Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок по геометрии на тему "Объём шара" (2 курс)
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Урок по геометрии на тему "Объём шара" (2 курс)

библиотека
материалов

ОБЪЁМ ШАРА

Некрасова Н.А., ГБОУ РХ НПО «ПУ-15» с. Бея

Цель:

  • вывести формулу объёма шара, проверить степень усвоения основного теоретического материала, умение применять формулы при решении задач; способствовать развитию представления о телах вращения и их применении в окружающем мире, установлению связи между теорией и практикой, закреплению навыков решения задач по теме; развивать умение применять полученные знания при решении нестандартных задач;

  • способствовать развитию творческого мышления, пространственного мышления при решении задач;

  • воспитывать ответственность, коммуникабельные качества, объективность в самооценке результатов работы.

Оборудование: компьютер, проектор, презентация, модели шаров.

Эпиграф: Образование есть то, что остаётся, когда всё выученное уже забыто (М. Лауэ)


Ход урока


  1. Организационный момент (приветствие, определение отсутствующих, организация внимания)

- Сегодня у нас на урок решения задач творческого и практического содержания по теме «Объём шара». Сформулируйте каждый для себя цель урока.

Предполагаемые ответы:

- Вывести формулу объёма шара. Применение этой формулы при решении задач.

- Применение формулы объёма шара при решении не сложных задач.

- Применение формулы объёма шара при решении более сложных задач и задач практического содержания.

- Итак, цель сегодняшнего урока - вывести формулу объёма шара и её применение в окружающем мире. Девизом урока будут слова французского инженера-физика М. Лауэ «Образование есть то, что остаётся, когда всё выученное уже забыто».

2. Актуализация полученных знаний

Теоретический опрос (фронтальная работа)

Вспомните, определение шара и его элементов.

Шаром называется множество всех точек пространства, находящихся от данной точки на расстоянии, не больше данного R.

Радиусом шара называют всякий отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности.

Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром шара.

Концы любого диаметра шара называются диаметрально противоположными точками шара. Отрезок, соединяющий две любые точки шаровой поверхности и не являющийся диаметром шара, называют хордой шара.

3.Изучение новой темы

Сегодня мы с вами выведем формулу для вычисления объема шара.

Теорема: Объем шара равен http://doc4web.ru/uploads/files/65/65904/hello_html_56dcee25.gif

Доказательство:

Мы уже знаем, что можно вычислять  объёмы  тел с помощью интегральной формулы

V=http://doc4web.ru/uploads/files/65/65904/hello_html_m166e2764.gif

Давайте посмотрим, как это можно сделать для вывода формулы  объема   шара.

(Учитель объясняет вывод формулы  объёма   шара  с помощью формулы, ученики делают записи в тетрадях).

Рассмотрим шар радиуса R с центром в точке О и выберем ось ОХ произвольным образом (рис192).Сечение шара плоскостью, перпендикулярной к оси ОХ и проходящий через точку М этой оси, является кругом с центом в точке М. Обозначим радиус этого круга через r, а его площадь через S(х), где х абсцисса точки М. Выразим S(х) через х и R. Из прямоугольного треугольника ОМС находим  http://doc4web.ru/uploads/files/65/65904/hello_html_1fe9be57.gif. Тогда http://doc4web.ru/uploads/files/65/65904/hello_html_11e62694.gif, где http://doc4web.ru/uploads/files/65/65904/hello_html_m2eed2d37.gifhttp://doc4web.ru/uploads/files/65/65904/hello_html_3d877348.gif

Так как  http://doc4web.ru/uploads/files/65/65904/hello_html_1d76fc43.gif, то заменяя r через выражение  http://doc4web.ru/uploads/files/65/65904/hello_html_mfd018d9.gif   получим http://doc4web.ru/uploads/files/65/65904/hello_html_3e273d84.gif  

Заметим, что эта формула верна для любого положения точки М на диаметре АВ, т.е. для всех х, удовлетворяющих условию http://doc4web.ru/uploads/files/65/65904/hello_html_m2eed2d37.gif

Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при а= -R, b=R, получим

  http://doc4web.ru/uploads/files/65/65904/hello_html_3cb61823.gif

Теорема доказана.

 В практических приложениях часто указывается диаметр шара, поэтому в процессе решения задач полезно знать формулу http://doc4web.ru/uploads/files/65/65904/hello_html_m25200352.gif, где D – диаметр шара

4.Формирование умений и навыков учащихся.

 ПРОБЛЕМНАЯ ЗАДАЧА: При уличной торговле арбузами весы отсутствовали. Однако выход был найден: арбуз диаметром 3 дм приравнивали по стоимости к трём арбузам диаметром 1 дм.

