Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок по алгебре для 9 класса «Решение неравенств второй степени с одной переменной»
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Урок по алгебре для 9 класса «Решение неравенств второй степени с одной переменной»

библиотека
материалов


МКОУ СОШ №2 с.Эльхотово







Методическая разработка урока:

«Решение неравенств второй степени

с одной переменной»


Учебно-методический комплекс:


1. «Алгебра, 9 » Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков под редакцией С.А. Теляковского.

2. «Сборник задач по алгебре для 8 – 9 классов» М.Л. Галицкий,

А.М. Гольдман, Л.И. Звавич (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).

  1. «Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику 9 класса» Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк под редакцией Г.В. Дорофеева (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).

  2. Дидактические материалы по алгебре 9, Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк.





Подготовила учитель математики

МКОУ СОШ №2 с.Эльхотово

Салбиева З.А.






2013

Тип урока: изучение нового материала


Цели урока:

  • Формирование потребности приобретения новых знаний;

  • Развитие математической речи при комментировании решения;

  • Закрепление и углубление материала в процессе решения различных задач по теме.

Задачи урока:


  • Повторить и систематизировать ранее изученные способы решения неравенств второй степени;

  • Изучить новый способ решения неравенств второй степени;

  • Продолжить формирование навыков и умений анализировать и делать выводы.



Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор.



Урок проводится в 9 классе по программе углубленного изучения математики. В ходе урока с помощью мультимедийного проектора демонстрируются слайды, созданные учителем в программе Microsoft Power Point. Использование данной технологии позволяет значительно сэкономить время на уроке, продемонстрировать учащимся аккуратные, четкие рисунки к задачам, повысить уровень наглядности в ходе обучения и, наконец, просто внести элементы занимательности, оживить учебный процесс.


План урока:


  1. Организационный момент (1 мин).

  2. Разминка (4 мин).

  3. Проверка домашнего задания (3 мин).

  4. Подготовка к восприятию нового материала (4 мин).

  5. Изучение нового материала (10 мин).

  6. Закрепление (20 мин).

  7. Задание на дом (1 мин).

  8. Итог урока (2 мин).




Ход урока

  1. Организационный момент


  1. Разминка (устные упражнения)

Во время разминки двое учащихся у доски записывают решение неравенств, которые были заданы на дом. С остальными учащимися проводится разминка – решение неравенств и уравнений (слайд 1.1). На экране появляется условие. Все рассуждения, преобразования и вычисления учащиеся производят устно.

hello_html_m533df3a4.jpg














слайд 1.1

  • Решить уравнения:

  1. 2 = 0, х = 0;

  2. 2 – 10х = 0, х1 = 0, х2 = 2;

  3. х2 – 8х + 7 = 0, х1 = 1, х2 = 7;

  4. 16х2 – 8х + 1 = 0, х = 1/4.


  • Решить неравенства, используя формулу квадрата двучлена:

  1. х2 + 4х + 4 > 0, (х + 2)2 > 0, х – любое число, кроме -2;

  2. 2 – 12х + 18 ≤ 0, 2(х – 3)2 ≤ 0, (х – 3)2 ≤ 0, х = 3;

  3. х2 – 8х + 16 < 0, (х – 4)2 < 0, решений нет;

  4. 2 + 6у + 1 ≥ 0, (3у + 1)2 ≥ 0, у – любое число.


  • Что можно сказать о количестве корней уравнения ax2 + bx + c = 0 и знаке коэффициента a, если график квадратичной функции у = ax2 + bx + c расположен следующим образом (слайд 1.2).

hello_html_250362ac.jpg














слайд 1.2

  1. Проверка домашнего задания

Учащиеся, которые были вызваны к доске перед разминкой, объясняют свои действия в процессе решения неравенств. В ходе проверки вспоминаем способы решения неравенств выделением квадрата двучлена и разложением на множители.

  • а) Выделением квадрата двучлена х2 + 6х - 16 < 0 (1-й ученик)

  • б) Разложением на множители 2 + 4у - 4 > 0 (2-й ученик)

Решение:

а) х2 + 6х - 16 < 0, б)2 + 4у - 4 > 0.

х2 + 6х + 9 - 25 < 0, 3у2 + 4у - 4 = 0,

(х + 3)2 - 25 < 0, Д = 16 - 4∙3∙(-4) = 64.

(х + 3)2 < 25, у1 = (-4 + 8)/6 = 2/3, у2 = (-4 - 8)/6 = -2.

|х + 3| < 5, 3(у - 2/3)(у + 2) > 0,

-5 < х + 3 < 5, (у - 2/3)(у + 2) > 0.

-8 < х < 2. Неравенство равносильно совокупности двух

Ответ: (-8; 2). систем:

hello_html_2ac7fd01.gifhello_html_2ac7fd01.gifу - 2/3 > 0, или у - 2/3 < 0,

у + 2 > 0. у + 2 < 0.

hello_html_7fb3c877.gifhello_html_7fb3c877.gif у > 2/3, или у < 2/3,

у > -2. у < -2.

у > 2/3. у < -2.

Ответ: (-∞; -2) U (2/3; + ∞).

  1. Подготовка к восприятию нового материала.

Ребята, сегодня мы рассмотрим ещё один способ решения неравенств второй степени с одной переменной: с использованием графика квадратичной функции.

Для этого вспомним ещё раз основные понятия, связанные с ней.

(проводится фронтальный опрос)

  1. Какая функция называется квадратичной?

  2. Что является графиком квадратичной функции?

  3. Как определить направление ветвей параболы?

  4. Что такое нули функции?

  5. Как найти нули функции?

  6. Назовите промежутки знакопостоянства функции, если её график расположен следующим образом (слайды 2; 3; 4).


hello_html_m6901293e.jpg













сhello_html_md947655.jpgлайд 2














слайд 3



hello_html_39f3f23f.jpg













слайд 4

  1. Изучение нового материала.

Решение неравенства второй степени с одной переменной можно рассматривать как нахождение промежутков, в которых соответствующая квадратичная функция принимает положительные или отрицательные значения.

Например:

  1. 2 + 9х - 2 < 0.

Рассмотрим функцию у = 5х2+ 9х - 2.

Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх.

Выясним, как расположена эта парабола относительно оси х.

Нули функции: 2 + 9х - 2 = 0,

Д = 121,

х1 = 0,2; х2 = -2.

Построим схематически параболу в координатной плоскости (слайд 5).

hello_html_65112896.jpg













слайд 5


Из рисунка видно, что функция принимает отрицательные значения на промежутке (-2; 0,2).

Следовательно, множеством решений неравенства является промежуток

(-2; 0,2).

Ответ: (-2; 0,2).

2) -х2 + 8х - 16 < 0.

Графиком функции у = -х2+ 8х - 16 является парабола, ветви которой направлены вниз.

Нули функции: 2 + 8х - 16 = 0.

- (х – 4)2 = 0

х = 4.

Из рисунка видно (слайд 6), что функция принимает отрицательные значения на промежутках (- ∞; 4) и (4; + ∞).

Ответ: х – любое число, не равное 4.


hello_html_m74d1f35f.jpg













слайд 6

Заметим, что при рассмотренном способе решений неравенств нас не интересует вершина параболы. Важно лишь знать, куда направлены ветви параболы – вверх или вниз и каковы абсциссы точек её пересечения с осью х.

3) х2- 3х+ 4 > 0.

Рассмотрим функцию у = х2 - 3х + 4. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх.

Нули функции: х2 - 3х + 4 = 0,

Д = 9 -16 = -7.

Д < 0, корней нет.

Из рисунка видно (слайд 7), что функция принимает положительные значения при любом значении х.

Ответ: х – любое число.




hello_html_2e7bca6c.jpg













слайд 7

Ребята вместе с учителем делают вывод:

Итак, для решения неравенств вида ах2 + bх + с > 0 и ах2 + bх + с < 0 поступают следующим образом:

1) находят дискриминант квадратного трехчлена и выясняют, имеет ли трехчлен корни;

2) если трехчлен имеет корни, то отмечают их на оси х и через отмеченные точки проводят схематически параболу, ветви которой направлены вверх при

а > 0 или вниз при а < 0; если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при а > 0 или в нижней при а < 0;

3) находят на оси х промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси х (если решают неравенство ах2+ bх + с > 0) или ниже оси х (если решают неравенство aх2 + bх + с < 0) (слайд 8).


hello_html_m35087991.jpg













слайд 8

  1. Закрепление.

114(в, д), № 115(а) – учебник под редакцией С.А. Теляковского.

8.96(в), № 8.111(а) – сборник задач по алгебре, М.Л. Галицкий и др..

Рhello_html_m9534073.gifешение: № 8.96(в)

Найти область определения функции у = 2 + 6 х + 1/(3х + 5).

hello_html_2ac7fd01.gifД(у) = 5х2 + 6х + 1 ≥ 0,

3х + 5 ≠ 0.

  1. 2 + 6х + 1 0.

Рассмотрим функцию у = 5х2 + 6х + 1

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх.

Нули функции: 2 + 6х + 1 = 0, Д = 16, х1 = -0,2; х2 = -1.

hello_html_m5ab5fd07.gifу

hello_html_m308d21e4.gif


hello_html_6ac59c09.gif0 х

-1 -0,2

Из рисунка видим, что у ≥ 0 на промежутках (- ∞; -1] и [ - 0,2; + ∞ ).

  1. 3hello_html_143b393f.gifhello_html_m7eaa7d36.gifhello_html_m7eaa7d36.gifhello_html_m7eaa7d36.gifhello_html_1fdc0cc3.gifhello_html_6fabedd9.gifhello_html_m3ef944b9.gifх+5 ≠ 0, 3)

х ≠ -5/3. -5/3 -1 -0,2 х

Ответ: Д (у) = (-∞; -5/3), (-5/3; -1] и [ - 0,2; + ∞ ).

8.111(а). При каких значениях а решением неравенства

х2 - (а + 2) х + 8а+ 1 > 0 является любое число?

Решение: Рассмотрим функцию у = х2 - (а + 2)х + 8а+ 1.

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх.

Решением неравенства является любое число, если уравнение

х2-(а+2)х + 8а+ 1 = 0 не имеет корней.

Найдём те значения а, при которых уравнение корней не имеет.

Д = (а + 2)2- 4(8а + 1) = а2 - 28а.

Квадратное уравнение не имеет корней, если Д < 0, а2 - 28а < 0.

Рассмотрим функцию f(x) = а2 - 28а.

Гhello_html_70b08afe.gifрафиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх.

Нули функции: а2 - 28а = 0, у

hello_html_700aa25c.gifа(а - 28) = 0,

а = 0 или а = 28.

hello_html_3c0018f9.gif0 28 х f(x) < 0 на промежутке (0;28).

Следовательно, уравнение х2 - (а + 2)х + 8а + 1 = 0 при а є (0;28) корней не имеет, а решением неравенства х2 - (а + 2)х + 8а + 1>0 является л. ч.

Ответ: (0; 28).

  1. Задание на дом.

п.8, № 116(а,в), № 121(а) – учебник «Алгебра,9» Ю.Н. Макарычев

8.98(в), № 8.111(в) – сборник задач М.Л. Галицкого и др.

  1. Итог урока.


Краткое описание документа:

 

Методическая разработка урока:

«Решение неравенств второй степени

с одной переменной»

 

 

 

Учебно-методический комплекс:

 

     1.   «Алгебра, 9 » Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков под редакцией С.А. Теляковского.                                                 

     2.   «Сборник задач по алгебре для 8 – 9 классов»   М.Л. Галицкий, 

           А.М. Гольдман, Л.И. Звавич (учебное пособие для учащихся школ и                 классов с  углубленным изучением математики).                                                            

3. «Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику  9 класса» Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк под редакцией Г.В. Дорофеева (учебное пособие для учащихся школ и классов с  углубленным изучением математики). 

4.Дидактические материалы  по алгебре 9, Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк.          

                                               

 

 

 

 

Подготовила учитель математики

 МКОУ СОШ №2 с.Эльхотово

Салбиева З.А.

 

 

 

 

 

2013

Тип урока: изучение нового материала

 

Цели урока: 

•Формирование потребности приобретения новых знаний;

•Развитие математической речи при комментировании решения;

•Закрепление и углубление материала в процессе решения различных задач по теме.

Задачи урока:

 

•Повторить и систематизировать ранее изученные способы решения неравенств второй степени;

•Изучить новый способ решения неравенств второй степени;

•Продолжить формирование навыков и умений анализировать и делать выводы.

 

 

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор.

 

 

Урок проводится в 9 классе по программе углубленного изучения математики. В ходе урока с помощью мультимедийного проектора демонстрируются слайды, созданные учителем в программе Microsoft Power Point. Использование данной технологии позволяет значительно сэкономить время на уроке, продемонстрировать учащимся аккуратные, четкие рисунки к задачам, повысить уровень наглядности в ходе обучения и, наконец, просто внести элементы занимательности, оживить учебный процесс.  

 

План урока:

 

1.Организационный момент (1 мин).

2.Разминка (4 мин).

3.Проверка домашнего задания (3 мин).

