Урок в режиме модульной технологии: "Исследование функции на монотонность"

Ход урока

Этапы	Деятельность учителя	Деятельность учащихся
I. Оргмомент	Приветствует учащихся, проверяем готовность к уроку, наличие на столах оценочных листов и путеводителей	Приветствуют учителя, сообщают о наличии оценочных листов и путеводителей.
II. Целеполагание и мотивация	Объявляет тему. Предлагает сформировать цели урока, прочитав цели учебных блоков. Записывает на доске цели по уровням. Почему важно уметь исследовать функцию на монотонность?	Работают с путеводителем, формируют цели, определяют для себя объём работы на уроке и записывают цели в тетрадь.
III. Актуализация.	Задаёт учащимся вопросы блока № 1. Обобщаем: Итак, мы вспомнили правила нахождения производных, геометрический и механический смысл производной. Но производная ещё широко используется для исследования функции, т.е. для изучения различных свойств функций. Так, выполняя задание № 4, мы находили промежутки монотонности по рисунку. А сегодня на уроке мы будем учиться исследовать функцию на монотонность с помощью производной, не выполняя рисунка. В тетради пишем:	Работают устно с учителем, отвечают на вопросы блока № 1. Слушают.
IV. Первичное усвоения и осмысление учебного материала. Систематизация и применение знаний и умений, проверка уровня усвоения (см. путеводитель)	1) Напоминаем суть работы с путеводителем, объясняет, что оценка за урок (т.е. за весь модуль) зависит от суммы n набранных баллов по всем учебным блокам. Если n ≥ 11, то ученик получает оценку " 5 " при 8 ≤ n ≤ 10 – " 4 " при 3 ≤ n ≤ 7 – " 3 " при n < 3 – " 2 ". 2) Консультирует учащихся, координирует их деятельность, по завершении самостоятельных работ демонстрирует ученику эталон ответа (решения)	Слушают. Работают с путеводителем, решают задания для сам. работ, заполняют оценочные листы.
V. Рефлексия	Предлагает оценить свою деятельность на уроке, оценку поставить в оценочный лист, предлагает ответить на вопросы блока № 5.	Работают с текстом путеводителя (блок № 5)
VI. Домашнее задание	Предлагает записать домашнее задание в зависимости от допустимых результатов на уроке.	Учащиеся записывают уровневое д/з.
VII. Организованное окончание урока.	Говорит: На этом урок закончен. Спасибо за работу. До свидания.

Приложение № 1

Оформление записей на доске

4. Начерчен график из блока № 1

число. Исследование функций на монотонность. Цели: I уровень: (запись) II уровень: (запись) III уровень: (запись)

1. а) f(x) = - 7x2 + 3x2 б) f(x) = в) f(x) = (4x – 1) (3 – 2x) г) f(x) = д) f(x) =  cos 4x

на обратной стороне:    n ≥ 11 – " 5 "

                                      8 ≤ n ≤ 10 – " 4 "

                                      3 ≤ n ≤ 7 – " 3 "

                                      n < 3 – " 2 "

Приложение № 2

Оценочный лист учащегося

Фамилия
Имя
Учебные блоки	Количество баллов за основные задания	Количество баллов за корректирующие задания.	Общее количество баллов за этап
№ 1 № 2 № 3 №4
Итоговое количество баллов
Оценка

Примечание: фамилия и имя в оценочном листе можно не писать, убрав эти строки, если оценочный лист сделан в тетради.

Путеводитель

Учебный блок № 1

Цель: повторить правила вычисления производной геометрический и механический смысл производной.

Указания учителя:

Поработай устно с учителем. За каждый верно данный тобой ответ поставь в оценочный лист 1 балл

Вопросы.

1.     Найдите производную функции

а)      f(x) = - 7x⁶ + 3x²                               г) f(x) =

б) f(x) =

в)      f(x) = (4x – 1) (3 - 2x)                       д) f(x) =  cos 4x

2.     В чём состоит геометрический смысл производной?

3.     В чём состоит механический смысл производной?

4.     По рисунку найдите промежутки монотонности функции и промежутки, где y = 0 и y < 0.

                                                                       y

 

                                                                         1

 

           -11      -7,3         -4,8        -2,5                1    3            6          8,3              x

Учебный блок № 2

Цель:          познакомиться с достаточным признаком возрастания (убывания) функция; уметь определять знак производной в указанных точках на заданном рисунке; уметь по заданному алгоритму исследовать простые целые рациональные функции на монотонность.

Указания учителя

Внимательно прочитай данные ниже пояснения.

Рассмотрим рисунок 1.

 

                y

                                      y=f(x)                  ℓ

 

                                    α

                 0         a                  c          b                                    x

                                        (рис 1)

Касательная ℓ, проведенная к графику функции y = f(x) образует с положительным направлением оси Ox    острый угол α. Тангенс острого угла положителен  и мы знаем, что tg α равен значению производной функции в точке касания, т.е. tg α = f '(c) и f '(c) > 0. Точка c  лежит внутри интервала (а; в), на котором производная положительна (f '(c) > 0) и  функция y = f(x) возрастает (см. рис. 1). Значит можно сформировать достаточный признак возрастания функции:

Если f '(x) > 0 в каждой точке интервала L, то функция f возрастает на L.

Рассмотрим теперь рисунок 2.

 

                       y

 

   ℓ

                                                          y= f(x)

 

                                                                                                  α        x

                         0        a                         c                             b

                                      (рис 2)

Касательная ℓ, проведённая к графику функции y = f(x) образует c положительным направлением оси Ox тупой угол α. Тангенс  тупого угла отрицателен, а т.к. tg α = f '(c), то и f '(c) тоже отрицательно, т.е. f '(с) < 0. Точка c лежит внутри интервала (а; в) на котором производная отрицательна (f '(c) < 0) и функция y = f(x) убывает  (см. рис. 2). Значит можно сформировать достаточный признак убывания функции:

Если  f '(x) < 0 в каждой точке интервала L, то функция f убывает на L.

Запишите в тетрадь алгоритм исследования функции на монотонность.

1.     Найти область определения функции (D(f))

2.     Найти производную функции f '(x) = 0

3.     Решить уравнение f '(x) = 0

4.     Отметить на оси Ox точки разрыва функции (см. n. 1) и нули производной (см. n. 3)

5.     Определить в каждом промежутке знак производной.

6.     Если производная имеет знак " + ", то функция возрастает (рисуем       )

Если производная имеет знак " – ", то функция убывает (рисуем       )

7.     Выписать ответ

Пример 1. Определите, какой знак имеет производная функции y = f(x) в точках c  абсциссами a, b, c, d, если график функции изображён на заданном рисунке.

Решение:

f '(a) > 0 и f '(b) > 0, т.к. точки a и b лежат  на промежутке, где  функция  возрастает f '(c) < 0, т.к. промежуток, где лежит точка c, это промежуток убывания функции.

f '(d) > 0, т.к. точка d лежит на промежутке возрастания.

 

                                       y

 

                                                                                             d             x

                   a                              b            c

Оформление записей в тетради:

         f '(a) > 0               f '(c) < 0

         f '(b) > 0               f '(d) > 0

Пример 2. Определите промежутки монотонности функции.

                   y = 5x² + 15x – 1

 Решение:

Работаем по алгоритму.

1.     D(y) = R

2.     y' = (5x²)' + (15x)' – 1' = 10x + 15

3.     y' = 0,         10x + 15 = 0

10x = - 15

x = - 1,5

4.     Здесь точка разрыва нет, т.к. D(y) = R, значит на числовой оси будет только число – 1,5

               -                       +                   x      

                        - 1.5

5.     y' (- 2) = 10 ∙ (- 2) + 15 = - 20 + 15 = - 5, - 5 < 0

(берём число из левого промежутка и подставляем, во второй пункт т.е. в производную)

         y' (o) = 10 ∙ 0 + 15 = 15, 15 > 0

         Рисуем стрелки

         Т.к. D(y) = R, то выписывая ответ, мы можем число – 1,5 присоединить к промежутку (т.е) сделать скобку квадратной)

         Ответ:         y убывает при x Є (- ∞; - 1,5]

                            y возрастает при x Є [- 1,5; + ∞)

Если вы разобрались в примерах 1 и 2 то выполните письменно самостоятельную работу.

Задания для самостоятельной работы (на 10 минут)

                   I вариант                                                   II вариант

1. Определите, какой знак имеет производная функции y = f(x) в точках c абсциссами a, b, c, если график функции изображён на заданном рисунке. (1 балл)

                        y                                                                               y

 

                 b                                    x                                                                                 x

 a                       0                    c                                    a                d    0        c            

1.     Определите промежутки монотонности функции. (2 балла)

y = x² – 5x + 4                                            y = - x² + 8x – 7

Указания учителя: если вы выполнили работу, то поднимите руку и попросите правильные ответы у учителя. Проставьте заработанные баллы в оценочный лист в графу "Основные задания".

Если вы набрали в этом блоке 3 балла. То переходите к следующему блоку, если же меньше, то прорешайте, соответствующее задание другого варианта и проставьте баллы в графу "Корректирующие задания".

Учебный блок № 3

Вы прошли I уровень усвоения материала.

Цель:          определять по графику производной промежутки монотонности функции;  применять алгоритм нахождения промежутков монотонности функции для дробно-рациональных функций, для функции которые только, возрастают на области определения или только убывают.

Указания учителя

Прочитайте и разберитесь в данных ниже примерах.

Пример 1. По графику производной, изображенному на заданном рисунке, определите, на каких промежутках функция y = f(x) возрастает, а на каких убывает.

                                  y

 

                                          1

             -5                                       2,5                              x

                                                1

                                                                          y= f΄(x)

Решение:

Мы знаем, что если f '(x) > 0, то функция возрастает, а если f '(x) < 0, то функция убывает.

На рисунке f '(x) > 0 при x Є (- 5; 2,5) (именно на этом промежутке график производной выше оси Ox, т.е. производная принимает положительные значения). Значит на этом промежутке (- 5; 2,5) функция будет возрастать.

f '(x) < при  x Є (- ∞; - 5) и при x Є (2,5; + ∞) (график ниже оси Ox) значит на этих промежутках функция будет убывать

Оформление записей в тетради.

f '(x) > 0 при x Є (- 5; 2,5) => f(x) – возр. при x Є (- 5; 2,5)

f '(x) < 0 при x Є (- ∞; - 5) и при x Є (2,5; + ∞) => f(x) – убывает при x Є (- ∞; - 5) и

                                                                                                        при x Є (2,5; + ∞)

Примечание:       если функция непрерывна, то  числа можно присоединить к промежуткам (скобки у чисел сделать квадратными).

всех точках открытого промежутка x производная принимает лишь п

Теорема 1. Если во оложительные значения (f '(x)) то функция y = f(x) возрастает на x

Равенство f '(x) = 0 может выполняться в отдельных точках и не выполняться ни на каком сплошном промежутке.

Теорема 2. Если во всех точках открытого промежутка x  производная принимает лишь отрицательные значения, то функция y = f(x) убывает на x

Пример 2. Докажите, что функция возрастает на всей числовой прямой.

а) y = x⁵ + 3x³ + 7x + 4                     б) y = 2x – cos x + 8

Решение.

а) x² + 3x³ + 7x + 4

D(y) = R

y' = (x⁵)' + (3x³)' + (7x)' + 4' = 5x⁴ + 9x² +7

Очевидно, что  для любого x

5x⁴ + 9x² + 7 > 0 (сумма чётных степеней и положительного числа 7)

а если f '(x) > 0, то функция возрастает

                   Ответ: y возр. на R.

б) y = 2x – cos x + 8

D(y) = R

y' = (2x)' – (cos x)' + 8' = 2 + sin x

Значения функции y = sin x – это отрезок [-1; 1]. Самое маленькое значение v – 1, к нему прибавим 2, получим 1, 1 > 0 значит производная y' = 2 + sin x принимает лишь положительные значения и значит функция возрастает на R.

                   Ответ: y возрастает на R.

Пример 3. Исследовать функцию на монотонность.

f(x) =

Решение: работаем по алгоритму.

1.     D(f) = (- ∞; 0)  (0; + ∞)

2.     f '(x) =

3.     f '(x) = 0,          ∙ x², x² ≠ 0

x² – 36 = 0

x² = 36

x = ± 6

4.                           

                 +               -                 -                  +       x

                       -6                 0                   6

Здесь  число 0 – это выколотая точка, т.к. это точка разрыва функции. В остальных же точках функция непрерывна, поэтому – 6 и 6 – закрашенные.

5.     f '(- 7) =  > 0

f '( - 1) = < 0

f '(1) =  < 0

f '(7) =  > 0

Ответ: f(x) возр., при x Є (- ∞; - 6] и при x Є [ 6; + ∞)

                      f(x) уб., при x Є [- 6; 0) и при x (0; 6]

Если вы разобрались в примерах 1 -3, то выполните письменно самостоятельную работу.

Задание для самостоятельной работы (15 – 20 минут)

                      I вариант                                                    II вариант

1. По графику производной изображённому на заданном рисунке, определите, на каких промежутках функция y = f(x) возрастает, а на каких убывает (2 балла)

 

                     y                                                                                      y

y= f΄(x)                                                                              y= f΄(x)

 

                              1                                                                                     1

 

                               1                                                                                      1

2. Докажите, что функция возрастает         2. Докажите, что функция убывает

на всей числовой прямой.                            на всей числовой прямой.

y = cos x + 3x + 10                                         y = sin x – 2x – 15

(2 балла)                                                         (2 балла)

2.     Исследуйте функцию на монотонность

 

              f(x) =                                                    f(x) =

               (3 балла)                                                             (3 балла)

Подсказки: 1. Решайте аналогично примеру 1.

2. 1 вариант – решайте аналогично примеру 2.

    2 вариант – найдите производную, путём рассуждений докажите, что y < 0 при всех x. Область значений функции y = cos x также отрезок [- 1; 1]

3. Решайте аналогично примеру 3.

Указания учителя.

Проверьте и оцените свою работу, правильные ответы возьмите у учителя. Исправьте ошибки, если они есть проставьте набранное количество баллов в оценочные листы.

Если вы набрали 7 баллов, то переходите к следующему блоку, если же меньше, то решайте задания другого варианта, аналогичное тому, в котором ошиблись.

Учебный блок № 4

Молодцы! Вы освоили решение заданий II уровня сложности.

Целью дальнейшей вашей работы будет применение своих знаний и умений в более сложных (нестандартных ситуациях)

Задание для самостоятельной работы

1.     Исследуйте функцию на возрастание (убывание)

f(x) = x² ∙ (x – 6)²              (2 балла)

2.     Исследуйте функцию на монотонность

f(x) =  – x               (3 балла)

3.     Исследуйте функцию на монотонность и постройте её график

y = x⁴ – 2x² + 1                  (3 балла)

Подсказки:

1.     Раскройте квадрат разности по формуле (a – b)² = a² – 2ab + b² затем представьте функцию f(x), в виде многочисла  и работайте по алгоритму.

2.     1) Область определения функции найди с помощью таблицы из справочника.

2) При нахождении производной помни, что здесь сложная функция.

3.     Исследуйте функцию по алгоритму. А построение выполняйте по точкам, заполнив таблицу.

Указания учителя.

Проверьте и оцените свои работы. Исправьте ошибки, если они есть, подсчитайте количество баллов, проставьте баллы в оценочный лист. Оцените свои работы в соответствии с суммой набранных баллов за весь урок.

Учебный блок № 5

Цель: Оценить результаты своей деятельности.

Указания учителя.

Ответьте устно на вопросы:

-       Что вы узнали на уроке?

-       Чему научились?

-       Что получилось хорошо и отлично?

-       Что нужно сделать, чтобы повысить результат? (ответ на этот вопрос запишите)

Запишите домашнее задание.

1)    если вы заработали на уроке оценку " 5 ", то выполните дома

№ 283 (г), № 285 (а; г) с.142.

2)    если вы получили оценку " 4 ", то сделайте дома

№ 281 (а), № 280 (в) с. 142

3)    если у вас оценка " 3 " или " 2 ", то решайте дома

№279 (б; г) с. 142