Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок в режиме модульной технологии: "Исследование функции на монотонность"

Урок в режиме модульной технологии: "Исследование функции на монотонность"

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m59eec4ae.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m6fcd96d8.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_20e00246.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_ca01bbe.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_7b3781c7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m7d18a674.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_a47f358.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m34201a9a.gifhello_html_1af09227.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_499b7fcf.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_499b7fcf.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_meb7f67d.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_5fcb0c3f.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_7cedb02.gifhello_html_m57347d45.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m42ad1c17.gif

Ход урока


Этапы

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

I. Оргмомент

Приветствует учащихся, проверяем готовность к уроку, наличие на столах оценочных листов и путеводителей

Приветствуют учителя, сообщают о наличии оценочных листов и путеводителей.

II. Целеполагание и мотивация

Объявляет тему. Предлагает сформировать цели урока, прочитав цели учебных блоков. Записывает на доске цели по уровням. Почему важно уметь исследовать функцию на монотонность?

Работают с путеводителем, формируют цели, определяют для себя объём работы на уроке и записывают цели в тетрадь.

III. Актуализация.

Задаёт учащимся вопросы блока № 1.



Обобщаем:

Итак, мы вспомнили правила нахождения производных, геометрический и механический смысл производной. Но производная ещё широко используется для исследования функции, т.е. для изучения различных свойств функций. Так, выполняя задание № 4, мы находили промежутки монотонности по рисунку. А сегодня на уроке мы будем учиться исследовать функцию на монотонность с помощью производной, не выполняя рисунка. В тетради пишем:

Работают устно с учителем, отвечают на вопросы блока № 1.

Слушают.






























IV. Первичное усвоения и осмысление учебного материала. Систематизация и применение знаний и умений, проверка уровня усвоения (см. путеводитель)










1) Напоминаем суть работы с путеводителем, объясняет, что оценка за урок (т.е. за весь модуль) зависит от суммы n набранных баллов по всем учебным блокам.

Если n ≥ 11, то ученик получает оценку " 5 "

при 8 ≤ n ≤ 10 – " 4 "

при 3 ≤ n ≤ 7 – " 3 "

при n < 3 – " 2 ".

2) Консультирует учащихся, координирует их деятельность, по завершении самостоятельных работ демонстрирует ученику эталон ответа (решения)


Слушают.



















Работают с путеводителем, решают задания для сам. работ, заполняют оценочные листы.


V. Рефлексия






Предлагает оценить свою деятельность на уроке, оценку поставить в оценочный лист, предлагает ответить на вопросы блока № 5.

Работают с текстом путеводителя (блок № 5)

VI. Домашнее задание

Предлагает записать домашнее задание в зависимости от допустимых результатов на уроке.

Учащиеся записывают уровневое д/з.


VII. Организованное окончание урока.

Говорит: На этом урок закончен. Спасибо за работу. До свидания.






























Приложение № 1


Оформление записей на доске

4. Начерчен график из блока № 1




















число. Исследование функций на монотонность.

Цели:

I уровень: (запись)





II уровень: (запись)





III уровень: (запись)

1.

а) f(x) = - 7x2 + 3x2



б) f(x) = hello_html_m154423d7.gif



в) f(x) = (4x – 1) (3 – 2x)



г) f(x) = hello_html_m554371ef.gif



д) f(x) = hello_html_m55ec507a.gif cos 4x






на обратной стороне: n ≥ 11 – " 5 "

8 ≤ n ≤ 10 – " 4 "

3 ≤ n ≤ 7 – " 3 "

n < 3 – " 2 "






















Приложение № 2


Оценочный лист учащегося


Фамилия

Имя

Учебные блоки

Количество баллов за основные задания

Количество баллов за корректирующие задания.

Общее количество баллов за этап

1



2



3



4





Итоговое количество баллов


Оценка



Примечание: фамилия и имя в оценочном листе можно не писать, убрав эти строки, если оценочный лист сделан в тетради.




















Путеводитель


Учебный блок № 1

Цель: повторить правила вычисления производной геометрический и механический смысл производной.


Указания учителя:

Поработай устно с учителем. За каждый верно данный тобой ответ поставь в оценочный лист 1 балл


Вопросы.