4.Подготовка к восприятию нового материала (4 мин).

5.Изучение нового материала (10 мин).

6.Закрепление (20 мин).

7.Задание на дом (1 мин).

8.Итог урока (2 мин).

 

 

 

Ход урока

1.Организационный момент 

 

2.Разминка (устные упражнения)

Во время разминки двое учащихся у доски записывают решение  неравенств, которые были заданы на дом. С остальными учащимися проводится разминка – решение неравенств и уравнений (слайд 1.1). На экране появляется условие. Все рассуждения, преобразования и вычисления учащиеся производят  устно. 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

слайд 1.1

•Решить  уравнения:  

1)2х2 = 0,                      х = 0;

2)5х2 – 10х = 0,            х1 = 0,  х2 = 2;

3)х2 – 8х + 7 = 0,          х1 = 1,  х2 = 7;

4)16х2 – 8х + 1 = 0,      х = 1/4.

 

•Решить неравенства, используя формулу квадрата двучлена:

1)х2 + 4х + 4 > 0,              (х + 2)2 > 0,  х – любое число, кроме -2;

2)2х2 – 12х + 18 ≤ 0,        2(х – 3)2 ≤ 0,  (х – 3)2 ≤ 0,  х = 3;

3)х2 – 8х + 16 < 0,           (х – 4)2 < 0,  решений нет; 

4)9у2 + 6у + 1 ≥ 0,           (3у + 1)2 ≥ 0,  у – любое число.

 

•Что можно сказать о количестве корней уравнения ax2 + bx + c = 0 и знаке коэффициента a, если график квадратичной функции у = ax2 + bx + c расположен следующим образом (слайд 1.2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

слайд 1.2

3.Проверка домашнего задания 

Учащиеся, которые были вызваны к доске перед разминкой, объясняют свои действия в процессе решения неравенств. В ходе проверки вспоминаем способы решения неравенств выделением квадрата двучлена и разложением на множители.

•а) Выделением квадрата двучлена х2 + 6х - 16 < 0 (1-й ученик)

•б) Разложением на множители 3у2 + 4у - 4 > 0   (2-й ученик)

Решение: 

а) х2 + 6х - 16 < 0,б)  3у2 + 4у - 4 > 0.

    х2 + 6х + 9 - 25 < 0, 3у2 + 4у - 4 = 0,

   (х + 3)2 - 25 < 0,Д = 16 - 4∙3∙(-4) = 64.

   (х + 3)2 < 25,у1 = (-4 + 8)/6 = 2/3, у2 = (-4 - 8)/6 = -2.

   |х + 3| < 5,3(у - 2/3)(у + 2) > 0,

  -5 < х + 3 < 5,(у - 2/3)(у + 2) > 0.

    -8 < х < 2.Неравенство равносильно совокупности двух

Ответ: (-8; 2).систем:

у - 2/3 > 0,     или       у - 2/3 < 0,

у + 2 > 0.   у + 2 < 0.

  у > 2/3,      или     у < 2/3,

  у > -2.     у < -2.

у > 2/3.   у < -2.

Ответ: (-∞; -2) U (2/3; + ∞).

4.Подготовка к восприятию нового материала. 

Ребята, сегодня мы рассмотрим ещё один способ решения неравенств второй степени с одной переменной: с использованием графика квадратичной функции.

Для этого вспомним ещё раз основные понятия, связанные с ней.

(проводится фронтальный опрос)

1.Какая функция называется квадратичной?

2.Что является графиком квадратичной функции?

3.Как определить направление ветвей параболы?

4.Что такое нули функции?

5.Как найти нули функции?

6.Назовите промежутки знакопостоянства функции, если её график расположен следующим образом  (слайды  2; 3; 4).       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

слайд 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

слайд 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

слайд 4

5.Изучение нового материала.

Решение   неравенства второй степени с одной переменной можно рассматривать как нахождение промежутков, в которых соответствующая квадратичная функция принимает положительные или отрицательные значения.

Например:

1)5х2 + 9х - 2 < 0.

  Рассмотрим функцию у = 5х2+ 9х - 2. 

Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх. 

Выясним, как расположена эта парабола относительно оси х.

Нули функции:  5х2 + 9х - 2 = 0,

                           Д = 121, 

                           х1 = 0,2;  х2 = -2.                          

Построим схематически параболу в координатной плоскости (слайд 5).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

слайд 5

 

Из рисунка видно, что функция принимает отрицательные значения на промежутке (-2; 0,2). 

Следовательно, множеством решений неравенства является промежуток 

(-2; 0,2).

Ответ: (-2; 0,2).

  2)  -х2 + 8х - 16 < 0.

  Графиком функции у = -х2+ 8х - 16 является парабола, ветви которой   направлены вниз.

Нули функции: -х2 + 8х - 16 = 0.

                           - (х – 4)2 = 0

                            х = 4.

Из рисунка видно (слайд 6), что функция принимает отрицательные значения на промежутках (- ∞; 4) и (4; + ∞).

Ответ: х – любое число, не равное 4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

слайд 6

Заметим, что при рассмотренном способе решений неравенств нас не интересует вершина параболы. Важно лишь знать, куда направлены ветви параболы – вверх или вниз и каковы абсциссы точек её пересечения с осью х.

3)   х2- 3х+ 4 > 0.

 Рассмотрим функцию у = х2 - 3х + 4. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх.

Нули функции: х2 - 3х + 4 = 0,

                          Д = 9 -16 = -7. 

                        Д < 0,   корней нет.

 Из рисунка видно (слайд 7), что функция принимает положительные значения при любом значении х.

  Ответ: х – любое число.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

слайд 7

Ребята вместе с учителем делают вывод: 

Итак, для решения неравенств вида ах2 + bх + с > 0  и  ах2 + bх + с < 0  поступают следующим образом:

1) находят дискриминант квадратного трехчлена и выясняют, имеет ли трехчлен  корни;

2) если трехчлен имеет корни, то отмечают их на оси х и через отмеченные точки проводят схематически параболу, ветви которой направлены вверх при 

а > 0 или вниз при а < 0; если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при а > 0 или в нижней при а < 0;

3) находят на оси х промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси  х (если решают неравенство ах2+ bх + с > 0) или ниже оси х (если решают неравенство  aх2 + bх + с < 0) (слайд 8).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

слайд 8

6.Закрепление.

№ 114(в, д), № 115(а) – учебник под редакцией С.А. Теляковского.

№ 8.96(в), № 8.111(а) – сборник задач по алгебре, М.Л. Галицкий и др..

Решение:  № 8.96(в)

Найти область определения функции у = √ 5х2 + 6 х + 1/(3х + 5).

        Д(у) =  5х2 + 6х + 1 ≥  0,

                               3х + 5 ≠ 0.

1)5х2 + 6х + 1 ≥ 0.

Рассмотрим функцию у = 5х2 + 6х + 1

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх.

Нули функции: 5х2 + 6х + 1 = 0,   Д = 16,  х1 = -0,2;  х2 = -1.

                              у

 

 

                             0                  х

          -1               -0,2                          

Из рисунка видим, что у ≥ 0  на промежутках (- ∞; -1]  и [ - 0,2; + ∞ ).

2)3х+5 ≠ 0,                 3) 

       х ≠ -5/3.             -5/3                -1             -0,2х

Ответ:  Д (у) = (-∞; -5/3), (-5/3;  -1]  и [ - 0,2; + ∞ ).

№8.111(а). При каких значениях а решением неравенства 

х2 - (а + 2) х + 8а+ 1 > 0 является  любое число?

Решение:  Рассмотрим функцию у = х2 - (а + 2)х + 8а+ 1.

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх.

Решением неравенства является любое число, если уравнение  

х2-(а+2)х + 8а+ 1 = 0 не имеет корней.

Найдём те значения а, при которых уравнение корней не имеет.

Д = (а + 2)2- 4(8а + 1) = а2 - 28а.

Квадратное уравнение не имеет корней, если Д < 0,  а2 - 28а < 0.

Рассмотрим функцию f(x) = а2 - 28а.

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх.

Нули функции: а2 - 28а = 0,у

                          а(а - 28) = 0,

                         а = 0  или  а = 28.                                                               

                                                                                         0                 28    х      f(x) < 0 на промежутке (0;28).

Следовательно, уравнение х2 - (а + 2)х + 8а + 1 = 0 при а є (0;28) корней не имеет, а решением неравенства х2 - (а + 2)х + 8а + 1>0 является л. ч.  

Ответ: (0; 28).

7.Задание на дом.

п.8, № 116(а,в), № 121(а) – учебник «Алгебра,9»  Ю.Н. Макарычев

№ 8.98(в), № 8.111(в) – сборник задач М.Л. Галицкого и др.

8.Итог урока.

 

 

Автор
Дата добавления 12.01.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров577
Номер материала 289048
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх