Инфоурок Математика КонспектыУрок математики (проблемно-эвристический) по теме: «Число е. Понятие натурального логарифма. Производная показательной функции».

Урок математики (проблемно-эвристический) по теме: «Число е. Понятие натурального логарифма. Производная показательной функции».

Скачать материал

 

 

Урок математики (проблемно-эвристический) по теме: «Число е. Понятие натурального логарифма. Производная показательной функции».

 

Цели и задачи урока:

1) ввести понятия: «число е», «натуральный логарифм» «экспонента»;

2) формировать умение находить производную показательной функции;

3) развивать логическое мышление, математическую речь;

4) развивать умение выражать свою точку зрения, умение работать в группах;

5) воспитывать интерес к предмету, внимательность, чуткое отношение друг к другу.

 

Оборудование: интерактивная доска, компьютерная презентация, дидактические карточки.

Ход урока.

 

I.                    Организационный момент.  (1 мин.)

 

Приветствие. Пожалуйста, настройтесь на работу. Сегодня на уроке нам понадобится внимание, умение мыслить логически, строить предположения и доказывать их.

 

II.                 Постановка целей и задач урока. (4 мин.)

 

Совсем недавно мы познакомились с показательной и логарифмической функциями. Эти функции применяются во многих областях физики, химии и других наук. В частности логарифмы с особым основанием могут характеризовать естественные процессы.

 А чем отличаются друг от друга логарифмические и показательные функции? (Основанием. Каждая из этих функций связана с каким-то положительным числом, называемым основанием функции).

Как вы думаете, с чем может быть связана тема нашего урока? (Учащиеся строят предположения).

Сегодня на уроке мы познакомимся с числом, которое  может быть основанием показательной и логарифмической функций, а также само по себе играет большую роль в математике, физике и других науках.

Ещё мы вместе  выведем формулу производной показательной функции и  будем применять полученные знания при решении задач.

Откройте тетради и запишите тему урока.

 

III. Открытие нового знания.

     

  1. Исторические сведения. (7 мин.)

 

            (Слайд)

            В конце XVI века шотландский любитель математики Джон Непер и швейцарский часовщик, мастер астрономических приборов Иоганн Бюрги, независимо один от другого занимались сравнением арифметической и геометрической прогрессий:

0,

1,

2,

3,

4,

y,

y+1

1,

,

,

,

,

 

,

Оба математика искали такое число в качестве основания степени, чтобы второй ряд был «гуще», т.е. разность между двумя соседними членами была по абсолютному значению возможно меньше.

Давайте представим, как же можно было решить эту проблему.

Вопрос: Как вы думаете, при каком значении основания все члены второго ряда равны между собой? (При ).

                Но для нас важно, чтобы все эти числа не были одинаковыми, а были близки между собой. Какое же основание нужно взять? (Близкое к 1).

Поэтому оба учёных взяли числа, близкие к 1.

(Слайд):  (Бюрги);

                    (Непер).

Они составили таблицы степеней этих чисел, правда, славу таблицы принесли только Неперу (Бюрги создал свой труд раньше, но опубликовал позднее).

А как вы думаете, какие ещё числа можно было взять? (Например, и т.д.)

В начале XVII века Леонард Эйлер выразил общий вид таких чисел. (Слайд).

 

В честь Эйлера число  стали называть буквой «е», но его также называют «неперовым числом».

В XIX веке было доказано, что это число иррационально и не может быть корнем никаких алгебраических уравнений (т.е. трансцендентно).

Число е входит в большое число различных формул самых разных областей науки. Сейчас найдено более 2000 знаков этого числа.

На экране:  (запишите в тетради).

Мнемоническое правило: сначала 2 и 7, потом дважды дата рождения Л.Н. Толстого, затем углы равнобедренного прямоугольного треугольника.

 

2. Введение понятий «экспонента», «натуральный логарифм». (3 мин.)

 

Задание: составить две функции – показательную и логарифмическую с основанием е. (Выполняют в тетрадях, затем один человек записывает на доске.)

На экране:

Логарифмы по основанию е выражают математическую зависимость, которая характеризует разнообразные химические, физические и др. процессы. По-видимому, этим и объясняется название «натуральные логарифмы», т.е. естественные.

 

3. Вывод формул производной показательной функции. (12-13 мин.)

 

Оказывается, что экспонента обладает рядом интересных свойств.

Сейчас мы познакомимся с одним из этих замечательных свойств. Для этого нам необходимо вспомнить некоторые факты о производной.

Задание: Сформулировать определение производной. Объяснить геометрический смысл производной в точке. (Самостоятельное повторение).

(Слайд): По очереди появляются:

                     А) график функции y=2x  и касательной к нему в точке x=0.

Учитель сообщает: Угол,                                        образованный касательной с положительным направлением оси                         Ox, примерно равен 350;

                     Б) график функции y=3x и касательной к нему в точке x=0.                                             Учитель: Соответствующий угол примерно равен 480.

Построение гипотезы: Какой табличный угол заключён между данными? Чему равен его тангенс?

Можно предположить, что существует функция, для графика которой данный угол равен 450.

                      В) Появляется  график функции y=ex  и касательная в точке x=0.

Вопрос: Как записать это свойство, используя понятие производной? (строят предположения).

Далее проверяем данные предположения, делаем вывод.

(Слайд): , т.к. тангенс угла в 450 равен 1.

Вспомним определение производной в точке.

Учащийся у доски: .

В нашем случае попробуйте записать определение производной экспоненты в точке 0 : .

