Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок математики по теме "Линейные и квадратные неравенства"

Урок математики по теме "Линейные и квадратные неравенства"

Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Линейные и квадратные неравенства
(повторение) (3 ч)

У р о к 1

Цели: повторить формулы сокращенного умножения, научить применять их при упрощении выражений и разложении на множители; повторить определение линейного неравенства с одной переменной; вспомнить определение равносильных неравенств и правила преобразования неравенств и закрепить их знание в ходе выполнения упражнений.

Ход урока

I. Повторение изученного материала.

1. Повторить формулы сокращенного умножения и записать эти формулы на доске и в тетрадях.

2. Решить устно № 1.5 (а; б) и № 1.6 (а; б) из задачника.

3. Решить письменно с комментированием на месте № 1.5 (в; г) и № 1.6 (в; г) из задачника.

4. На доске и в тетрадях решить № 1.7 (в; г) из задачника.

Р е ш е н и е

в) (а – 3)(а + 4) – (а + 2)(а + 5) = а2 + 4а – 3а – 12 – а2 – 5а – 2а – 10 = = – 6а – 22

При а = –hello_html_2298cae5.gif имеем – 6 · (–hello_html_2298cae5.gif) – 22 = 1 – 22 = – 21.

г) (с + 2)2 – (с + 4)(с – 4) = с2 + 4с + 4 – с2 + 16 = 4с + 20

При с = – 0,25 имеем 4 · (– 0,25) + 20 = – 1 + 20 = 19.

5. Вспомнить способы разложения многочлена на множители. Решить № 8 (а) и № 13 устно на с. 6 задачника.

II. Работа с учебником.

1. Вспомнить определение линейного неравенства с одной переменной; записать в тетради: ах + в > 0 или ах + в < 0, где а и в – действительные числа (а ≠ 0).

2. Что называют решением неравенства f(х) > 0?

3. Решить устно № 1.1 (а; б) из задачника.

4. Повторить определение равносильных неравенств: два неравенства f(х) < q(x) и r(х) < s(х) называют равносильными, если они имеют одинаковые решения или оба неравенства не имеют решений.

5. По учебнику на с. 6–7 повторить правила 1; 2; 3, выражающие равносильные преобразования неравенств.

6. Разобрать по учебнику решение примера 1 на с. 8–9.

III. Выполнение упражнений.

1. Решить № 1.2 (а; в) на с. 13 задачника самостоятельно, а затем проверить решение.

а) 4а – 11 < а + 13

4аа < 13 + 11

3а < 24

а < 24 : 3

а < 8

О т в е т: а < 8, или (–∞; +8).

в) 8b + 3 < 9 b – 2

8b – 9b < – 2 – 3

b < – 5

b > – 5 : (–1)

b > 5

О т в е т: (5; ∞).

2. Решить № 3 (а; в) на доске и в тетрадях.

а) hello_html_11aeeea5.gif < 0

15 hello_html_mf03a056.gif < 0 · 15

5(5 – а) – 3(3 – 2а) < 0

25 – 5а – 9 + 6а < 0

а < – 16

О т в е т: а < – 16.

в) hello_html_67f9e469.gif

hello_html_1416a2a8.gif

3(х + 7) > 4(5 + 4х)

3х + 21 > 20 + 16х

3х – 16х > 20 – 21

13х > – 1

х < hello_html_m28b0bf7.gif

О т в е т: х < hello_html_m28b0bf7.gif.

3. Решить № 1.4 (в; г). Двое учащихся самостоятельно решают на доске, остальные в тетрадях; затем проверяется решение.

в) 3х(3х – 1) – 9х2 ≤ 2х + 6

9х2– 3х – 9х2 ≤ 2х + 6

3х – 2х ≤ 6

5х ≤ 6

х hello_html_m2c9980f8.gif

х ≥ – 1,2

О т в е т: х ≥ – 1,2 или [– 1,2; ∞).

г) 7с(с – 2) – с(7с + 1) < 3

7с2 – 14с – 7с2с < 3

15с < 3

с > – 3 : 15

с > hello_html_m4879cd5a.gif

О т в е т: с > hello_html_m4879cd5a.gif.

4. Повторение ранее изученного материала. Решить задачу № 42 на с. 10 задачника.

Пусть запланированная скорость пешехода равна х км/ч, тогда за 1,2 ч пешеход пройдет 1,2х км. Пешеход же шел со скоростью (х + 1) км/ч и за 1 ч прошел путь (х + 1) · 1 км. Длина пути пешехода одинакова. Составим и решим уравнение:

1,2х = (х + 1) · 1;

1,2хх = 1;

0,2х = 1;

х = 1 : 0,2 = 5.

Длина пути равна 1,2 · 5 = 6 (км).

О т в е т: 6 км.

IV. Итог урока.

Домашнее задание: изучить по учебнику страницы 12–14; решить № 1.1 (в; г), № 1.2 (б; г), № 1.4 (а; б); № 1.3 (б; г).

У р о к 2

Цели: повторить определение квадратного неравенства и его решения; напомнить еще один способ рассуждений, который можно применять при решении неравенств, – это метод интервалов; упражнять учащихся в решении квадратных неравенств; развивать логическое мышление учащихся.

Ход урока

I. Устная работа.

1. Что называется квадратным неравенством с одной переменной х? Что называется решением неравенства f(х) > 0?

2. Разобрать решение примера 2 по учебнику на с. 9–10 (рис. 1).

3. Сформулировать два утверждения, применяемые при решении квадратных неравенств (при дискриминанте D < 0).

4. Записать в тетрадях теорему: квадратный трехчлен ах2 + + с с отрицательным дискриминантом при всех значениях х имеет знак старшего коэффициента а.

5. Разобрать решение примера 3 на с. 10 учебника и записать в тетради решение.

а) 2х2х + 4 > 0; D = – 31 < 0; а = 2, а > 0; значит, по теореме, при всех х выполняется неравенство 2х2х + 4 > 0.

О т в е т: (– ∞; + ∞).

б) – х2 + 3х – 8 ≥ 0; D = – 23 < 0; а = – 1, то есть а < 0. Тогда по теореме – х2 + 3х – 8 < 0. Значит, данное неравенство не имеет решений.

О т в е т: нет решений.

II. Выполнение упражнений.

1. Решить № 1.5 (а; б) на доске и в тетрадях.

а) х2 – 6х – 7 ≥ 0

х2 – 6х – 7 = 0

D = (– 6)2 – 4 · 1 · (– 7) = 64

х1 = hello_html_m2bdeac7e.gif

х2 = hello_html_m4ec12969.gif


hello_html_m26b120a8.png


О т в е т: х ≤ – 1, х ≥ 7.

б) – х2 + 6х – 5 < 0

х2 + 6х – 5 = 0

D = 62 – 4 · (– 1) · (– 5) =
= 36 – 20 = 16

х1 = hello_html_m65b7b0d7.gif

х2 = hello_html_m45438877.gif


hello_html_m299fb78b.png

О т в е т: х < 1, х > 5.

2. Решить № 1.6 (в; г). Двое учащихся решают самостоятельно на доске, остальные – в тетрадях, затем проверяется решение.

в) 6х2 – 7х – 20 ≤ 0

6х2– 7х – 20 = 0

D = (– 7)2 – 4 · 6 · (– 20) = 529

х1 = hello_html_m6c31fbdb.gif

х2 = hello_html_m15c535a7.gif

hello_html_m66349cc4.png

О т в е т: hello_html_m1337a0da.gifх hello_html_m3a8f79ec.gif.

г) 15х2 – 29х – 2 > 0

15х2 – 29х – 2 = 0

D = (– 29)2 – 4 · 15 · (– 2) = 961

х1 = hello_html_m131ebf61.gif

х2 = hello_html_2026d3d9.gif

hello_html_1cdecab9.png

О т в е т: х < hello_html_m4188284a.gif; х > 2.

3. Решить № 1.7 (в; г) с комментированием на месте.

в) 5х2 – 2х + 1 < 0

5х2 – 2х + 1 = 0

D = (– 2)2 – 4 · 5 · 1 = – 16 < 0

а = 5 > 0;

по теореме не имеет решений.

О т в е т: нет решений.

г) – 7х2 + 5х – 2 ≤ 0

7х2 + 5х – 2 = 0

D = 52 – 4 · (– 5) · (– 2) =
= – 31 < 0

а = – 7 < 0, тогда по теореме

х – любое число.

О т в е т: (– ∞; + ∞).

III. Работа по учебнику.

1. Вспомним еще один способ рассуждений, который можно использовать при решении неравенств. Разберем решение неравенства х2 – 6х + + 8 > 0 по учебнику на с. 10 (пример 4) по рис. 2.

2. Метод рассуждений, который мы применили в примере 4, называют обычно методом интервалов (или методом промежутков). Он активно используется в математике для решения рациональных неравенств.

3. Решить № 1.14 (а) и 1.10 (б) методом интервалов. Решение объясняет учитель.

1.14 (а) hello_html_87bd016.gif. Выражение имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно, то есть (3 – х)(х + 7) ≥ 0. Отметим на числовой прямой числа 3 и – 7.

hello_html_m6150f54f.png

Если х < – 7, то 3 – х > 0 и х + 7 < 0.

Если – 7 ≤ х ≤ 3, то 3 – х > 0 и х + 7 > 0.

Если х > 3, то 3 – х < 0 и х + 7 > 0.

О т в е т: – 7 ≤ х ≤ 3, или [– 7; 3].

1.10 (б) hello_html_568866b0.gif Выражение имеет смысл, если 5х х2 + 6 ≥ 0; – х2 + 5х + 6 = 0; D = 52 – 4 · (– 1) · 6 = 49; х1 = – 1; х2 = 6; тогда – (х + + 1)(х – 6) ≥ 0.

hello_html_4b2d6150.png

О т в е т: – 1 ≤ х ≤ 6.

4. Повторение ранее изученного материала.

1) Решить № 8 (в; г) на с. 6 самостоятельно с проверкой.

в) hello_html_686a7ec2.gif

г) hello_html_3e581eb3.gif

2) Решить № 11 (в; г) на с. 6 на доске и в тетрадях.

в) 428 + 427 = 427 · (42 + 1) = 427 · 43 кратно 43;

г) 223 + 220 = 220 · (23 + 1) = 220 · 9 = 217 · (23 · 9) = 217 ·72 кратно 72.

IV. Итог урока. Выставление отметок.

Домашнее задание: решить № 8 (б) на с. 6 и № 1.15 на с. 14 задачника; решить № 1.5 (в; г), № 1.6 (а; б), № 1.7 (а; б).

У р о к 3

Цели: выработать навыки решения квадратных неравенств; рассмотреть на примерах решение неравенств с модулями; повторить и закрепить навык разложения многочлена на множители способом группировки.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. Выборочно проверить домашние задания у некоторых учащихся.

2. Трое учащихся решают на доске задания по карточкам (с последующей проверкой):

1) решить неравенство х2 – 4х – 5 ≤ 0;

2) решить № 8 (в) на с. 6;

3) решить неравенство 3х2 – 6х + 8 ≤ 0.

II. Выполнение упражнений.

1. Решить на доске и в тетрадях.

б) f(х) = hello_html_7b2f6291.gif Областью определения выражения f(х) являются все значения х, при которых х2 – 9 > 0. Применим метод интервалов:

(х – 3)(х + 3) > 0; х = 3; х = – 3.

hello_html_74f92fbf.png

О т в е т: х < – 3; х > 3.

в) f(х) = hello_html_m5c9cb93b.gif

14 – 2х2 – 3х > 0;

2х2 – 3х + 14 = 0;

D = (– 3)2 – 4 · (– 2) · 14 = 9 + 112 = 121;

х1 = – 3,5;

х2 = 2.

2(х + 3,5)(х – 2) > 0

hello_html_244031ab.png

О т в е т: – 3,5 < х < 2.

2. Решить № 1.20 (а; б).

а) 2х2 + х < 2

2х2 + х – 2 < 0

2х2 + х – 2 = 0

D = 1 – 4 · 2 · (– 2) = 17

х1 = hello_html_52f794cc.gif

х2 = hello_html_m1cc80e13.gif

hello_html_m6f35a047.png

О т в е т: hello_html_52f794cc.gif < х < hello_html_m4c768215.gif

б) 3 – х2х

х2х + 3 ≤ 0

х2х + 3 = 0

D = (– 1)2 – 4 · (– 1) · 3 = 13

х1 = hello_html_673762fb.gif

х2 = hello_html_73eb24bd.gif

hello_html_61c2c64f.png


О т в е т: х hello_html_3b1b3157.gif

х hello_html_60831cd1.gif

3. Решить № 1.21 (б).

б) hello_html_m75793755.gif

hello_html_m5885d3a8.gif

х2 – 5 + 2х + 2 – 12 ≥ 0;

х2 + 2х – 15 ≥ 0;

х2 + 2х – 15 = 0;

х1 = – 5;

х2 = 3.

О т в е т: х ≤ – 5; х ≥ 3.








hello_html_m72ae542d.png

III. Изучение нового материала.

1. Напомним геометрическое истолкование выражения | ха | – это расстояние на координатной (числовой) прямой между точками х и а, которое обозначают ρ(х; а). Применим это к решению неравенств с модулями.

2. Решить № 1.17 (б) и 1.19 (а). Решение объясняет учитель.

1.17 (б) | х – 2 | ≤ 3. Нужно найти на координатной прямой такие точки х, которые удалены от точки 2 на расстояние, меньшее или равное 5. Это все точки, принадлежащие отрезку [– 3; 7]:

hello_html_52d0098a.png

1.19 (а) | 1 – х | > 2. Нужно найти на координатной прямой такие точки х, которые удалены от точки 1 на расстояние, большее 2.

hello_html_m4dab1d46.png

О т в е т: х < – 1; х > 3.

3. Решить № 1.22 (а). Объясняет учитель.

а) | 4х + 3 | > 5

Р е ш е н и е

Имеем: 4 | х + hello_html_17126448.gif | > 5; | х + hello_html_17126448.gif | > hello_html_514d100c.gif Надо найти на числовой прямой все такие точки, которые удалены от точки (hello_html_e1481cd.gif) более чем на hello_html_514d100c.gif Получаем:

hello_html_m6c5f89f1.png

О т в е т: х < – 2; х > hello_html_m247b4564.gif

4. Решить № 1.22 (б) на доске и в тетрадях.

б) 6 – | 3х + 1 | > 0;

| 3х + 1 | > – 6;

| 3х + 1 | < 6;

3 | х + hello_html_m4042541d.gif | < 6;

| х + hello_html_m4042541d.gif | < 2.

Надо найти на числовой прямой все точки, которые удалены от точки (hello_html_m19c229db.gif) на расстояние, меньшее 2.

hello_html_m257a80c3.png

О т в е т: hello_html_410d5b4d.gif < х < hello_html_m2c9b4a0b.gif.

IV. Повторение пройденного материала.

Вспомнить, в чем заключается способ группировки при разложении многочлена на множители.

1) Решить № 10 (в; г) на с. 6 задачника.

в) 9m2 – 9mn – 5m + 5n = (9m2 – 9mn) – (5m – 5n) = 9m(mn) –
– 5(
mn) = (mn)(9m – 5);

г) 16ab2 + 5b2c + 10c3 + 32ac2 = (16ab2 + 32ac2) + (5b2c + 10c3) =
= 16
a(b2 + + 2c2) + 5c(b2 + 2c2) = (b2 + 2c2)·(16a + 5c).

2) Решить № 12 (а) на с. 6 на доске и в тетрадях; № 12 (б) на с. 6 самостоятельно с проверкой.

а) 2,7 · 6,2 – 9,3 · 1,2 + 6,2 · 9,3 – 1,2 · 2,7 = (2,7 · 6,2 + 6,2 · 9,3) –
– (9,3 · 1,2 + 1,2 · 2,7) = 6,2(2,7 + 9,3) – 1,2 · (9,3 + 2,7) = (2,7 + 9,3) ×
× (6,2 – 1,2) = 12 · 5 = 60;

б) 125 · 48 – 31 · 82 – 31 · 43 + 125 · 83 = (125 · 48 + 125 · 83) –
– (31 · 82 + 31 · 43) = 125 · 131 – 31 · 125 = 125(131 – 31) = 125 × 100 =
= 12500.

V. Итоги урока.

Домашнее задание: по учебнику изучить материал § 1 и записать в тетради решение примера 5 на с. 11; решить по задачнику № 10 (а; б) и № 12 (в; г) на с. 6; решить № 1.12; 1.22 (в; г) на с. 14–15.



Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Краткое описание документа:

Тема урока "Линейные и квадратные неравенства".

Комплекс уроков для повторения (3 урока). Предназначен для общеобразовательных учреждений. Учебник "Алгебра. 9 класс".Автор: А. Г. Мордкович. Издательство Мнемозина.

Цель урока: Повторить формулы сокращенного умножения, научиться применять их при упрощении выражений и разложении их на множители; повторить определение линейного неравенства с одной переменной; вспомнить определение равносильных неравенств и правила преобразования неравенств и закрепить их знание в ходе выполнения упражнений.

Тип уроков: урок повторения и закрепления.

Автор
Дата добавления 18.04.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров379
Номер материала 487154
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх