Положительный настрой на урок.

Приветствие

2

2

































































































































































































































































































3.













































































4.













5.

























































































































































6.











7.

Изучение нового материала

































































































































































































































































































Закрепление знаний учащихся











































































Работа в парах.













Домашнее задание.

























































































































































Релаксационная пауза











Для тех, кто любит математику

1. Предлагает учащимся на основании предшествующей деятельности предположить, чем они будут заниматься на уроке и вместе с ними формулирует тему и образовательные задачи урока.

2. Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке.

а) Вы уже накопили некоторый опыт отыскания наибольшего и наименьшего значений функции. Для примера рассмотрим рациональную функцию у = Зх4 - 16х3 + 24х2 -11. Найдём наибольшее (наименьшее) значение функции на множестве R.







































б) пусть у = f (х) непрерывна на отрезке [а,в] - несколько графиков таких функций представьте на рис. 1-3.

- Самостоятельно: (предусмотрите возможные варианты достижения функций наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [а ,в]).

Учащиеся выполняют различные варианты рисунков.

(работа проверяется с помощью интерактивной доски)


1.Высказывают предположения и записывают тему урока в рабочих тетрадях.






1).Найдём производную данной функции:

f'(x) = 12х3-48х2 + 48х и далееf'(x)= 2 - 4х +4) f'(x)= 12х (х-2)2

2).Производная обращается в ноль в точках х=0 и х=2 - это две стационарные точки заданной функции.

Укажем схематические знаки производной по промежуткам области определения:

у´ - + +

х

у 0 2



на промежутке (- ∞ ; 0) производная отрицательна, на промежутке (0;2) - положительная. Значит, х=0 - точка минимума функции, а х=2 точкой экстремума не является. В силу непрерывности функция убывает на промежутке (-∞ ; 0], возрастает на промежутке [0; +∞)

в точке минимума х=0 имеем f(0) = -11. Значит,

уmin= -11.













hello_html_6d5a53b7.pnghello_html_m1001611c.png

Рис.1 Рис.2

hello_html_m7d4c1408.png

Рис.3

15



































































2























































































































































































5







































25











































































10





































































































10









































































5

2.-К каким выводам можно прийти, анализируя указанные математические модели? (см. стр.107 учебника - Ю.М. Колягина)

Это весьма солидная теорема курса математического анализа, доказательство её требует достаточной продвинутости в изучения курса.

- Вспомните, как называются точки, в которых производная равна нулю (равна нулю или не существует)? В каких точках внутри отрезка функция достигает своего наибольшего наименьшего) значения?

В этом нет ничего удивительного, поскольку в этом случае наибольшее (или наименьшее) значение функции одновременно является значением функции в точке экстремума.

-Важен ли нам характер точек экстремума?

-Подведём итог сказанному и выработаем алгоритм отыскания наименьшего и наибольшего значения непрерывной функции у = f(x) на отрезке [а ; в] Слайд 1-3

hello_html_447a35c2.png











































Учащиеся предлагают возможный алгоритм (вариантов может быть несколько). С учащимися согласовать наиболее оптимальный (удобный в практическом применении, запоминающийся).hello_html_mc85da7f.pnghello_html_m7e983d8c.png



-Предлагаю выполнение этапов алгоритма на примере. Слайд 4-6hello_html_1a0709dc.png





















hello_html_mc85da7f.pnghello_html_224f6fa4.png















































-Предлагаю решить пример, применяя алгоритм в тетради, на доске.



Пример:

Найти наименьшее и наибольшее значение функции у = х3 - Зх2 - 45х +1.

а) на отрезке [- 4,6];

б) на отрезке [ 0, 6];

в) на отрезке [ -2,2 ].























































-В рамках закрепления изученного необходимо, работая в парах самостоятельно решить №15(1,3),№16(1), №17(1).

Дополнительно, для тех, кому интересно, решить №18(3)







Для домашней работы: §3, стр.107-108, №15(2,4), 16(2), 17(2).Ф.Ф. Лысенко (Подготовка к ЕГЭ-2013)

Вар.6,В-14,

Вар.8,В-14.

- Как же найти наибольшее и наименьшее значение функции на открытом промежутке?

у = 1-х4 - х6 на интервале (- 3; 3).

Учащиеся излагают решения № 18(3)























-Проведите самостоятельно анализ общих и отличительных шагов алгоритмов нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на промежутках [а ; в] и (а:в).































-Вы замечательно справились с задачей обобщения теоретических основ темы. Мы вместе сформулировали алгоритмы отыскания наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке.



Задание: Найдите наибольшее значение функции
y = (8 – x) e x
-7 на отрезке [ 3; 10 ]

С последующей проверкой. Слайд 7

- А теперь посмотрим решение задачи с использованием свойств функции.hello_html_m50bea1ff.png

Слайд 8

























hello_html_m1e13a2c9.png

Упражнения для глаз. (1 мин.)

Флеш –ролик «Физминутка»



3. Решение задач на оптимизацию

- Производная функции успешно применяется при решении оптимальных задач в различных сферах деятельности человека.

Задача: Рассмотрим практическую задачу

Прочность балки прямоугольного сечения пропорциональна произведению ее ширины на квадрат высоты. Какое сечение должна иметь балка, вытесанная из цилиндрического бревна радиуса R, когда прочность балки будет наибольшей?

Решаем под руководством учителя

1). Составление математической модели;

2).Работа с моделью;

3).Ответ на вопрос задачи

Итак,

I этап-составим математическую модель

- Какова оптимизирующая величина?





-Давайте ее обозначим.





-Отчего, согласно условию задачи зависит прочность балки?



