Урок в 11 классе по алгебре "Возрастание и убывание функции"

Методическая разработка урока

 по алгебре и началам анализа

по теме «Возрастание и убывание функции»

11 класс

Учитель: Сычевская Л.А.

Цели урока:

1.                        Образовательные:

- повторить определение возрастающей, убывающей функции,

-рассмотреть применение производной к нахождению промежутков возрастания и убывания функций.

2. Развивающие:

–развитие применения модульного обучения при самостоятельном изучении материала

-развитие аналитических способностей

3. Воспитательные:

-воспитание правильной оценки собственной самостоятельной деятельности

-воспитание умения работать индивидуально и в группе, умение слушать, умение отстаивать собственное мнение.

Оборудование:

Интерактивная доска

Ход урока:

1.                        Оргмомент

2.                        Актуализация знаний

       На каждом столе лежит лист с вопросами: необходимо ответить «да» или «нет». Эти же вопросы на экране: 5 минут

	Вопросы	да	нет
1	Функция  y=2x  возрастает на (-∞;∞)	+
2	Функция  y =   возрастает на (-∞; 0)		+
3	Функция y =  убывает на		+
4	Функция y =   возрастает на (0; )	+
5	Функция  y =  возрастает на всей области определения		+

Обсуждение ответов.

3.                        Самостоятельная работа

I.         Учащиеся комментируют решение, проговаривают формулы дифференцирования, а учитель записывает решение на доске.

1.            Найти производную функции:

1)     

2)      

3)     

4)     

5)      

6)           . Найти

4.                        Свойства элементарных функций позволяют нам безошибочно определить промежутки возрастания и убывания. Совсем не так просто с функциями, которые не изучались, с функциями общего вида. Как же можно определить промежутки монотонности для любой функции? На этот вопрос мы постараемся ответить на этом уроке.

2.               На рисунке 1 изображен график функции

 на интервале  (-5; 7). (рис. 1.)

Вопросы:

·         Вспомните определение возрастающей или  убывающей функции на заданном промежутке.

·         Назовите промежутки возрастания функции. Сколько их?

·         Назовите промежутки убывания функции. Сколько их?

II.      Отработка навыков применения теоремы о достаточных условиях возрастания и убывания функции по графику.

1.         На рисунке 2 изображен график производной функции, на интервале (-8; 5).

Вопросы (спроецированы на доске):

·         Что нужно знать, чтобы ответить по этому графику на вопросы, аналогичные предыдущим?

·         Сформулируйте теорему о достаточных условиях возрастания и убывания функции.

·         Как вы понимаете слова достаточные условия на интуитивно-бытовом уровне? Например, для покупки карандаша стоимостью  три рубля пяти рублей достаточно, а двух рублей недостаточно.

·         Кто из математиков сформулировал теорему о достаточных условиях возрастания и убывания функции? Ответ готовили дома: Великий математик Г. Лейбниц (1646-1716). В классе висит его портрет, обратить внимание детей на это. Более подробный материал можно найти на сайте uchitel.ru.

·         Вспомните еще раз теорему о достаточных  условиях возрастания и убывания функции. На рисунке 2 с помощью проектора появится  штриховка при ответе на вопросы.

Вопросы для работы с графиком 2:

1)      Сколько промежутков возрастания?

2)      Назовите и покажите их.

3)      Назовите длину большего промежутка возрастания.

4)      Назовите длину меньшего промежутка убывания.

5)      При каком значении x на отрезке [-3; -1] функция принимает наименьшее значение?

6)      При каком значении x на отрезке [-6; -5] функция принимает наибольшее значение?

7)      Теперь вернемся к графику 1. Назовите точки, в которых f’(x)>0, f'(x)<0. Какую теорему нужно использовать при ответе на данный вопрос?

Теорема1.

«Если функция f(x)  дифференцируема на интервале (a;b)  и  f/(x) >0 для всех  х  (a;b), то функция возрастает на интервале (a;b)».

Теорема2.

«Если функция  f(x)  дифференцируема на интервале  (a;b)  и  f/(x) < 0 для всех  х  (a;b), то функция убывает на интервале (a;b)».

5) Первый тог этапа. Делается вывод, что первой цели мы достигли и выполняется 5 задач на готовых чертежах (в том числе пример №3, ранее казавшийся невыполнимым). (Слайды  14-18):

                     №1. Непрерывная функция y=f(x) задана на [-10;11]. На рисунке изображён график её производной. Укажите количество промежутков возрастания функции.

                     №2. Непрерывная функция y=f(x) задана на (-10;6). На рисунке изображён график её производной. Укажите количество промежутков убывания функции.

                     №3. Непрерывная функция y=f(x) задана на (-6;8). На рисунке изображён график её производной. Укажите длину промежутка убывания этой функции.

                     №4. Непрерывная функция y=f(x) задана на (-4;10). На рисунке изображён график её производной. Опишите последовательно типы монотонностей функции.

По графику функции y=f ´(x) ответьте на вопросы:

Сколько промежутков возрастания у этой функции?

Найдите длину промежутка убывания этой функции.

 Алгоритм.

1.       Указать область определения функции.

2.       Найти производную функции y=f(x).

3.       Определить промежутки, в которых f^/(x) )>0 и  f ^/ (x)<0.

4.       Сделать выводы о монотонности функции.

5) Второй итог этапа:  Делается вывод, что достигнута и вторая цель

6. Первичное закрепление во внешней речи (на доске 3 человека  и в распечатках)

Решение примера по алгоритму  с проговариванием шагов алгоритма (Слайд 20):

Найти промежутки возрастания и убывания функций: а) f(х) = х⁴ - 2х²;

                                                                                             б) f(х) = 3+;  в) f(х) =

а) Решение:

1.       D(f) = R

2.        f^/(x) = 4х³ - 4х,

3.        f^/(x)>0, если 4х³ - 4х >0,  х³ - х >0,  х(х-1)(х+1)>0        

 f^/(x):      -          +           -               +

f(х):      -1            0            1                  х

4.       Функция убывает на промежутках  (-∞;-1)]  и [(0; 1)]

         Функция возрастает на промежутках    [(-1; 0)]  и [(1; + ∞)]  

Исследовательская работа по теме:

«Зависимость монотонности функции от знака её производной»

Указания к работе:

1.     Найдите производную  функции  f(x) =  6х – 2х³ . (График функции задан.)

2.     В этой же системе координат постройте график её производной.

3.     Рассмотрев графики, заполните таблицы  1 и 2 для функции и её производной.

Таблица 1. Промежутки знакопостоянства (в нижней строке используйте знаки + и - )

х
f/(x) =

Таблица 2. Промежутки монотонности (в нижней строке используйте знаки  и )

х
f(x) =  6х – 2х3

4.     Сформулируйте гипотезу о связи знака производной функции с монотонностью функции.

            На промежутках, где f^/(x) > 0 функция _________________________

  На промежутках, где f^/(x) < 0 функция_________________________