Инфоурок Алгебра КонспектыУрок в 11 классе "Равносильность уравнений". Алгебра

Урок в 11 классе "Равносильность уравнений". Алгебра

Скачать материал
Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ otkr urok 11 kl.doc

библиотека
материалов

Урок алгебры в 11 «б» классе по теме:

«Равносильность уравнений» с применением компьютерных технологий

Автор: Ильина Елена Николаевна, учитель математики и физики, первой квалификационной категории.

Учебно-методическое обеспечение. Учебник - Алгебра и начала анализа 10-11

Необходимое оборудование и материалы для занятия: компьютер, мультимедиапроектор, презентационный экран.

Время реализации занятия. 45 минут.

Авторский медиапродукт. Наглядная презентация Презентация из 7 слайдов, (среда: Windows XP, редактор: POWER POINT)

Целесообразность использования медиапродукта на занятии:

-незамедлительная обратная связь между пользователем и информационными технологиями;

- компьютерная визуализация учебной информации об объектах или закономерностях процессов, явлений, как реально протекающих, так и "виртуальных";

- архивное хранение достаточно больших объемов информации с возможностью ее передачи, а также легкого доступа и обращения пользователя к центральному банку данных;

- автоматизация процессов вычислительной информационно - поисковой деятельности, а также обработки результатов учебного эксперимента с возможностью многократного повторения фрагмента или самого эксперимента;

- автоматизация процессов информационно-методического обеспечения, организационного управления учебной деятельностью и контроля за результатами усвоения.

развитие личности обучаемого, подготовка индивида к комфортной жизни в условиях информационного общества:

- развитие мышления, (например, наглядно-действенного, наглядно-образного, интуитивного, творческого, теоретического видов мышления);

- эстетическое воспитание (например, за счет использования возможностей компьютерной графики, технологии Мультимедиа);

- развитие коммуникативных способностей;

- формирование умений принимать оптимальное решение или предлагать варианты решения в сложной ситуации;

- формирование информационной культуры, умений осуществлять обработку информации (например, за счет использования интегрированных пользовательских пакетов, различных графических и музыкальных редакторов).

Цели урока:

Рассмотреть уравнения с самых общих позиций, обобщить полученные ЗУН, а так же расширить и углубить их.


Этапы занятия

Временная реализация

Организация начала урока.

1 минута

Постановка целей урока

2 минуты

Актуализация опорных знаний и объяснение нового материала

27 минут

Физкультминутка.

2 минута

Проверка теоретических знаний

10 минут

Подведение итогов

2 минут

Домашнее задание. Рефлексия.

1 минута

Ход урока:

  1. Организация начала урока.

  2. Постановка целей урока

Что такое равносильные уравнения; когда надо делать проверку найденных корней и как её делать?

Завершая изучение школьного курса алгебры, целесообразно заново переосмыслить общие идеи и методы решения уравнений.

  1. Актуализация опорных знаний и объяснение нового материала

Слайды 1, 2.


hello_html_m65df2ca8.gif hello_html_m570db249.gif


Рассмотрим уравнения х2 – 4=0 и (х+2)(2х-4)=0. Они равносильны, т к имеют по два корня: 2 и -2. Равносильны и уравнения х2+1=0 и √х=-3, т к оба не имеют корней.

Уравнение х-2=3 имеет корень х=5, а уравнение (х-2)2=9 имеет два корня: х1=5 и х2=-1. Значит, второе уравнение является следствием первого.

Слайд 3


hello_html_m30c04f8f.gif


(1)→(2)→(3)→(4)…- схема решения любого уравнения. Производя элементарные преобразования их первого сложного уравнения получают более простое. Решив последнее получим корни первого исходного уравнения, если преобразования были равносильными.

Реализация этого плана связана с поиском ответов на 4 вопроса:

1. Как узнать, является ли переход от одного уравнения к другому равносильным преобразованием?

2. Какие преобразования могут привести данное уравнение в уравнение-следствие?

3. Если мы в конечном итоге решили уравнение-следствие, то как сделать проверку в случае, когда она сопряжена со значительными вычислительными трудностями?

4. В каких случаях при переходе от одного уравнения к другому может произойти потеря корней и как этого не допустить?

Для этого служат теоремы о равносильности уравнений.

Слайд 4.

Первые 3 теоремы – «спокойные», они гарантируют равносильность преобразований без каких-либо дополнительных условий, их использование не причиняет решающему никаких неприятностей.

Следующие 3 теоремы – «беспокойные», они работают лишь при определённых условиях, а значит, могут доставить некоторые неприятности при решении уравнений. Поэтому необходимо находить ОДЗ обеих частей уравнения.


hello_html_142ce3a9.gif


Далее рассмотрим, какие преобразования переводят данное уравнение в уравнение-следствие.

Слайд 5.

hello_html_m538c3fe3.gif


Рассмотрим решение следующих уравнений:

а) х-1=3

б) (х-1)(х-2)=3(х-2)

в) (х-1)2=9

г)ln(2x-4)=ln(3x-5)

Подведём итоги:

Причины расширения области определения уравнения:

1. Освобождение в процессе решения уравнения от знаменателей, содержащих переменную величину.

2. Освобождение в процессе решения уравнения от знаков корней чётной степени.