Что вы возьмете? Правы ли были продавцы 

Решение:

 Необходимо найти объемы данных арбузов.

http://doc4web.ru/uploads/files/65/65904/hello_html_m2d2b50cf.gif

http://doc4web.ru/uploads/files/65/65904/hello_html_m36c1520d.gifи таких арбузов три, значит их общий объем равен http://doc4web.ru/uploads/files/65/65904/hello_html_8d61315.gif

   Задача (Архимеда): На надгробном камне могилы Архимеда в Сиракузах изображен цилиндр с вписанным в него шаром. Это символ открытия формул объема шара и площади сферы, а также важного вывода, что «объем шара, вписанного в цилиндр в …раз меньше объема цилиндра и что также относятся площади поверхностей этих тел». Найдите отношение объема цилиндра к объему шара и отношение площади поверхности цилиндра к площади поверхности шара.

 Дано: в цилиндр вписан шар

Найти: отношение объёмов цилиндра и шара, отношение площадей поверхностей

 РЕШЕНИЕ:

http://doc4web.ru/uploads/files/65/65904/hello_html_1467b6d7.gif

http://doc4web.ru/uploads/files/65/65904/hello_html_m6113ca07.gif

                                                                                                                               Ответ:1,5

Одним из своих наивысших достижений Архимед считал доказательство того, что объём шара в полтора раза меньше объёма описанного около него цилиндра. Недаром шар, вписанный в цилиндр, был высечен на надгробии Архимеда в Сиракузах.

Задача.Площадь поверхности шара уменьшили 9 раз. Во сколько раз уменьшился объем шара?

Решение:       

Пусть радиус первого шара R, а уменьшенного r.

Поверхность шара  S1 = 4пR2,    стала  S2 = 4пR2/9 = 4п (R/3)2 = 4пr2  

Видим, что r =http://doc4web.ru/uploads/files/65/65904/hello_html_m6821ca54.gif, т.е. радиус уменьшился в 3 раза.

Объем V1= 4/3 ПR3,   а объем V2= 4/3 пr3 = 4/3 п(R/3)3 =4/3 пR3 /27  =  V1 / 27.

Ответ:27


5.ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА «Вычисление объёма полушария»

Учащиеся получают модель полушария.

Задание: Выполнить необходимые измерения и вычислить объём полушария.

Измерения и вычисления проверяются сразу на уроке, используя формулы в данной программ.

6.Математический диктант

1. Вычислите объем шара, если его радиус R = 6 см. [R = 5 см].

2. Вычислите диаметр шара, если его объем V = 36π. [V= 32π/3].

3. Объем шара равен 256π/3 см3.  [288π см3]. Найдите площадь большего круга [длину окружности большего круга].

4. В цилиндр вписан шар радиуса R = 1 [R = 2]. Найдите отношение Vцил. : Vшара [Vшара : Vцил.].

Ответы к математическому диктанту:

Вариант I  1. 228π;           2. 3;     3. 16π;      4. http://compendium.su/mathematics/geometry11/geometry11.files/image2245.jpg

Вариант II 1. 500π/3;       2. 2;     3. 12π;      4. http://compendium.su/mathematics/geometry11/geometry11.files/image2246.jpg

7.Итог урока

 Оценить работу учащихся на уроке и выставить оценки.

 Диагностика (рефлексия).

На сегодняшнем уроке мы с вами вывели формулу  объема шара, выяснили, что данные тела имеют широкое практическое применение и сделали небольшое открытие, которое еще в 3 веке до нашей эры сделал Архимед.

Беседа по следующим вопросам:

Что было интересного сегодня на уроке?

Что вызвало трудности?

Какие умения приобрели сегодня?

Где могут пригодиться эти умения?

 Домашнее задание.




Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Краткое описание документа:

Урок изучения нового материала по геометрии на тему "Объём шара" (2 курс). Главная образовательная цель данного урока - вывести формулу объёма шара и проверить степень усвоения теоретического материала при решении задач. Студенты сами для себя ставят цели, далее следует актуализация полученных знаний при фронтальном опросе по теме "Определение шара и его элементов".

Изучение новой темы происходит при вычислении объёма с помощью интегральной формулы. При формировании умений и навыков используются проблемная задача и историческая задача Архимеда. Применяются сведения из истории математики.

Затем студенты выполняют практическую работу, в ходе которой проверяется умение выполнять необходимые измерения и вычисление объёма полушария. После математического диктанта подводится итог урока и рефлексия.

Автор
Дата добавления 13.05.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров828
Номер материала 527180
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх