|
Дата проведения урока
|
Предмет- геометрия |
Класс 11 |
Урок № 42 |
|
Тема урока |
Объём тел вращения. Теорема Гульдена |
||
|
Цель урока |
Совершенствование навыков решения задач с использованием формул объёма тел вращения |
||
|
Задачи урока |
Целостное раскрытие вычисления объёма тел вращения. Применение нестандартных приёмов при решении задач на нахождение объёма тел вращения. Привитие навыков работы в группе, повышение ответственности за результаты труда |
||
|
Ожидаемый результат |
Учащиеся овладеют приёмами нахождения объёма тел вращения |
||
|
Ключевые идеи |
Формулы для вычисления объёма тел вращения. Нахождение центра масс плоских геометрических фигур |
||
|
Источники |
Интернет ресурсы. Э.Н.Балаян «Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ». |
||
|
Материалы и оборудование |
Проектор. Презентация учащихся. Готовые чертежи «Тела вращения» |
||
Ход урока
|
Этапы проведения урока |
Время (45 мин) |
Работа учителя и учащихся |
|
1.Организационный момент |
1 мин |
Приветствие класса. Создание психологической комфортной атмосферы для работы на уроке. |
|
2.Устная разминка |
6 мин |
Устное решение задач на готовых чертежах. Обсуждение идей задач . (Приложение 1) |
|
3.Презентация групп по теме «Объёмы тел вращения»
|
10 мин |
Учащиеся представляют электронную версию по изучаемой теме. Критериальное оценивание групп. Сбор бланков критериального оценивания. |
|
4.Закрепление. Решение задач у доски. |
10 мин |
Задачи на готовых чертежах. Краткая запись решения после обсуждения идей с классом.(Приложение 2) |
|
5.Работа в группах. Решение задач на нахождение объёмов тел вращения. |
15 мин |
Обработка в группах знаний учащихся, применения формулы объёма тел вращения, применения рациональных приёмов решения задач путем непрерывного обсуждения этапов решения. (Приложение 3) |
|
6. Подведение итогов урока. Рефлексия |
2 мин |
Обмен мнениями. Рефлексия. |
|
7. Задание на дом |
1 мин |
Инструктаж домашнего задания. Э.Н.Балаян «Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ». (по 8 задач на карточках) |
Нижеприведенные теоремы Гульдена- Паппа,
содержащие формулы для вычисления площади поверхности и объёма тела вращения,
были изучены в курсе математического анализа(Тема: «Применение интегралов»).
Здесь уместно напомнить учащимся эти теоремы.
|
Гульдена-Паппа теоремы |
|
Теоремы, содержащие формулы для вычисления площади поверхности (1-я теорема) и объёма (2-я теорема) тела вращения. Они были найдены Паппом Алексанлрийским и переоткрыты швейцарским математиком П.Гульденом (Paul Guldin, 1577-1643). 1. Пусть плоская кривая лежит по одну сторону от некоторой прямой a. Тогда площадь поверхности, получаемой при вращении этой кривой вокруг оси a, равна произведению длины кривой на длину окружности, пробегаемой ее центром масс: S = 2πrL, где L – длина кривой, а r – расстояние от ее центра масс до оси. 2. Пусть плоская фигура лежит по одну сторону от некоторой прямой a. Тогда объём тела, получаемого при вращении этой фигуры вокруг оси a, равен произведению площади фигуры на длину окружности, пробегаемой ее центром масс: V = 2πRS, где S – площадь фигуры, а R – расстояние от ее центра масс до оси. Например, для конуса с образующей длины l и радиусом основания r расстояние от центра масс образующей (т.е. от ее середины) до оси равно r/2, поэтому площадь боковой поверхности конуса равна 2π(r/2)l = πrl. Другой простой и интересный пример – тор. |
Задачи для устной разминки:
Опишите алгоритм нахождения объёмов тел вращения.
Задачи для разбора у доски с комментариями:
1. Найдите объём тела, полученного вращением ромба АВСD со сторонами,
равными 1. И острым углом А в 30
, вокруг стороны ВС .
2. Прямоугольник, диагональ которого равна 1, а угол между диагоналями
равен 15, вращается вокруг оси,
проходящей через его вершину параллельно диагонали. Найдите объём тела
вращения.
Задачи на готовых чертежах для решения в группах:
1.Найдите объём тела, полученного вращением прямоугольника АВСD со сторонами АВ=2, ВС=1 вокруг перпендикуляра к диагонали ВD, проведенного через его конец.
2.Найдите объём тела, полученного вращением правильного шестиугольника ABCDEF со стороной, равной 1, вокруг внешней оси, которая параллельна стороне и отстоит от неё на длину апофемы.
3. Найдите объём тела, полученного вращением правильного шестиугольника ABCDEF со стороной, равной 1, вокруг оси, проходящей через его вершину С перпендикулярно к радиусу, проведенному в эту вершину.
4.Найдите объем тела, полученного вращением прямоугольного треугольника ФИС с катетами 15 и 20 вокруг перпендикуляра к гипотенузе, проведенного через вершину большего острого угла В.
5.Ромб со стороной 7 и острым углом в 60 вращается вокруг оси,
проведенной через вершину этого угла перпендикулярно к стороне. Определите
объём тела вращения.
6.Правильный треугольник со стороной, равной
1. Вращается вокруг прямой. Проходящей через вершину треугольника и
составляющей со стороной угол в 45
объём полученного тела
вращения.
Ответы для взаимоконтроля:
1. 2
2. 9
3. 3
4. 3400
5. 1029
6. 
(
)
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Нахождение объемов тел вращения изучается в курсе геометрии 11 класса. В классах с математической специализацией предлагаются стандартные подходы как в теоретическом изложении, так и практическом применении. В курсе алгебры и начал анализа 11 класса доказываются теоремы Паппа-Гульдена (согласно программе углубленного изучения математики в РСФМСШИ), что значительно облегчает решение задач нетрадиционными способами.
Предлагаемая разработка урока позволит учителям и учащимся освоить приёмы нестандартного подхода к решению задач за минимальное время. Данные теоремы позволят находить не только объёмы тел вращения, но и площадь поверхности тела вращения.
6 663 528 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Есмагамбетова Лязат Амиргалиевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
36/72 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.