- Какую величину можем объявить

независимой переменной?





-В каких пределах меняется величина х, если учесть, что осевое сечение представляет собой прямоугольник, вписанный в окружность радиуса R. Как связаны величины х, h, R.

Выразите h .



-Если прочность балки у пропорциональна произведению х h , то каким будет связывающее их равенство?

-Математическая модель составлена

2 этап. Работа с моделью.

- Исследуйте, согласно существующему алгоритму, полученную функцию.









































3 этап. Ответ на вопрос задачи.





-Найдем высоту балки.





-Выясним. Каким же будет отношение высоты к ширине:



-Сформулируйте ответ.





- Следует заметить, что строители-мастера приходят к такому же результату, опираясь на свой опыт, принимают отношение равное1,4, как приближенное значение √2.




  1. Если функция непрерывна на [ а , в ], то она достигает на нём своего наибольшего и своего наименьшего значения.

  2. Наибольшего и наименьшего значений непрерывная функция может достигать как на концах отрезка, так и внутри него.

  3. Если наибольшее (или наименьшее) значение достигается внутри отрезка, то только в стационарной или критической точке.







-Не важен, т.е. нет смысла проверять стационарные точки на экстремум.





































































1. Найти значения функции в точках аи в, т.е. f (а)

и f (в).

2. Найти производную f´(х).

3. Найти стационарные и критические точки функции, лежащие внутри отрезка [а , в].

4. Среди точек, найденных в п.З отобрать принадлежащие отрезку [а ,в]. Вычислить значение функции в отобранных точках. Выбрать среди этих значений наименьшее (это и будет y min) ) и наибольшее (это и будет уmax)











































































Решение.

Предлагаю несколько изменить алгоритм, чтобы решение было более компактным:

      1. у = Зх2 - 6х - 45

      2. Производная существует при всех значениях х, значит, критических точек у функции нет, а стационарных точек найдём из условия у' = 0. Имеем:

Зх2 - 6х - 45 =0; х2 = 2х - 15 =0;

х1 =3, х2 = 5. Рассмотрим условия а),б), в).

а) - 3 € [ - 4, 6 ], 5 €[ - 4, 6 ].

Составим для удобства таблицу вычислим у(-4), у (-3), у (5), у (6)].

х

-4

-3

5

6

у

69

82

-174

-161



таким образом, уmах = 82 (достигается в точке х (достигается в точке х = 5).

б) 5 € [ 0, 6 ]

х

0

5

6

у

1

-174

-161



таким образом,

Уmin = - 174 (при х = 5)

Уmах = 1 (при х = 0)

в) отрезку [- 2,2 ] не принадлежит ни одна из стационарных точек, значения функции в концевых точках: f (-2) = (-2)3 - 3·(- 2)2 - 45 ∙(-2) +1 = 71, f (2) = 23 - 3 · 22 - 45 ·2 + 1 = - 93. В этом случае, ymin = - 93

ymах = 71.



-Ребята самостоятельно выполняют задания.























1.Найдем производную функции:

у´х):

у ´(х) = 4х3 - 6х5, у/(х) = -2х3(2 + Зх2).

2. Решим уравнение у´ (х) = 0. Очевидно, что х = 0 - единственная стандартная точка и она принадлежит интервалу (- 3; 3)

Используя достаточные условия существования экстремума функции исследуем точку х = 0 на экстремум:

у´ + -

х

у -3 0 3



х = 0 - точка максимума данной функции; у (0) = 1 значение функции на интервале (-3; 3).



ТАБЛИЦА

На отрезке [ а,в ]

На интервале (а , в)

1. Найти f (х)

1 .Найти Г(х)

2. Решить уравнение Р(х) = 0

2.Решить уравнение f(x) = 0

3. Провести отбор стандартных (критических)точек

3.Провести отбор стандартных (критических)точек

4. Найти значение функции на концах отрезка [а,в] - f(a), f(e) - и в стационарных (стационарной) и критических точках. Сравнить результаты, сделать вывод.

4.Исследовать характер экстремума, используя достаточные условия существования экстремума. Найти значение функции в точке экстремума и сделать вывод.





















































































Упражнение для глаз выполняем сидя, при ритмичном дыхании, с максимальной амплитудой движения глаз. Не поворачивая головы (голова прямо), делать медленно круговые движения глазами вверх-вправо-вниз-влево и в обратную сторону: вверх-влево-вниз-вправо.





























-Оптимизирующая величина - прочность балки, поскольку в задаче требуется выяснить, когда прочность балки будет наибольшей.



-Пусть оптимизируемая величина будет - у.



- Зависит от ширины и высоты прямоугольника, служащего осевым сечением балки.



-Пусть ширина балки будет независимой переменной, т.е. равна х.

-Заметим, что 0 < х < 2R.hello_html_m69a1e1d8.png

hello_html_m22d03f9e.png

h2 = 4 R2 - х2.







у = kxh2 (к>0 - это коэффициент пропорциональности).

Следовательно, у = к х (4 R2 – х2 ), где х е [0 ; 2π].



hello_html_m7b20de7e.png

hello_html_m26c99a66.png

Сечением балки должен быть прямоугольник, у которого отношение ширины к высоте равно √2.

8.

Подведение итогов урока. Рефлексия.

Обобщение изученного. Вопрос ученику: Вернись к рассматриваемым заданиям. Достиг ли ты цели?



2-3

9



Выходной контроль

- Я надеюсь, что при выполнении контрольного задания вы успешно примените свои знания. Удачи!



15






















Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 12.09.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров1012
Номер материала ДA-040062
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх