865148
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 5 480 руб.;
- курсы повышения квалификации от 1 400 руб.
Московские документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ 60%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО до 28 февраля!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности №038767 выдана ООО "Столичный учебный центр", г.Москва)

Инфоурок / Математика / Рабочие программы / Урок геометрии "Нахождение объёма тел вращения. Теорема Гульдена" (11 класс)

Урок геометрии "Нахождение объёма тел вращения. Теорема Гульдена" (11 класс)

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.

План-конспект урока по геометрии по теме «Объём тел вращения. Теорема Гульдена»

Дата проведения урока


Предмет- геометрия

Класс 11

Урок № 42

Тема урока

Объём тел вращения. Теорема Гульдена

Цель урока

Совершенствование навыков решения задач с использованием формул объёма тел вращения

Задачи урока

Целостное раскрытие вычисления объёма тел вращения. Применение нестандартных приёмов при решении задач на нахождение объёма тел вращения. Привитие навыков работы в группе, повышение ответственности за результаты труда

Ожидаемый результат

Учащиеся овладеют приёмами нахождения объёма тел вращения

Ключевые идеи

Формулы для вычисления объёма тел вращения. Нахождение центра масс плоских геометрических фигур

Источники

Интернет ресурсы.

Э.Н.Балаян «Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ».

Материалы и оборудование

Проектор. Презентация учащихся.

Готовые чертежи «Тела вращения»

Ход урока

Этапы проведения урока

Время

(45 мин)

Работа учителя и учащихся

1.Организационный момент

1 мин

Приветствие класса. Создание психологической комфортной атмосферы для работы на уроке.

2.Устная разминка

6 мин

Устное решение задач на готовых чертежах.

Обсуждение идей задач . (Приложение 1)

3.Презентация групп по теме «Объёмы тел вращения»


10 мин

Учащиеся представляют электронную версию по изучаемой теме.

Критериальное оценивание групп. Сбор бланков критериального оценивания.

4.Закрепление.

Решение задач у доски.

10 мин

Задачи на готовых чертежах.

Краткая запись решения после обсуждения идей с классом.(Приложение 2)

5.Работа в группах.

Решение задач на нахождение объёмов тел вращения.

15 мин

Обработка в группах знаний учащихся, применения формулы объёма тел вращения, применения рациональных приёмов решения задач путем непрерывного обсуждения этапов решения.

(Приложение 3)

6. Подведение итогов урока. Рефлексия

2 мин

Обмен мнениями. Рефлексия.

7. Задание на дом

1 мин

Инструктаж домашнего задания.

Э.Н.Балаян «Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ». (по 8 задач на карточках)







hello_html_m6d296628.gifНижеприведенные теоремы Гульдена- Паппа, содержащие формулы для вычисления площади поверхности и объёма тела вращения, были изучены в курсе математического анализа(Тема: «Применение интегралов»). Здесь уместно напомнить учащимся эти теоремы.

Гульдена-Паппа теоремы

Теоремы, содержащие формулы для вычисления площади поверхности (1-я теорема) и объёма (2-я теорема) тела вращения. Они были найдены Паппом Алексанлрийским и переоткрыты швейцарским математиком П.Гульденом (Paul Guldin, 1577-1643).

1. Пусть плоская кривая лежит по одну сторону от некоторой прямой a. Тогда площадь поверхности, получаемой при вращении этой кривой вокруг оси a, равна произведению длины кривой на длину окружности, пробегаемой ее центром масс:

S = 2πrL,

где L – длина кривой, а r – расстояние от ее центра масс до оси.

2.  Пусть плоская фигура лежит по одну сторону от некоторой прямой a. Тогда объём тела, получаемого при вращении этой фигуры вокруг оси a, равен произведению площади фигуры на длину окружности, пробегаемой ее центром масс:

V = 2πRS,                                                               

где S – площадь фигуры, а R – расстояние от ее центра масс до оси.

Например, для конуса с образующей длины l и радиусом основания r расстояние от центра масс образующей (т.е. от ее середины) до оси равно r/2, поэтому площадь боковой поверхности конуса равна 2π(r/2)l =  πrl. Другой простой и интересный пример – тор.































Задачи для устной разминки:



C:\Users\Майя\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\20150112_120651_2.jpg

Опишите алгоритм нахождения объёмов тел вращения.

Задачи для разбора у доски с комментариями:

  1. Найдите объём тела, полученного вращением ромба АВСD со сторонами, равными 1. И острым углом А в 30hello_html_m228c0d80.gif, вокруг стороны ВС .

  2. Прямоугольник, диагональ которого равна 1, а угол между диагоналями равен 15hello_html_m228c0d80.gif, вращается вокруг оси, проходящей через его вершину параллельно диагонали. Найдите объём тела вращения.









Задачи на готовых чертежах для решения в группах:

1.Найдите объём тела, полученного вращением прямоугольника АВСD со сторонами АВ=2, ВС=1 вокруг перпендикуляра к диагонали ВD, проведенного через его конец.

C:\Users\Майя\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\20150113_224506.jpg

2.Найдите объём тела, полученного вращением правильного шестиугольника ABCDEF со стороной, равной 1, вокруг внешней оси, которая параллельна стороне и отстоит от неё на длину апофемы.

C:\Users\Майя\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\20150113_224557.jpg





  1. Найдите объём тела, полученного вращением правильного шестиугольника ABCDEF со стороной, равной 1, вокруг оси, проходящей через его вершину С перпендикулярно к радиусу, проведенному в эту вершину.

C:\Users\Майя\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\20150113_224613.jpg

4.Найдите объем тела, полученного вращением прямоугольного треугольника ФИС с катетами 15 и 20 вокруг перпендикуляра к гипотенузе, проведенного через вершину большего острого угла В.

C:\Users\Майя\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\20150113_224637.jpg

5.Ромб со стороной 7 и острым углом в 60hello_html_m228c0d80.gif вращается вокруг оси, проведенной через вершину этого угла перпендикулярно к стороне. Определите объём тела вращения.

C:\Users\Майя\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\20150113_224653.jpg

6.Правильный треугольник со стороной, равной 1. Вращается вокруг прямой. Проходящей через вершину треугольника и составляющей со стороной угол в 45hello_html_m56e2d7d3.gifобъём полученного тела вращения.

C:\Users\Майя\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\20150113_224713.jpg



Ответы для взаимоконтроля:

  1. 2hello_html_m3684298c.gif

  2. 9hello_html_4bbc8ba.gif

  3. 3hello_html_m7b875d73.gif

  4. 3400hello_html_4bbc8ba.gif

  5. 1029hello_html_5909bbae.gifhello_html_m31efd0a6.gif

  6. hello_html_240f4d8a.gif(hello_html_1e54d294.gif)hello_html_4bbc8ba.gif



Краткое описание документа:

Нахождение объемов тел вращения изучается в курсе геометрии 11 класса. В классах с математической специализацией предлагаются стандартные подходы как в теоретическом изложении,  так и практическом  применении. В курсе алгебры и начал анализа 11 класса доказываются теоремы Паппа-Гульдена  (согласно программе углубленного изучения  математики в РСФМСШИ), что значительно облегчает решение задач нетрадиционными  способами.

 

Предлагаемая разработка урока позволит учителям и учащимся освоить приёмы нестандартного подхода к решению задач за минимальное время. Данные теоремы позволят находить не только объёмы тел вращения, но и площадь поверхности тела вращения.

Общая информация

Номер материала: 335472

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.