Урок. Дорогу осилит идущий

МКОУ ООШ № 20

Урок математики

в 9   классе

                                                                               Подготовила

                                                                                              учитель математики

                                                                                      Поминова С. С.

2013 год

Класс: 9.

Тема: Дорогу осилит идущий, а математику – мыслящий.

Цель: повторение материала, изученного за год, для подготовки к государственной итоговой аттестации.

Задачи:

- систематизация полученных знаний;

- активизация поисковой деятельности учащихся;

- развитие вычислительных навыков;

- воспитание коллективной работы;

- формирование базовых основ знаний;

- расширение кругозора учащихся.

Метод: урок – повторение.

Форма: групповая.

Ход урока.

I. Орг. момент.

Почему торжественность вокруг ?

Слышите,  как быстро смолк шумок?

Это о царице всех наук

Начинаем мы урок.

ГИА… Всё чаще и чаще вы слышите эту абривиатуру. Государственная итоговая аттестация. Что это? Это экзамен. И сегодня мы с вами продолжим готовится к нашему экзамену.

II.Устный счёт.

А начнём мы с небольшой разминки.

1) Верно ли утверждение: «Около любой трапеции можно описать окружность»? (Нет)

2) Верно ли утверждение: «Около любого правильного многоугольника можно описать окружность»?  (Да)

3) Верно ли утверждение: «Центром окружности, вписанной в четырёхугольник, является точка пересечения его диагоналей»?  (Нет)

4) В таблице приведён норматив по бегу на 500 метров для учащихся 7 классов. Какую отметку получит мальчик, пробежавший эту дистанцию за 2 минуты 16 секунд?

1) «5»       2) «4»      3) «3»       4) норматив не выполнен

Ответ: 2.

5) На рисунке показано, как изменялась температура воздуха на протяжении одних суток. ПО горизонтали указано время суток, по вертикали – значение температуры в градусах Цельсия. Найдите наибольшее значение температуры.

6) На диаграмме показано распределение питательных веществ в сгущенном молоке. Определите по диаграмме, содержание каких веществ превосходит 50%.

1) жиры      2) белки     3) углеводы     4) прочее

7)   ромб

8) диагональ

9)  Пифагор

10)  стереометрия

III. Решение задач.

Вы заранее разделены на группы, которые имели каждая своё задание. Сейчас мы начинаем работу по повторению некоторых задач. Для начала мы вспомним с вами числовую прямую и сравнение чисел с помощью неё.

Историк. Древний Египет, Вавилон и Древняя Греция не использовали отрицательных чисел, а если получались отрицательные корни уравнений (при вычитании), они отвергались как невозможные. Исключение составлял Диофант, который в III веке уже знал правило знаков и умел умножать отрицательные числа. Однако он рассматривал их лишь как промежуточный этап, полезный для вычисления окончательного, положительного результата. Отрицательные числа появились значительно позже натуральных чисел и обыкновенных дробей. Первые сведения об отрицательных числах встречаются у китайских математиков во II в. до н. э. Положительные числа тогда толковались как имущество, а отрицательные – как долг, недостача. Но ни египтяне, ни вавилоняне, ни древние греки отрицательных чисел не знали. Лишь в VII в. индийские математики начали широко использовать отрицательные числа, но относились к ним с некоторым недоверием. В Европе отрицательными числами начали пользоваться с XII–XIII вв., но до XVI в., как и в древности, они понимались как долги, большинство ученых считали их “ложными”, в отличие от положительных чисел – “истинных”. Признанию отрицательных чисел способствовали работы французского математика, физика и философа Ренё Декарта. Он предложил геометрическое истолкование положительных и отрицательных чисел – ввел координатную прямую. Складывать и вычитать отрицательные числа научились древнекитайские ученые еще до нашей эры. Индийские математики представляли себе положительные числа как, “имущества”, а отрицательные числа как “долги”. Вот как индийский математик Брахмагупта излагал правила сложения и вычитания: “Сумма двух имуществ есть имущество”, “сумма двух долгов есть долг”, “сумма имущества и долга равна их разности” и т. д.

Культ. сектор. Я мыслю, значит существую.

                           А если новых мыслей нет,

                           То значит, я живу впустую.