  1. Найдите производную функции

а) f(x) = - 7x6 + 3x2 г) f(x) = hello_html_m554371ef.gif

б) f(x) = hello_html_m154423d7.gif

в) f(x) = (4x – 1) (3 - 2x) д) f(x) = hello_html_m55ec507a.gif cos 4x


  1. В чём состоит геометрический смысл производной?


  1. В чём состоит механический смысл производной?


  1. По рисунку найдите промежутки монотонности функции и промежутки, где y = 0 и y < 0.

y




1


-11 -7,3 -4,8 -2,5 1 3 6 8,3 x






Учебный блок № 2


Цель: познакомиться с достаточным признаком возрастания (убывания) функция; уметь определять знак производной в указанных точках на заданном рисунке; уметь по заданному алгоритму исследовать простые целые рациональные функции на монотонность.



Указания учителя

Внимательно прочитай данные ниже пояснения.

Рассмотрим рисунок 1.


y


y=f(x)







α

0 a c b x


(рис 1)


Касательная ℓ, проведенная к графику функции y = f(x) образует с положительным направлением оси Ox острый угол α. Тангенс острого угла положителен и мы знаем, что tg α равен значению производной функции в точке касания, т.е. tg α = f '(c) и f '(c) > 0. Точка c лежит внутри интервала (а; в), на котором производная положительна (f '(c) > 0) и функция y = f(x) возрастает (см. рис. 1). Значит можно сформировать достаточный признак возрастания функции:

Если f '(x) > 0 в каждой точке интервала L, то функция f возрастает на L.


Рассмотрим теперь рисунок 2.


y




y= f(x)





α x

0 a c b

(рис 2)

Касательная ℓ, проведённая к графику функции y = f(x) образует c положительным направлением оси Ox тупой угол α. Тангенс тупого угла отрицателен, а т.к. tg α = f '(c), то и f '(c) тоже отрицательно, т.е. f '(с) < 0. Точка c лежит внутри интервала (а; в) на котором производная отрицательна (f '(c) < 0) и функция y = f(x) убывает (см. рис. 2). Значит можно сформировать достаточный признак убывания функции:

Если f '(x) < 0 в каждой точке интервала L, то функция f убывает на L.


Запишите в тетрадь алгоритм исследования функции на монотонность.

  1. Найти область определения функции (D(f))

  2. Найти производную функции f '(x) = 0

  3. Решить уравнение f '(x) = 0

  4. Отметить на оси Ox точки разрыва функции (см. n. 1) и нули производной (см. n. 3)

  5. Определить в каждом промежутке знак производной.

  6. Если производная имеет знак " + ", то функция возрастает (рисуем )

Если производная имеет знак " – ", то функция убывает (рисуем )

  1. Выписать ответ


Пример 1. Определите, какой знак имеет производная функции y = f(x) в точках c абсциссами a, b, c, d, если график функции изображён на заданном рисунке.

Решение:

f '(a) > 0 и f '(b) > 0, т.к. точки a и b лежат на промежутке, где функция возрастает f '(c) < 0, т.к. промежуток, где лежит точка c, это промежуток убывания функции.

f '(d) > 0, т.к. точка d лежит на промежутке возрастания.


y







d x

a b c





Оформление записей в тетради:

f '(a) > 0 f '(c) < 0

f '(b) > 0 f '(d) > 0


Пример 2. Определите промежутки монотонности функции.

y = 5x2 + 15x – 1

Решение:

Работаем по алгоритму.

  1. D(y) = R

  2. y' = (5x2)' + (15x)' – 1' = 10x + 15

  3. y' = 0, 10x + 15 = 0

10x = - 15

x = - 1,5

  1. Здесь точка разрыва нет, т.к. D(y) = R, значит на числовой оси будет только число – 1,5


- + x

- 1.5


  1. y' (- 2) = 10 ∙ (- 2) + 15 = - 20 + 15 = - 5, - 5 < 0

(берём число из левого промежутка и подставляем, во второй пункт т.е. в производную)

y' (o) = 10 ∙ 0 + 15 = 15, 15 > 0

Рисуем стрелки

Т.к. D(y) = R, то выписывая ответ, мы можем число – 1,5 присоединить к промежутку (т.е) сделать скобку квадратной)

Ответ: y убывает при x Є (- ∞; - 1,5]

y возрастает при x Є [- 1,5; + ∞)

Если вы разобрались в примерах 1 и 2 то выполните письменно самостоятельную работу.


