- 13.05.2015
- 673
- 0
ОБЪЁМ ШАРА
Некрасова Н.А., ГБОУ РХ НПО «ПУ-15» с. Бея
Цель:
ü вывести формулу объёма шара, проверить степень усвоения основного теоретического материала, умение применять формулы при решении задач; способствовать развитию представления о телах вращения и их применении в окружающем мире, установлению связи между теорией и практикой, закреплению навыков решения задач по теме; развивать умение применять полученные знания при решении нестандартных задач;
ü способствовать развитию творческого мышления, пространственного мышления при решении задач;
ü воспитывать ответственность, коммуникабельные качества, объективность в самооценке результатов работы.
Оборудование: компьютер, проектор, презентация, модели шаров.
Эпиграф: Образование есть то, что остаётся, когда всё выученное уже забыто (М. Лауэ)
Ход урока
1. Организационный момент (приветствие, определение отсутствующих, организация внимания)
- Сегодня у нас на урок решения задач творческого и практического содержания по теме «Объём шара». Сформулируйте каждый для себя цель урока.
Предполагаемые ответы:
- Вывести формулу объёма шара. Применение этой формулы при решении задач.
- Применение формулы объёма шара при решении не сложных задач.
- Применение формулы объёма шара при решении более сложных задач и задач практического содержания.
- Итак, цель сегодняшнего урока - вывести формулу объёма шара и её применение в окружающем мире. Девизом урока будут слова французского инженера-физика М. Лауэ «Образование есть то, что остаётся, когда всё выученное уже забыто».
2. Актуализация полученных знаний
Теоретический опрос (фронтальная работа)
Вспомните, определение шара и его элементов.
Шаром называется множество всех точек пространства, находящихся от данной точки на расстоянии, не больше данного R.
Радиусом шара называют всякий отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности.
Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром шара.
Концы любого диаметра шара называются диаметрально противоположными точками шара. Отрезок, соединяющий две любые точки шаровой поверхности и не являющийся диаметром шара, называют хордой шара.
3.Изучение новой темы
Сегодня мы с вами выведем формулу для вычисления объема шара.
Теорема:
Объем шара равен 
Доказательство:
Мы уже знаем, что можно вычислять объёмы тел с помощью интегральной формулы
V=
Давайте посмотрим, как это можно сделать для вывода формулы объема шара.
(Учитель объясняет вывод формулы объёма шара с помощью формулы, ученики делают записи в тетрадях).
Рассмотрим
шар радиуса R с центром в точке О и выберем ось ОХ произвольным
образом (рис192).Сечение шара плоскостью, перпендикулярной к оси ОХ и
проходящий через точку М этой оси, является кругом с центом в точке М.
Обозначим радиус этого круга через r, а его площадь через S(х), где х
абсцисса точки М. Выразим S(х) через х и R. Из прямоугольного
треугольника ОМС находим 
.
Тогда 
,
где 
Так
как 
,
то заменяя r через выражение 
получим 
Заметим,
что эта формула верна для любого положения точки М на диаметре АВ, т.е. для
всех х, удовлетворяющих условию
Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при а= -R, b=R, получим
Теорема доказана.
В
практических приложениях часто указывается диаметр шара, поэтому в процессе
решения задач полезно знать формулу 
,
где D – диаметр шара
4.Формирование умений и навыков учащихся.
ПРОБЛЕМНАЯ ЗАДАЧА: При уличной торговле арбузами весы отсутствовали. Однако выход был найден: арбуз диаметром 3 дм приравнивали по стоимости к трём арбузам диаметром 1 дм.
Что вы возьмете? Правы ли были продавцы
Решение:
Необходимо найти объемы данных арбузов.
и
таких арбузов три, значит их общий объем равен 
Задача (Архимеда): На надгробном камне могилы Архимеда в Сиракузах изображен цилиндр с вписанным в него шаром. Это символ открытия формул объема шара и площади сферы, а также важного вывода, что «объем шара, вписанного в цилиндр в …раз меньше объема цилиндра и что также относятся площади поверхностей этих тел». Найдите отношение объема цилиндра к объему шара и отношение площади поверхности цилиндра к площади поверхности шара.
Дано: в цилиндр вписан шар
Найти: отношение объёмов цилиндра и шара, отношение площадей поверхностей
РЕШЕНИЕ:
Ответ:1,5
Одним из своих наивысших достижений Архимед считал доказательство того, что объём шара в полтора раза меньше объёма описанного около него цилиндра. Недаром шар, вписанный в цилиндр, был высечен на надгробии Архимеда в Сиракузах.
Задача.Площадь поверхности шара уменьшили 9 раз. Во сколько раз уменьшился объем шара?
Решение:
Пусть радиус первого шара R, а уменьшенного r.
Поверхность шара S1 = 4пR2, стала S2 = 4пR2/9 = 4п (R/3)2 = 4пr2
Видим,
что r =
,
т.е. радиус уменьшился в 3 раза.
Объем V1= 4/3 ПR3, а объем V2= 4/3 пr3 = 4/3 п(R/3)3 =4/3 пR3 /27 = V1 / 27.
Ответ:27
5.ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА «Вычисление объёма полушария»
Учащиеся получают модель полушария.
Задание: Выполнить необходимые измерения и вычислить объём полушария.
Измерения и вычисления проверяются сразу на уроке, используя формулы в данной программ.
6.Математический диктант
1. Вычислите объем шара, если его радиус R = 6 см. [R = 5 см].
2. Вычислите диаметр шара, если его объем V = 36π. [V= 32π/3].
3. Объем шара равен 256π/3 см3. [288π см3]. Найдите площадь большего круга [длину окружности большего круга].
4. В цилиндр вписан шар радиуса R = 1 [R = 2]. Найдите отношение Vцил. : Vшара [Vшара : Vцил.].
Ответы к математическому диктанту:
Вариант I 1.
228π; 2.
3; 3. 16π; 4. 
Вариант II 1. 500π/3;
2. 2; 3. 12π; 4. 
7.Итог урока
Оценить работу учащихся на уроке и выставить оценки.
Диагностика (рефлексия).
На сегодняшнем уроке мы с вами вывели формулу объема шара, выяснили, что данные тела имеют широкое практическое применение и сделали небольшое открытие, которое еще в 3 веке до нашей эры сделал Архимед.
Беседа по следующим вопросам:
Что было интересного сегодня на уроке?
Что вызвало трудности?
Какие умения приобрели сегодня?
Где могут пригодиться эти умения?
Домашнее задание.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Урок изучения нового материала по геометрии на тему "Объём шара" (2 курс). Главная образовательная цель данного урока - вывести формулу объёма шара и проверить степень усвоения теоретического материала при решении задач. Студенты сами для себя ставят цели, далее следует актуализация полученных знаний при фронтальном опросе по теме "Определение шара и его элементов".
Изучение новой темы происходит при вычислении объёма с помощью интегральной формулы. При формировании умений и навыков используются проблемная задача и историческая задача Архимеда. Применяются сведения из истории математики.
Затем студенты выполняют практическую работу, в ходе которой проверяется умение выполнять необходимые измерения и вычисление объёма полушария. После математического диктанта подводится итог урока и рефлексия.
6 663 403 материала в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Некрасова Неля Анатольевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
36 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Мини-курс
8 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.