                           Вот, древней мудрости, ответ.

Учёный. Чтобы успешно решить данную задачу, вам необходимо вспомнить следующие правила:

1) «+»×или : «-»= «-»        2) «+» × или : «+» = «+»       3) «-» × или : «-»= «+»

4) «-» + «-» = «-»               5) = «+»      

6) при сложении чисел с разными знаками от большего отнимаем меньшее, а знак оставляем большего

7) правильная дробь меньше единицы

8) неправильная дробь больше единицы

9) число в чётной степени – положительно, а в нечётной отрицательно

Практика. Решают задание по группам.

1 группа. На числовой прямой отмечены числа a и b. Укажите номер верного утверждения.

1) a³˃0       2) ab˃1        3) a²+b²˃0         4)  

2 группа. На числовой прямой отмечены числа a, b, c. Укажите номер верного утверждения.

1) b+c˂a         2)           3) a²˃b       4) b²˃1

3 группа. На числовой прямой отмечены числа a и b. Укажите номер верного утверждения.

1) a-b˃0         2) ab˃0          3)        4) a²+b²˂1

Ответы: 1 группа: 3, 2 группа: 4, 3 группа: 3.

Ну а теперь поговорим об уравнениях. Данная задача имеет номер 4 в модуле «Алгебра».

Историк. Алгебра как искусство решать уравнения зародились очень давно в связи с потребностью практики, в результате поиска общих приёмов решения однотипных задач. Самые ранние дошедшие до нас рукописи свидетельствуют о том, что в Древнем Вавилоне и Древнем Египте были известны приёмы решения линейных уравнений. Слово "алгебра" возникло после появления тракта "Китаб аль-джебр валь-мукабала" хорезмского математика и астронома Мухамеда Бен Муса аль Хорезми. Термин "аль-джерб", взятый из названия этой книги, в дальнейшем стал употребляться как алгебра.

Знак равенства ввел в 1556 году английский математик Рекорд, который объяснил это так, что ничто не может быть более равным, чем два параллельных отрезка.

Создателем современной буквенной символики является французский математик Франсуа Виет (1540 – 1603). До XVI в. изложение алгебры велось в основном словесно. Буквенные обозначения и математические знаки появлялись постепенно. Знаки + - впервые встречаются у немецких алгебраистов XVI в. Несколько позже вводится знак × для умножения. Знак деления (:) был введён лишь в XVII в. Решительный шаг в использовании алгебраической символики был сделан в XVI в., когда французский математик Франсуа Виет (1540-1603) и его современники стали применять буквы для обозначения не только неизвестных (что делалось и ранее), но и любых чисел. Однако эта символика ещё отличалась от современной. Так, Виет для обозначения Неизвестного числа применял букву N (Numerus-число), для квадрата и куба неизвестного буквы Q (Quadratus - квадрат) и C (Cubus - куб). Например, запись уравнения  x³-8x²+16x=40 у Виета выглядела бы так: 1C-8Q+16N aequ. 40 (aequali - равно). Виет свободно применяет разнообразные алгебраические преобразование — например, замену переменных или смену знака выражения при переносе его в другую часть уравнения. Диофант (не ранее III века н.э.) – единственный известный нам древнегреческий математик, который занимался алгеброй. Он решал различные уравнения, особое внимание уделял неопределенным уравнениям, теория которых называется теперь «диофантовым анализом».У Диофанта была попытка ввести буквенную символику буквенную символику. Нильс Хенрик Абель (1802 – 1829) внес важный вклад в теорию уравнений. «Абель оставил математикам столь богатое наследие, что им будет, чем заниматься в ближайшие 150 лет» (Шарль Эрмит).

Культ. сектор. По праву достойно в стихах быть воспета

                          О свойствах корней теорема Виета.

                          Что лучше, скажи, постоянства такого:

                          Умножишь ты корни—и дробь уж готова:

                          В числителе с,  в знаменателе а,

                          А сумма корней тоже дроби равна.

                          Хоть с минусом дробь—это что за беда-

                          В числителе в, в знаменателе а.