Задания для самостоятельной работы (на 10 минут)

I вариант II вариант

1. Определите, какой знак имеет производная функции y = f(x) в точках c абсциссами a, b, c, если график функции изображён на заданном рисунке. (1 балл)


y y








b x x

a 0 c a d 0 c



  1. Определите промежутки монотонности функции. (2 балла)

y = x2 – 5x + 4 y = - x2 + 8x – 7


Указания учителя: если вы выполнили работу, то поднимите руку и попросите правильные ответы у учителя. Проставьте заработанные баллы в оценочный лист в графу "Основные задания".

Если вы набрали в этом блоке 3 балла. То переходите к следующему блоку, если же меньше, то прорешайте, соответствующее задание другого варианта и проставьте баллы в графу "Корректирующие задания".


Учебный блок № 3

Вы прошли I уровень усвоения материала.


Цель: определять по графику производной промежутки монотонности функции; применять алгоритм нахождения промежутков монотонности функции для дробно-рациональных функций, для функции которые только, возрастают на области определения или только убывают.


Указания учителя

Прочитайте и разберитесь в данных ниже примерах.


Пример 1. По графику производной, изображенному на заданном рисунке, определите, на каких промежутках функция y = f(x) возрастает, а на каких убывает.

y






1

-5 2,5 x

1



y= f΄(x)


Решение:

Мы знаем, что если f '(x) > 0, то функция возрастает, а если f '(x) < 0, то функция убывает.

На рисунке f '(x) > 0 при x Є (- 5; 2,5) (именно на этом промежутке график производной выше оси Ox, т.е. производная принимает положительные значения). Значит на этом промежутке (- 5; 2,5) функция будет возрастать.

f '(x) < при x Є (- ∞; - 5) и при x Є (2,5; + ∞) (график ниже оси Ox) значит на этих промежутках функция будет убывать


Оформление записей в тетради.

f '(x) > 0 при x Є (- 5; 2,5) => f(x) – возр. при x Є (- 5; 2,5)

f '(x) < 0 при x Є (- ∞; - 5) и при x Є (2,5; + ∞) => f(x) – убывает при x Є (- ∞; - 5) и

при x Є (2,5; + ∞)

Примечание: если функция непрерывна, то числа можно присоединить к промежуткам (скобки у чисел сделать квадратными).

всех точках открытого промежутка x производная принимает лишь п

Теорема 1. Если во оложительные значения (f '(x)) то функция y = f(x) возрастает на x

Равенство f '(x) = 0 может выполняться в отдельных точках и не выполняться ни на каком сплошном промежутке.

Теорема 2. Если во всех точках открытого промежутка x производная принимает лишь отрицательные значения, то функция y = f(x) убывает на x


Пример 2. Докажите, что функция возрастает на всей числовой прямой.

а) y = x5 + 3x3 + 7x + 4 б) y = 2xcos x + 8


Решение.

а) x2 + 3x3 + 7x + 4

D(y) = R

y' = (x5)' + (3x3)' + (7x)' + 4' = 5x4 + 9x2 +7

Очевидно, что для любого x

5x4 + 9x2 + 7 > 0 (сумма чётных степеней и положительного числа 7)

а если f '(x) > 0, то функция возрастает

Ответ: y возр. на R.

б) y = 2x – cos x + 8

D(y) = R

y' = (2x)' – (cos x)' + 8' = 2 + sin x

Значения функции y = sin x – это отрезок [-1; 1]. Самое маленькое значение v – 1, к нему прибавим 2, получим 1, 1 > 0 значит производная y' = 2 + sin x принимает лишь положительные значения и значит функция возрастает на R.

Ответ: y возрастает на R.

Пример 3. Исследовать функцию на монотонность.

f(x) = hello_html_m796d5b75.gif

Решение: работаем по алгоритму.

  1. D(f) = (- ∞; 0) hello_html_m6e36ddee.gif (0; + ∞)

  2. f '(x) = hello_html_449a8403.gif


  1. f '(x) = 0, hello_html_54bfa725.gif ∙ x2, x2 ≠ 0


x2 – 36 = 0

x2 = 36

x = ± 6



+ - - + x

-6 0 6


Здесь число 0 – это выколотая точка, т.к. это точка разрыва функции. В остальных же точках функция непрерывна, поэтому – 6 и 6 – закрашенные.

  1. f '(- 7) = hello_html_m792b3398.gif > 0

f '( - 1) =hello_html_m651963f4.gif < 0

f '(1) = hello_html_65dafa51.gif < 0

f '(7) = hello_html_3220de88.gif > 0


Ответ: f(x) возр., при x Є (- ∞; - 6] и при x Є [ 6; + ∞)

f(x) уб., при x Є [- 6; 0) и при x (0; 6]

Если вы разобрались в примерах 1 -3, то выполните письменно самостоятельную работу.


Задание для самостоятельной работы (15 – 20 минут)

I вариант II вариант

1. По графику производной изображённому на заданном рисунке, определите, на каких промежутках функция y = f(x) возрастает, а на каких убывает (2 балла)


y y

y= f΄(x) y= f΄(x)



1 1


1 1





2. Докажите, что функция возрастает 2. Докажите, что функция убывает

на всей числовой прямой. на всей числовой прямой.

y = cos x + 3x + 10 y = sin x – 2x – 15

(2 балла) (2 балла)


  1. Исследуйте функцию на монотонность


f(x) = hello_html_m19f508c2.gif f(x) = hello_html_m3a3a75ce.gif

(3 балла) (3 балла)


Подсказки: 1. Решайте аналогично примеру 1.

2. 1 вариант – решайте аналогично примеру 2.

2 вариант – найдите производную, путём рассуждений докажите, что y < 0 при всех x. Область значений функции y = cos x также отрезок [- 1; 1]

3. Решайте аналогично примеру 3.


Указания учителя.

Проверьте и оцените свою работу, правильные ответы возьмите у учителя. Исправьте ошибки, если они есть проставьте набранное количество баллов в оценочные листы.

Если вы набрали 7 баллов, то переходите к следующему блоку, если же меньше, то решайте задания другого варианта, аналогичное тому, в котором ошиблись.


Учебный блок № 4

Молодцы! Вы освоили решение заданий II уровня сложности.

Целью дальнейшей вашей работы будет применение своих знаний и умений в более сложных (нестандартных ситуациях)


Задание для самостоятельной работы

  1. Исследуйте функцию на возрастание (убывание)

f(x) = x2 ∙ (x – 6)2 (2 балла)


  1. Исследуйте функцию на монотонность

f(x) = hello_html_6e00a1b5.gif – x (3 балла)


  1. Исследуйте функцию на монотонность и постройте её график

y = x4 – 2x2 + 1 (3 балла)


Подсказки:

  1. Раскройте квадрат разности по формуле (ab)2 = a2 – 2ab + b2 затем представьте функцию f(x), в виде многочисла и работайте по алгоритму.

  2. 1) Область определения функции найди с помощью таблицы из справочника.

2) При нахождении производной помни, что здесь сложная функция.

  1. Исследуйте функцию по алгоритму. А построение выполняйте по точкам, заполнив таблицу.


Указания учителя.

Проверьте и оцените свои работы. Исправьте ошибки, если они есть, подсчитайте количество баллов, проставьте баллы в оценочный лист. Оцените свои работы в соответствии с суммой набранных баллов за весь урок.


Учебный блок № 5

Цель: Оценить результаты своей деятельности.

Указания учителя.

Ответьте устно на вопросы:

  • Что вы узнали на уроке?

  • Чему научились?

  • Что получилось хорошо и отлично?

  • Что нужно сделать, чтобы повысить результат? (ответ на этот вопрос запишите)

Запишите домашнее задание.

  1. если вы заработали на уроке оценку " 5 ", то выполните дома

283 (г), № 285 (а; г) с.142.

  1. если вы получили оценку " 4 ", то сделайте дома

281 (а), № 280 (в) с. 142

  1. если у вас оценка " 3 " или " 2 ", то решайте дома

279 (б; г) с. 142





















Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 15.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров220
Номер материала ДВ-066345
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх