Класс: 8 (общеобразовательный)

Тема: Теорема Пифагора

Цель урока: закрепить знания по теории теоремы Пифагора, совершенствовать навыки решения задач на применение теоремы Пифагора и теоремы, обратной теореме Пифагора, с использованием старинных единиц измерения;

Способствовать развитию логического мышления, математической речи; умений в применении знаний в конкретной и проблемной ситуации;

воспитывать трудолюбие, культуру общения, навыки самостоятельной работы, интерес к геометрии через содержание учебного материала.

Оборудование: интерактивная доска, презентация, карточки с заданиями.

Ход урока

1.      Оргмомент. Здравствуйте ребята, садитесь. Откройте дневники, запишите домашнее задание, оно будет аналогичным тому, чем мы займемся сегодня на уроке. А мы сегодня  продолжаем изучать теорему Пифагора. Как вы думаете чем мы сегодня будем заниматься на уроке?

Возможные ответы учащихся: прослушаем новое доказательство теоремы, будем применять теорему при решении задач.

А также познакомимся с другими единицами измерения длин. На парте у вас лежат оценочные листы, в них вы будете себя оценивать в течении урока. Вам нужно выбрать ответственного за это. Приступим …

2.      Проверка домашнего задания. Домашнее задание у вас было различное.  Вы дома много работали с разными источниками информации и подготовили выступления.  Итак слово первой группе:

·         Биография  Пифагора и о применении теоремы Пифагора в жизни;

(Презентация)

Выступает вторая группа:

·         Найти другое доказательство теоремы Пифагора;

Теорема Пифагора гласит "в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов". На сегодняшний день в мире известно около 150 способов доказательства этого утверждения. Я докажу теорему способом, предложенным в учебнике геометрии Атанасяна.

Теорема: Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Дано:  АВС, угол С=90°. АС, СВ - катеты, АВ - гипотенуза.

АС=b; СВ=а; АВ=с.

Доказать: а2 +b2 =с2

Доказательство: Для доказательства нужно вспомнить формулы, по которым мы находим площадь квадрата и прямоугольника

Достроим АВС до квадрата, тогда площадь его равна (a+b)2= 4Sтр+Sчет

С другой стороны площадь этого квадрата представляет собой сумму площадей 4 равных треугольников и четырехугольника.

Четырехугольник АВМК – ромб, точнее квадрат, потому что …

 т.к. r АВС - прямоугольный.

, следовательно,

Если у ромба есть угол 90°, то такой ромб является квадратом: АВМК -квадрат.

Sб.кв.=(a+b)2=a2+2ab+b2

Sб.кв.=4Sr +SABKM= 4Y l/2Y aY b +c2 =2ab+c2.

Имеем: a2+2ab+b2=2ab+c2, т.е. a2+b2=c2

Теорема доказана.

Прослушали новое доказательство теоремы Пифагора, которая читается как? (Кто-то из группы повторяет теорему). Предоставим слово третьей группе

·         Другая формулировка Теоремы Пифагора;

Теорема Пифагора известна очень давно и раньше она читалась так: «квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника равновелик сумме квадратов, построенных на катетах этого треугольника»

Раньше составляли много дружеских шаржей, связанных с теоремой Пифагора, вот некоторые из них…

Четвертая группа покажет нам решение задач, с которыми мы можем встретится в жизни.

·         Решение задач

1)Высота дерева 8м, котёнок сидит в 6м от дерева. Как далеко от котёнка воробей, сидящий на вершине дерева?

2)Длина удолчки 5м, а длинна лески до поплавка 3м. На каком расстоянии от рыбака находится поплавок?

Очень хорошо, прослушали все выступления и давайте ещ раз прослушаем теорему Пифагора: (ученик читает стих)

Если дан нам треугольник

И притом с прямым углом,

То квадрат гипотенузы

Мы всегда легко найдем:

Катеты в квадрат возводим,

Сумму степеней находим.

И таким простым путем

К результату мы придем.

3.       Решение задач.

Сейчас мы отправимся в путешествие по Древнему миру, каждая группа была отправлена заранее в разные страны, а именно в Россию, Китай, Индию. Каждая группа подготовила  задание с чертежом.

1 группа.

Индийская задача. В древней Индии был обычай предлагать задачи в стихах. Я предлагаю вам решить одну из таких задач.

Над озером тихим

 С полфута размером

 Высился лотоса цвет.

 Он рос одиноко,

 И ветер порывом

 Отнёс его в сторону. Нет

 Боле цветка над водой.

 Нашёл же рыбак его

 Ранней весною

 В двух футах от места, где рос.

 Итак, предложу я вопрос:

 "Как озера вода здесь глубока?"

Решение: Выполним чертёж к задаче и обозначим глубину озера АС =Х, тогда

AD = AB = Х + 0,5 .

Из треугольника ACB по теореме Пифагора имеем AB2 - AC2 = BC2,

(Х + 0,5 )2 - Х2 = 22,

Х2 + Х + 0,25 - Х2 = 4, Х = 3,75.

Таким образом, глубина озера составляет 3,75 фута.(Какова глубина в современных единицах длины (1 фут приближенно равен 0,3 м) ?

3, 75 * 0,3 = 1,125 (м)

Ответ: 3,75 фута или 1, 125 м.

Что применяли при решении задачи, вы обратили внимание насколько древняя теорема Пифагора?

2 группа.

Китайская задача.

Задача о бамбуке из древнекитайского трактата "Гоу-гу"

Имеется бамбук высотой в 1 чжан. Вершину его согнули так, что она касается земли на расстоянии 3 чи от корня (1 чжан = 10 чи). Какова высота бамбука после сгибания? 

Решение: 1) Выполним чертеж к задаче и обозначим высоту бамбука после сгибания ВС= х чи. Тогда ВD=АВ=10-х(чи).

Из треугольника АВС по теореме Пифагора имеем АВ2=АС2+ВС2

(10-х)2 =х2+32 ,

100-20х+ х2= х2 + 9,

-20х=9-100,

-20х=-91,

х=4,55

2) 10-4,55=5,45.

Таким образом, высота бамбука после сгибания равна 5,45 чи.

3 группа. Задача из первого учебника математики на Руси. Назывался этот учебник "Арифметика".

Случися некоему человеку к стене лествицу125 стоп прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И ведати хощет, колико стоп сея лествицы нижний конец от стены отстояти имать.

4 группа.

Задача арабского математика XI в.

На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной 30 локтей, другой - 20 локтей. Расстояние между их основаниями - 50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, выплывшую к поверхности воды между пальмами. Они кинулись к ней разом и достигли ее одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?

Решение. Пусть АD=Х, тогда АЕ= 50-Х

Итак, в треугольнике АDВ: АВ2 =ВD2 +АD2 =302 +Х2=900+Х2;

в треугольнике АЕС: АС2= СЕ2+АЕ2 =202+(50 - Х)2 =400+2500 - 100Х+Х2=2900 - 100Х+Х2.

Но АВ=АС, так как обе птицы пролетели эти расстояния за одинаковое время. Поэтому АВ2 =АС2 ,

900+Х2 =2900 - 100Х+Х2,

100Х=2000,

Х=20,

АD=20.

Значит, рыба была на расстоянии 20 локтей от большой пальмы.

Ответ: 20 локтей.

Молодцы ребята, справились с заданием. А теперь немного вспомним:

4.      Устная работа.

·         Что вы знаете о прямоугольнике? (углы равны 90 градусов, диагонали равны)

·         Что вы знаете о катете, который лежит против угла 30 градусов (равен половине гипотенузы)

·         Что вы знаете о ромбе? (все стороны равны, диагонали ромба пересекаются под углом 90 градусов и точкой пересечения делятся пополам)

5.       Самостоятельная работа.  Сейчас вы выполните самостоятельную работу, в тетрадях. А ответы запишите на доске. Если все правильно выполнили, то получится слово десятина. Это мера площади.

6. Домашнее задание. Ребята из каждой группы записывали старинные единицы измерения в сантиметрах, дома вам нужно будет перевести. С 45 – 48, № 145, № 146

7.  Итог урока. Молодцы ребята, сегодня все работали хорошо, но особо хотелось бы отметить… В завершении хотелось бы  узнать что вы запомнили, чему вы научились и с чем вы познакомились на уроке. Запишите, и оставьте мне это в рюкзачке.

Причина популярности теоремы Пифагора триедина - это красота, простота и значимость.

              Самостоятельная работа

                  «Теорема Пифагора»                                     Самостоятельная работа

                                                                                                «Теорема Пифагора»

                     9 см                                                                В                                      С

     В                                                  С

                      х см                                                         4 см  30⁰  х см

                                                         12 см

     А                                                 Д                           А       К                                           Д

                                                                                                                 В

          В                                       С                                                х см

    2 см  30⁰  х см

                                                                                                 А                                   С

    А         К                                       Д

                Самостоятельная работа                                                     Д

                   «Теорема Пифагора»                                          АС = 12 см         ВД = 16 см

                             В

                                                                                                                                                                                                                                                       х см                                                                               Самостоятельная работа

                                                                                                 «Теорема Пифагора»

             А                                  С                                                  В                                       С

                                                                                                   45⁰

                                                                                    х м

                             Д                                                              9 м

АС = 6 см               ВД = 8 см                                А                    К                   Д                   

                  В                                             С             В               х см                          С

                 45⁰                                                     12 см           20 см

  х м                                                                     

А          4 м         К                 Д                              А                                                 Д

15       5

10      16

Оценочный лист

Оценочный лист

Оценочный лист

Оценочный лист

1 локоть = 87 см

1 стопа = 28,8 см

1 фут = 32,48 см

1 чи =1/3 метра