Учёный. Для решения уравнений используем следующие правила:

1) раскрываем скобки

2) неизвестные переменные переносим влево, известные – вправо, при переносе через знак «=» знак меняем на противоположный

3) формулы сокращённого умножения (a±b)²=a²±2ab+b², (a-b)(a+b)=a²-b²

4) D=b²-4ac,   x=

Практика. Решить уравнение.

1группа: 3x²-x-2=0

2 группа: 4x²+6x-2=(x-1)²

3 группа: (x+8)²=(x+3)²

Ответы:  3x²-x-2=0              4x²+6x-2=(x-1)²                      (x+8)²=(x+3)²

                D=1+24=25           4x²+6x-2=x²-2x+1           x²+16x+64=x²+6x+9

                x₁=          3x²+8x-3=0                     10x+55=0

                x₂= 1             D=64+36=100                 10x=-55

                ; 1                     x₁=  -3                 x=-55:10

                                               x₂=                   x=- 5,5                                     

IV. Физминутка.

Нужно повторить модель из предложенных деталей.

V. Решение задач.

Историк. О прогрессиях и их суммах знали древнегреческие ученые. Так, им были известны формулы n первых чисел последовательности натуральных, четных и нечетных чисел. Архимед (3 век до н. э.) для нахождения площадей и объемов фигур применял “атомистический метод”, для чего ему потребовалось находить суммы членов некоторых последовательностей. Он вывел формулу суммы квадратов натуральных чисел и показал, как найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Отдельные факты об арифметической и геометрической прогрессиях знали китайские и индийские ученые. Об этом говорит, например, известная индийская легенда об изобретателе шахмат.

В древней индии шах Шерам посулил любую награду за интересную игру, к которой он долгой время не потерял бы интерес. Ученый Сета изобрел шахматы и попросил в награду за свое изобретение столько пшеничных зерен, сколько их получится, если на первую клетку шахматной доски положить одно зерно, на вторую – в 2 раза больше, т. е. 2 зерна, на третью – еще в 2 раза больше, т. е. 4 зерна, и т. д. до 64 клетки. К ужасу шаха он не мог выполнить пожелание ученого. Число зерен, о которых идет речь, является суммой шестидесяти четырех членной геометрической прогрессии, первый член которой равен 1, а знаменатель равен 2. Вот это число: 18 446 744 073 709 551 615. Такое количество зерен пшеницы можно собрать лишь с урожая планеты, поверхность которой примерно в 2000 раз больше поверхности Земли. Термин “прогрессия” был введен римским автором Боэцием (в 6 веке) и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность. Названия “арифметическая” и “геометрическая” были перенесены из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки. Формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим ученым Диофантом (в 3 веке). Формула суммы членов геометрической прогрессии дана в книге Евклида “Начала” (3 век до н.э.) Известна интересная история о знаменитом немецком математике К. Гауссе (1777 – 1855), который в детстве обнаружил выдающиеся способности к математике. Учитель предложил учащимся сложить все натуральные числа от 1 до 100. Маленький Гаусс решил эту задачу за минуту. Сообразив, что суммы 1+100, 2+99 ит. д. равны, он умножил 101 на 50, т. е. на число таких сумм. Иначе говоря, он заметил закономерность, которая присуща арифметической прогрессии.

Культ. сектор. Сценка “Мужик и купец”.

Купец: Послушай, жена! На базаре я встретил глупого мужика и заключил с ним выгодную сделку.                                                                                                                          Жена: Какую?                                                                                                                             Купец: Он каждый день будет приносить мне по 100 000 рублей, а я ему в первый день отдам копейку. Ты слышишь, копейку за 100 000 рублей. Во второй день за 100 000– две копейки, в третий– 4 копейки и так целый месяц. А он мне целый месяц будет носить каждый день по 100 000 рублей!                                                                             Жена: Откуда у этого глупца столько денег?                                                                                Купец: Это не наше дело. Об одном жалею, что заключил договор только на 1 месяц. Боюсь, что этот чудак поймёт, что его обманывают, и не принесёт свои деньги.                                                                                                                                        (Раздаётся стук. Жена выглядывает в окно.)                                                                        Жена: Там кто-то пришел!                                                                                                          Купец: Это он. (Входит мужик)                                                                                                           Мужик: Получай, купец, свои деньги и отдай мою копейку. (Взяв копейку, уходит)      Купец: Как я боялся, что он не придёт! А вдруг завтра он не придёт? Или придёт и заберёт свои деньги?                                                                                                                 Жена: Успокойся! Если он сегодня не понял, что его обманывают, не думаю, что он поймёт это завтра. Говорят же: “Если дурак, то надолго”.                                              Купец: Так-то оно так, да всё равно боязно.                                                                         Ведущий: Каждый день мужик приносил по 100 000 рублей и забирал свои копейки. Вначале купец радовался и не задумывался над тем, сколько он отдаёт мужику. На 24 день он отдал уже более 83000 рублей.                                                                       Купец: О горе мне, горе! Мужик оказался не так глуп! Какой я глупец! Разве можно заключать сделки на базаре!

