Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок по геометрии на тему "Объём шара" (2 курс)

Урок по геометрии на тему "Объём шара" (2 курс)

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

ОБЪЁМ ШАРА

Некрасова Н.А., ГБОУ РХ НПО «ПУ-15» с. Бея

Цель:

  • вывести формулу объёма шара, проверить степень усвоения основного теоретического материала, умение применять формулы при решении задач; способствовать развитию представления о телах вращения и их применении в окружающем мире, установлению связи между теорией и практикой, закреплению навыков решения задач по теме; развивать умение применять полученные знания при решении нестандартных задач;

  • способствовать развитию творческого мышления, пространственного мышления при решении задач;

  • воспитывать ответственность, коммуникабельные качества, объективность в самооценке результатов работы.

Оборудование: компьютер, проектор, презентация, модели шаров.

Эпиграф: Образование есть то, что остаётся, когда всё выученное уже забыто (М. Лауэ)


Ход урока


  1. Организационный момент (приветствие, определение отсутствующих, организация внимания)

- Сегодня у нас на урок решения задач творческого и практического содержания по теме «Объём шара». Сформулируйте каждый для себя цель урока.

Предполагаемые ответы:

- Вывести формулу объёма шара. Применение этой формулы при решении задач.

- Применение формулы объёма шара при решении не сложных задач.

- Применение формулы объёма шара при решении более сложных задач и задач практического содержания.

- Итак, цель сегодняшнего урока - вывести формулу объёма шара и её применение в окружающем мире. Девизом урока будут слова французского инженера-физика М. Лауэ «Образование есть то, что остаётся, когда всё выученное уже забыто».

2. Актуализация полученных знаний

Теоретический опрос (фронтальная работа)

Вспомните, определение шара и его элементов.

Шаром называется множество всех точек пространства, находящихся от данной точки на расстоянии, не больше данного R.

Радиусом шара называют всякий отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности.

Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром шара.

Концы любого диаметра шара называются диаметрально противоположными точками шара. Отрезок, соединяющий две любые точки шаровой поверхности и не являющийся диаметром шара, называют хордой шара.

3.Изучение новой темы

Сегодня мы с вами выведем формулу для вычисления объема шара.

Теорема: Объем шара равен http://doc4web.ru/uploads/files/65/65904/hello_html_56dcee25.gif

Доказательство:

Мы уже знаем, что можно вычислять  объёмы  тел с помощью интегральной формулы

V=http://doc4web.ru/uploads/files/65/65904/hello_html_m166e2764.gif

Давайте посмотрим, как это можно сделать для вывода формулы  объема   шара.

(Учитель объясняет вывод формулы  объёма   шара  с помощью формулы, ученики делают записи в тетрадях).

Рассмотрим шар радиуса R с центром в точке О и выберем ось ОХ произвольным образом (рис192).Сечение шара плоскостью, перпендикулярной к оси ОХ и проходящий через точку М этой оси, является кругом с центом в точке М. Обозначим радиус этого круга через r, а его площадь через S(х), где х абсцисса точки М. Выразим S(х) через х и R. Из прямоугольного треугольника ОМС находим  http://doc4web.ru/uploads/files/65/65904/hello_html_1fe9be57.gif. Тогда http://doc4web.ru/uploads/files/65/65904/hello_html_11e62694.gif, где http://doc4web.ru/uploads/files/65/65904/hello_html_m2eed2d37.gifhttp://doc4web.ru/uploads/files/65/65904/hello_html_3d877348.gif

Так как  http://doc4web.ru/uploads/files/65/65904/hello_html_1d76fc43.gif, то заменяя r через выражение  http://doc4web.ru/uploads/files/65/65904/hello_html_mfd018d9.gif   получим http://doc4web.ru/uploads/files/65/65904/hello_html_3e273d84.gif  

Заметим, что эта формула верна для любого положения точки М на диаметре АВ, т.е. для всех х, удовлетворяющих условию http://doc4web.ru/uploads/files/65/65904/hello_html_m2eed2d37.gif

Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при а= -R, b=R, получим

  http://doc4web.ru/uploads/files/65/65904/hello_html_3cb61823.gif

Теорема доказана.

 В практических приложениях часто указывается диаметр шара, поэтому в процессе решения задач полезно знать формулу http://doc4web.ru/uploads/files/65/65904/hello_html_m25200352.gif, где D – диаметр шара

4.Формирование умений и навыков учащихся.

 ПРОБЛЕМНАЯ ЗАДАЧА: При уличной торговле арбузами весы отсутствовали. Однако выход был найден: арбуз диаметром 3 дм приравнивали по стоимости к трём арбузам диаметром 1 дм.

Что вы возьмете? Правы ли были продавцы 

Решение:

 Необходимо найти объемы данных арбузов.

http://doc4web.ru/uploads/files/65/65904/hello_html_m2d2b50cf.gif

http://doc4web.ru/uploads/files/65/65904/hello_html_m36c1520d.gifи таких арбузов три, значит их общий объем равен http://doc4web.ru/uploads/files/65/65904/hello_html_8d61315.gif

   Задача (Архимеда): На надгробном камне могилы Архимеда в Сиракузах изображен цилиндр с вписанным в него шаром. Это символ открытия формул объема шара и площади сферы, а также важного вывода, что «объем шара, вписанного в цилиндр в …раз меньше объема цилиндра и что также относятся площади поверхностей этих тел». Найдите отношение объема цилиндра к объему шара и отношение площади поверхности цилиндра к площади поверхности шара.

 Дано: в цилиндр вписан шар

Найти: отношение объёмов цилиндра и шара, отношение площадей поверхностей

 РЕШЕНИЕ:

http://doc4web.ru/uploads/files/65/65904/hello_html_1467b6d7.gif

http://doc4web.ru/uploads/files/65/65904/hello_html_m6113ca07.gif

                                                                                                                               Ответ:1,5

Одним из своих наивысших достижений Архимед считал доказательство того, что объём шара в полтора раза меньше объёма описанного около него цилиндра. Недаром шар, вписанный в цилиндр, был высечен на надгробии Архимеда в Сиракузах.

Задача.Площадь поверхности шара уменьшили 9 раз. Во сколько раз уменьшился объем шара?

Решение:       

Пусть радиус первого шара R, а уменьшенного r.

Поверхность шара  S1 = 4пR2,    стала  S2 = 4пR2/9 = 4п (R/3)2 = 4пr2  

Видим, что r =http://doc4web.ru/uploads/files/65/65904/hello_html_m6821ca54.gif, т.е. радиус уменьшился в 3 раза.

Объем V1= 4/3 ПR3,   а объем V2= 4/3 пr3 = 4/3 п(R/3)3 =4/3 пR3 /27  =  V1 / 27.

Ответ:27


5.ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА «Вычисление объёма полушария»

Учащиеся получают модель полушария.

Задание: Выполнить необходимые измерения и вычислить объём полушария.

Измерения и вычисления проверяются сразу на уроке, используя формулы в данной программ.

6.Математический диктант

1. Вычислите объем шара, если его радиус R = 6 см. [R = 5 см].

2. Вычислите диаметр шара, если его объем V = 36π. [V= 32π/3].

3. Объем шара равен 256π/3 см3.  [288π см3]. Найдите площадь большего круга [длину окружности большего круга].

4. В цилиндр вписан шар радиуса R = 1 [R = 2]. Найдите отношение Vцил. : Vшара [Vшара : Vцил.].

Ответы к математическому диктанту:

Вариант I  1. 228π;           2. 3;     3. 16π;      4. http://compendium.su/mathematics/geometry11/geometry11.files/image2245.jpg

Вариант II 1. 500π/3;       2. 2;     3. 12π;      4. http://compendium.su/mathematics/geometry11/geometry11.files/image2246.jpg

7.Итог урока

 Оценить работу учащихся на уроке и выставить оценки.

 Диагностика (рефлексия).

На сегодняшнем уроке мы с вами вывели формулу  объема шара, выяснили, что данные тела имеют широкое практическое применение и сделали небольшое открытие, которое еще в 3 веке до нашей эры сделал Архимед.

Беседа по следующим вопросам:

Что было интересного сегодня на уроке?

Что вызвало трудности?

Какие умения приобрели сегодня?

Где могут пригодиться эти умения?

 Домашнее задание.



Краткое описание документа:

Урок изучения нового материала по геометрии на тему "Объём шара" (2 курс). Главная образовательная цель данного урока - вывести формулу объёма шара и проверить степень усвоения теоретического материала при решении задач. Студенты сами для себя ставят цели, далее следует актуализация полученных знаний при фронтальном опросе по теме "Определение шара и его элементов".

Изучение новой темы происходит при вычислении объёма с помощью интегральной формулы. При формировании умений и навыков используются проблемная задача и историческая задача Архимеда. Применяются сведения из истории математики.

Затем студенты выполняют практическую работу, в ходе которой проверяется умение выполнять необходимые измерения и вычисление объёма полушария. После математического диктанта подводится итог урока и рефлексия.

Общая информация

Номер материала: 527180

Похожие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»