Это равенство нам понадобится сейчас для вывода формулы производной функции в любой точке.

 Работаем самостоятельно в группах. У каждой группы алгоритм вывода формулы производной с пропусками. Их необходимо заполнить.

 

Вывод формулы производной функции .

1.      Найти приращение функции: .

2.      Составить отношение : .

3.      Найти предел такого отношения при :

                                                    

4.      Сделать вывод: .

      Или, заменяя x0 на произвольную точку, получим: .

Проверяем вывод, комментируя по очереди с места и используя презентацию, в которой шаги 1-4 появляются друг за другом. Формулу производной записать в тетрадь.

 

 

Вывод формулы производной функции .

На экране алгоритм вывода с пропусками. На столах такие же алгоритмы с пропусками.  Заполняем их вместе, по цепочке, с комментированием. При этом на экране появляются нужные выкладки в пропущенных местах.

1.        Записать число а в виде степени числа е, используя основное логарифмическое тождество: .

2.        Записать функцию , используя п.1: .

3.        Найти производную этой функции, пользуясь формулой производной сложной функции: .

4.        Сделать вывод: .

 

В тетрадь записать формулу.

 

IV. Первичное закрепление изученного. (15 мин.)

 

№ 1

(фронтальная работа).

Найти производные (по одному учащемуся у доски).

А) ;

Б)

в) ;

(работа в группах, проверка ответов по таблице на слайде)

Г) .

д) ;

е) ;

ж)

 

 Данные во второй строке таблицы появляются по щелчку мыши по очереди. После окончания решений появляется строка с буквами.

 

 

а

б

в

г

д

е

ж

Х

М

А

Д

Е

Р

И

 

Ошибочным ответам соответствуют буквы, не входящие в ключевое слово

                  

*

*

*

*

К

О

С

П

 

 

                Из букв составляем слово: «Архимед». (Архимед высказал идею упрощения вычислений, сопоставив арифметическую и геометрическую прогрессии, что привело в конечном счёте к открытию логарифмов.)

 

 

 

V.                Информация о домашнем задании. (1 мин.)

 

Обязательный уровень:      П. 41 (учебник Колмогорова), №539(а,г).                                                         №540(а,б)

      Дополнительно: №144(7,9),с. 87 (учебник Виленкина).

 

VI.             Итог урока. (1-2 мин.)

С какими понятиями вы сегодня познакомились? Чему научились?

Какие трудности возникли на уроке?

Что нужно сделать, чтобы преодолеть эти трудности?

 

Литература.

 

  1. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 кл. средней школы / А.Н.Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.: Под ред. А.Н. Колмогорова. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1995. – 320с.
  2. Виленкин Н.Я.и др. Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учебное пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики / Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд.-5-е изд.-М.: Просвещение, 1996.-288с.
  3. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике /М.Я. Выгодский.- М.: Наука, 1998.- 416с.
  4. Елизаветина Т. М. Компьютерные презентации: от риторики до слайд-шоу. –М.: КУДИЦ-ОБРАЗ, 2003. – 240с.
  5. Жарковская Н. История логарифмов: Неперовы логарифмы / Н. Жарковская // Математика.  – 2009. - №10. – с. 24-25
  6. Прокопчик Л. Групповая форма работы // Математика.  – 2009. - №9. – с. 21-23
  7. Удалова Л. Советы по созданию эффективной презентации к уроку математики // Математика.  – 2008. - №15. – с. 23-25
  8. Шень А. Логарифм и экспонента // Математика.  – 2009. - №2. – с. 43-46, №3. – с.42-47

 

 

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Урок математики (проблемно-эвристический) по теме: «Число е. Понятие натурального логарифма. Производная показательной функции»."

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 2 месяца

Директор по маркетингу

Получите профессию

Секретарь-администратор

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Краткое описание документа:

Урок математики (проблемно-эвристический) по теме: «Число е. Понятие натурального логарифма. Производная показательной функции».

 

Цели и задачи урока:

1) ввести понятия: «число е», «натуральный логарифм» «экспонента»;

2) формировать умение находить производную показательной функции;

3) развивать логическое мышление, математическую речь;

4) развивать умение выражать свою точку зрения, умение работать в группах;

5) воспитывать интерес к предмету, внимательность, чуткое отношение друг к другу.

 

 

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 625 842 материала в базе

Скачать материал

Другие материалы

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 18.01.2015 2477
    • DOCX 147 кбайт
    • 14 скачиваний
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Карпенко Елена Анатольевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Карпенко Елена Анатольевна
    Карпенко Елена Анатольевна
    • На сайте: 9 лет и 5 месяцев
    • Подписчики: 1
    • Всего просмотров: 32350
    • Всего материалов: 8

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Няня

Няня

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс повышения квалификации

Особенности подготовки к проведению ВПР в рамках мониторинга качества образования обучающихся по учебному предмету "Математика" в условиях реализации ФГОС ООО

72 ч. — 180 ч.

от 2200 руб. от 1100 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 208 человек из 53 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика и информатика: теория и методика преподавания в профессиональном образовании

Преподаватель математики и информатики

500/1000 ч.

от 8900 руб. от 4450 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 44 человека из 22 регионов

Курс повышения квалификации

Ментальная арифметика. Сложение и вычитание

36 ч. — 144 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 1354 человека из 85 регионов

Мини-курс

Дизайн-проектирование: теоретические и творческие аспекты дизайна

6 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Классики и современники: литературные портреты и психология творчества

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 24 человека из 16 регионов

Мини-курс

Социальная и поведенческая психология

6 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 24 человека из 13 регионов