3. Освобождение в процессе решения уравнения от знаков логарифмов.

Значит:

Если исходное уравнение преобразуется в процессе решения в уравнение-следствие, обязательна проверка всех найденных корней, если:

1. произошло расширение области определения уравнения,

2. осуществлялось возведение обеих частей уравнения в одну и ту же чётную степень,

3. выполнялось умножение обеих частей уравнения на одно и то же выражение с переменной (разумеется, имеющей смысл во всей области определения уравнения).

Например: а) √2х+5 +√5х-6=5

б) ln(x+4) + ln(2x+3)=ln(1-2x)

Слайд 6.


hello_html_62b3b611.gif


Рассмотрим пример, lg x2=4, решим 2-мя способами.

Необходимо помнить: lgx2=2lg׀x׀/

Вывод: применяя при решении уравнения какую-либо формулу, следите за тем, чтобы в области определения для правой и левой частей формулы были одинаковыми.

  1. Физкультминутка.

  2. Проверка теоретических знаний

Фронтальный опрос по основным моментам урока.

  1. Подведение итогов.

Домашнее задание: выучить правила; № 132, 137, 138 стр295 – 296.

Выбранный для просмотра документ Равносильность уравнений.ppt

библиотека
материалов
Равносильность уравнений

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд Равносильность уравнений
Описание слайда:

Равносильность уравнений

2 слайд Определение 1. Два уравнения с одной переменной f(x)=g(x) и p(x)=h(x) называю
Описание слайда:

Определение 1. Два уравнения с одной переменной f(x)=g(x) и p(x)=h(x) называют равносильными, если множества их корней совпадают. Определение 2. Если каждый корень уравнения f(x)=g(x) (1) является в то же время корнем уравнения p(x)=h(x) (2), то уравнение (2) называют следствием уравнения (1). два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого.

3 слайд Решение уравнения осуществляется в 3 этапа: 1 технический. Осуществляют преоб
Описание слайда:

Решение уравнения осуществляется в 3 этапа: 1 технический. Осуществляют преобразования (1)→(2)→(3)→(4)… и находят корни последнего (самого простого) уравнения. 2 анализ решения. Отвечают на вопрос, все ли преобразования были равносильными. 3 проверка. Если анализ на 2 этапе показывает, что некоторые преобразования могли привести к уравнению следствию, то обязательна проверка всех найденных корней подстановкой в исходное уравнение.

4 слайд Теоремы о равносильности уравнений Если какой-либо член уравнения перенести и
Описание слайда:

Теоремы о равносильности уравнений Если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному. Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечётную степень, то получится уравнение, равносильное данному. Показательное уравнение (где а>0, а≠0) равносильно уравнению f(x)=g(x). Определение. Областью определения уравнения f(x)=g(x) или ОДЗ переменной называют множество тех значений переменной x, при которых одновременно имеют смысл выражения f(x) и g(x). 4. Если обе части уравнения f(x)=g(x) умножить на одно и то же выражение h(x), которое: а) имеет смысл всюду в D(f) уравнения f(x)=g(x);б) нигде в этой области не обращается в 0, - то получится уравнение f(x)h(x) =g(x)h(x), равносильное данному. Если обе части уравнения f(x)=g(x) неотрицательны в D(f), то после возведения обеих частей в одну и ту же чётную степень n, получится уравнение равносильное данному: Если f(x)>0 и g(x)>0, то логарифмическое уравнение = , где a>0, a≠1, равносильно уравнению f(x)=g(x) .

5 слайд Преобразование данного уравнения в уравнение- следствие Это связано с последн
Описание слайда:

Преобразование данного уравнения в уравнение- следствие Это связано с последними тремя теоремами, если не проверить выполнение ограничительных условий. Причины расширения D(f) уравнения: Освобождение в процессе решения уравнения от знаменателей, содержащих переменную величину. Освобождение в процессе решения уравнения то знаков корней чётной степени. Освобождение в процессе решения уравнения от знаков логарифмов. Вывод: Если уравнение преобразуется в процессе решения в уравнение-следствие, то обязательна проверка всех найденных корней, если: Произошло расширение D(f) уравнения; Осуществлялось возведение обеих частей уравнения в одну и ту же чётную степень; Выполнялось умножение обеих частей уравнения на одно и то же выражение с переменной ( разумеется, имеющее смысл во всей области определения уравнения).

6 слайд О потере корней Две причины: Деление обеих частей уравнения на одно и то же в
Описание слайда:

О потере корней Две причины: Деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение h(x) (кроме тех случаев, когда точно известно, что всюду в D(f) уравнения выполняется условие h(x)≠0); Сужение ОДЗ в процессе решения уравнения. Как избежать: Приучайте себя переходить от уравнения f(x)h(x) =g(x)h(x) к уравнению h(x)(f(x)-h(x))=0 ( а не к уравнению вида f(x) =g(x)). Применяя при решении уравнения какую-либо формулу, следите за тем, чтобы ОДЗ переменной для левой и правой частей формулы были одинаковыми.

  • Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
    Пожаловаться на материал
Курс профессиональной переподготовки
Учитель математики
Скачать материал
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Общая информация
Скачать материал

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.