Учёный. Ничего бы не случилось, если бы купец знал все формулы для арифметической и геометрической прогрессии.

Практика.

1 группа. В арифметической прогрессии (a_n): 16; 12; 8; ..; укажите разность.

2 группа. В арифметической прогрессии (a_n): 16; 12; 8; ..; укажите десятый член.

3 группа. В арифметической прогрессии (a_n): 16; 12; 8; ..; укажите cумму двенадцати первых членов прогрессии.

Ответы: 1 группа - -4; 2 группа - -20; 3 группа - -72.

Последовательности (a_n), (b_n), (c_n)заданы формулами n – го члена. Поставьте в соответствие каждой последовательности верное утверждение.

Формула:                       Утверждение:

А) a_n=4×3ⁿ                      1) последовательность – арифметическая прогрессия

Б) b_n=9n+3                      2) Последовательность – геометрическая прогрессия

В) c_n=8n²+3                    3) Последовательность не является ни арифметической, ни

                                            геометрической прогрессией

Ответ: 213.

А теперь вспомним площади фигур.

Историк. Зарождение геометрических знаний, связанных с измерением площадей, теряется в глубине тысячелетий. Ещё 4 – 5 тысячелетий назад вавилоняне вычисляли площади земельных участков, имеющие формы прямоугольника и трапеции, в квадратных единицах. Единицей измерения площади издревле использовали квадрат, так как именно квадрат обладает замечательными свойствами: равные стороны, равные и прямые углы, квадрат имеет ось и центр симметрии и совершенство формы. Квадраты легко строить, и ими можно покрыть без просветов фигуры любой формы. Около 4000 лет назад египтяне определяли площадь прямоугольника, параллелограмма, треугольника и трапеции. Их формулами мы пользуемся и сейчас. Площадь многоугольника находили разбиением его на прямоугольники, треугольники и трапеции. Первые сведения об измерении площадей на Руси относятся к 11 веку.

Культ. сектор. Периметр фигуры, составленной из квадратов, равен 6. Чему равна ее площадь?

ОТВЕТ: Периметр фигуры — это сумма длин всех ее сторон. В данной фигуре 12 сторон. Если ее периметр равен 6, то одна сторона равна 6:12 — 0,5. Фигура состоит из 5 одинаковых квадратов, со стороной 0,5. Площадь одного квадрата равна 0,5 · 0,5 = 0,25. Следовательно, площадь всей фигуры равна 0,25 · 5 = 1,25.

Учёный. Нам необходимо вспомнить формулы для нахождения площадей фигур.

1) площадь треугольника  S= ah

2) площадь параллелограмма S=ah

3) площадь квадрата S=a²

4) площадь прямоугольника S=ab

5) площадь трапеции   S= h(a+b)

6) площадь ромба S=  dc

Практика.

1 группа: В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, а острый угол,

прилежащий к нему, равен 60⁰. Найдите площадь треугольника.

2 группа: Основания трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна 4, а угол между ней и одним из оснований равен 135⁰. Найдите площадь трапеции.

3 группа:  Сторона ромба равна 5, а диагональ равна 6. Найдите площадь ромба.

Ответы: 1 группа - 50, 2 группа – 60, 3 группа – 24.

VI. Рефлексия.

Оцените каждый свою работу. Учащиеся оценивают себя фронтально с помощью карточек. Индивидуально наиболее активных опрашиваю.

VII. Домашнее задание.

Решите задачу. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна 84°?

VIII. Итог урока.

Удачи на экзамене!