Урок математики (проблемно-эвристический) по теме: «Число е. Понятие натурального логарифма. Производная показательной
функции».
Цели и задачи
урока:
1) ввести понятия:
«число е», «натуральный логарифм» «экспонента»;
2) формировать
умение находить производную показательной функции;
3) развивать
логическое мышление, математическую речь;
4) развивать умение
выражать свою точку зрения, умение работать в группах;
5) воспитывать
интерес к предмету, внимательность, чуткое отношение друг к другу.
Оборудование: интерактивная доска, компьютерная презентация, дидактические
карточки.
Ход
урока.
I.
Организационный момент.
(1 мин.)
Приветствие.
Пожалуйста, настройтесь на работу. Сегодня на уроке нам понадобится внимание,
умение мыслить логически, строить предположения и доказывать их.
II.
Постановка целей и задач урока. (4 мин.)
Совсем
недавно мы познакомились с показательной и логарифмической функциями. Эти
функции применяются во многих областях физики, химии и других наук. В частности
логарифмы с особым основанием могут характеризовать естественные процессы.
А
чем отличаются друг от друга логарифмические и показательные функции? (Основанием.
Каждая из этих функций связана с каким-то положительным числом, называемым
основанием функции).
Как
вы думаете, с чем может быть связана тема нашего урока? (Учащиеся строят
предположения).
Сегодня
на уроке мы познакомимся с числом, которое может быть основанием показательной
и логарифмической функций, а также само по себе играет большую роль в
математике, физике и других науках.
Ещё
мы вместе выведем формулу производной показательной функции и будем применять
полученные знания при решении задач.
Откройте
тетради и запишите тему урока.
III. Открытие нового знания.
- Исторические
сведения. (7 мин.)
(Слайд)
В конце
XVI века шотландский любитель математики Джон Непер и
швейцарский часовщик, мастер астрономических приборов Иоганн Бюрги, независимо
один от другого занимались сравнением арифметической и геометрической
прогрессий:
0,
|
1,
|
2,
|
3,
|
4,
|
…
|
y,
|
y+1
|
1,
|
,
|
,
|
,
|
,
|
|
,
|
|
Оба
математика искали такое число в качестве основания степени, чтобы второй ряд
был «гуще», т.е. разность между двумя соседними членами
была по абсолютному значению возможно меньше.
Давайте представим,
как же можно было решить эту проблему.
Вопрос: Как вы думаете, при каком значении основания все члены второго ряда равны
между собой? (При ).
Но
для нас важно, чтобы все эти числа не были одинаковыми, а были близки между
собой. Какое же основание нужно взять? (Близкое к 1).
Поэтому оба учёных
взяли числа, близкие к 1.
(Слайд): (Бюрги);
(Непер).
Они составили
таблицы степеней этих чисел, правда, славу таблицы принесли только Неперу
(Бюрги создал свой труд раньше, но опубликовал позднее).
А как вы думаете,
какие ещё числа можно было взять? (Например, и т.д.)
В начале XVII
века Леонард Эйлер выразил общий вид таких чисел. (Слайд).
В честь Эйлера
число стали называть буквой «е», но его
также называют «неперовым числом».
В XIX веке было доказано, что это число иррационально и не может быть корнем
никаких алгебраических уравнений (т.е. трансцендентно).
Число е входит
в большое число различных формул самых разных областей науки. Сейчас найдено
более 2000 знаков этого числа.
На экране: (запишите в тетради).
Мнемоническое
правило: сначала 2 и 7, потом дважды дата рождения
Л.Н. Толстого, затем углы равнобедренного прямоугольного треугольника.
2. Введение
понятий «экспонента», «натуральный логарифм». (3 мин.)
Задание: составить две функции – показательную и логарифмическую с основанием е.
(Выполняют в тетрадях, затем один человек записывает на доске.)
На экране:
Логарифмы по
основанию е выражают математическую зависимость, которая характеризует
разнообразные химические, физические и др. процессы. По-видимому, этим и
объясняется название «натуральные логарифмы», т.е. естественные.
3. Вывод формул
производной показательной функции. (12-13 мин.)
Оказывается, что
экспонента обладает рядом интересных свойств.
Сейчас мы
познакомимся с одним из этих замечательных свойств. Для этого нам необходимо
вспомнить некоторые факты о производной.
Задание:
Сформулировать определение производной. Объяснить геометрический смысл
производной в точке. (Самостоятельное повторение).
(Слайд):
По очереди появляются:
А) график функции y=2x и
касательной к нему в точке x=0.
Учитель сообщает: Угол, образованный
касательной с положительным направлением оси Ox, примерно равен 350;
Б) график функции y=3x и
касательной к нему в точке x=0. Учитель:
Соответствующий угол примерно равен 480.
Построение гипотезы: Какой табличный угол
заключён между данными? Чему равен его тангенс?
Можно предположить, что существует функция, для графика которой данный
угол равен 450.
В) Появляется график функции y=ex и касательная в точке x=0.
Вопрос: Как записать это свойство, используя
понятие производной? (строят предположения).
Далее
проверяем данные предположения, делаем вывод.
(Слайд):
, т.к. тангенс угла в 450 равен
1.
Вспомним
определение производной в точке.
Учащийся
у доски: .
В
нашем случае попробуйте записать определение производной экспоненты в точке 0 :
.
Это
равенство нам понадобится сейчас для вывода формулы производной функции в любой
точке.
Работаем
самостоятельно в группах. У каждой группы алгоритм вывода формулы
производной с пропусками. Их необходимо заполнить.
Вывод формулы производной функции .
1.
Найти приращение функции: .
2.
Составить отношение : .
3.
Найти предел такого отношения при :
4.
Сделать вывод: .
Или, заменяя x0 на
произвольную точку, получим: .
Проверяем
вывод, комментируя по очереди с места и используя презентацию, в которой шаги
1-4 появляются друг за другом. Формулу производной записать в тетрадь.
Вывод формулы производной функции .
На
экране алгоритм вывода с пропусками. На столах такие же алгоритмы с
пропусками. Заполняем их вместе, по цепочке, с комментированием. При этом на
экране появляются нужные выкладки в пропущенных местах.
1.
Записать число а в виде степени числа е,
используя основное логарифмическое тождество: .
2.
Записать функцию , используя п.1: .
3.
Найти производную этой функции, пользуясь формулой
производной сложной функции: .
4.
Сделать вывод: .
В
тетрадь записать формулу.
IV. Первичное закрепление изученного. (15 мин.)
№
1
(фронтальная
работа).
Найти
производные (по одному учащемуся у доски).
А)
;
Б)
в)
;
(работа в группах, проверка ответов по таблице на слайде)
Г)
.
д)
;
е)
;
ж)
Данные во
второй строке таблицы появляются по щелчку мыши по очереди. После окончания
решений появляется строка с буквами.
а
|
б
|
в
|
г
|
д
|
е
|
ж
|
|
|
|
|
|
|
|
Х
|
М
|
А
|
Д
|
Е
|
Р
|
И
|
Ошибочным ответам
соответствуют буквы, не входящие в ключевое слово
Из
букв составляем слово: «Архимед». (Архимед высказал идею упрощения вычислений,
сопоставив арифметическую и геометрическую прогрессии, что привело в конечном
счёте к открытию логарифмов.)
V.
Информация о домашнем задании. (1 мин.)
Обязательный
уровень: П. 41 (учебник Колмогорова), №539(а,г). №540(а,б)
Дополнительно: №144(7,9),с. 87 (учебник Виленкина).
VI.
Итог урока. (1-2 мин.)
С
какими понятиями вы сегодня познакомились? Чему научились?
Какие
трудности возникли на уроке?
Что
нужно сделать, чтобы преодолеть эти трудности?
Литература.
- Алгебра и начала
анализа. Учебник для 10-11 кл. средней школы / А.Н.Колмогоров, А.М.
Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.: Под ред. А.Н. Колмогорова. – 2-е изд. – М.:
Просвещение, 1995. – 320с.
- Виленкин Н.Я.и
др. Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учебное пособие для
учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики / Н.Я. Виленкин, О.С.
Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд.-5-е изд.-М.: Просвещение, 1996.-288с.
- Выгодский М. Я.
Справочник по элементарной математике /М.Я. Выгодский.- М.: Наука, 1998.-
416с.
- Елизаветина Т. М.
Компьютерные презентации: от риторики до слайд-шоу. –М.: КУДИЦ-ОБРАЗ,
2003. – 240с.
- Жарковская Н.
История логарифмов: Неперовы логарифмы / Н. Жарковская // Математика. –
2009. - №10. – с. 24-25
- Прокопчик Л.
Групповая форма работы // Математика. – 2009. - №9. – с. 21-23
- Удалова Л. Советы
по созданию эффективной презентации к уроку математики // Математика. –
2008. - №15. – с. 23-25
- Шень А. Логарифм
и экспонента // Математика. – 2009. - №2. – с. 43-46, №3. – с.42-47
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.