Урок по информатике "Представление чисел в компьютере"(10 класс)

Тема

Представление чисел в компьютере.

Арифметические действия над целыми  числами.

Арифметические операции над числами с плавающей точкой.

Цель урока:иметь представление о форматах чисел с фиксированной и плавающей запятой (точкой), знать понятия прямого кода, обратного кода, дополнительного кода, уметь записывать целые числа (положительные и отрицательные) в прямом, обратном и дополнительном коде.

Задачи урока:

·               образовательные:закрепление знаний учащихся по теме «Представление целых чисел в компьютере».

·               развивающие:совершенствование умственной и познавательной деятельности учащихся, развитие мышления учащихся.

·               воспитательные: сознательное усвоение материала учащимися.

Материалы и оборудование к уроку:  презентация,конспект урока, карточки с практической работой,интерактивная доска.

Тип урока: комбинированный урок объяснения нового материала и решения примеров.

Форма проведения урока: беседа, практическая работа по решению задач, парная, индивидуальная, фронтальная формы работы.

Продолжительность урока: 45 мин.

План урока:

1.        Организационный момент.

2.        Объяснение нового материала.

1). Целые числа. Представление чисел в формате с фиксированной запятой и плавающей точкой.

2). Понятие прямого,  обратного и дополнительного кода.

3). Арифметические действия над целыми числами.

4). Арифметические операции над числами с плавающей точкой.

3.        Закрепление изученного (практика и тренировочный тест).

4.        Домашнее задание.

Ход урока:

1. Организационный момент.

2. Новый материал.

1).Целые числа. Представление чисел в формате с фиксированной точкой.

Слайд №2

Фиксированная точка.

Целые числа в компьютере хранятся в памяти в формате с фиксированной запятой или фиксированной точкой. В этом случае каждому разряду ячейки памяти соответствует всегда один и тот же разряд числа, а запятая находится справа после младшего разряда, т.е. вне разрядной сетки.

Для хранения целых неотрицательных чиселотводится одна ячейка памяти (8 битов). Например, число А₂ =  11110000₂ будет храниться в ячейке памяти следующим образом:

Максимальное значение целого неотрицательного числа достигается в случае, когда во всех ячейках хранятся едини­цы. Если в первых двух ячейках 11, а в остальных 0, то значение числа будет равно 3, если число представлено как 111, то значение числа 7, если единицами занято 8 разрядов, то значение числа равно 2 ⁸  -1 =256-1=255, так как отсчет начинается с 0.

Для п-разрядного представления оно будет равно2ⁿ -1.

Это можно доказать и по-другому:

Максимальное число соответствует восьми едини­цам и равно

А = 1▪2⁷ +1▪2⁶ +1▪2⁵ + 1▪2⁴ + 1▪2³ + 1▪2² + 1▪2¹ + 1▪2° = 1▪2⁸ - 1 = 255₁₀.

Диапазон изменения целых неотрицательных чисел: от 0 до 255.

Итак, целые числа могут представляться в компьютере со знаком или без знака.

Целые числа без знака обычно занимают в памяти один или два байта и принимают в однобайтовом формате значения от 00000000₂ до 11111111₂, а в двубайтовом формате — от 00000000 00000000₂ до 11111111 11111111₂.

Диапазоны значений целых чисел без знака

Слайд№3

Примеры:

а) число 72₁₀ = 1001000₂ в однобайтовом формате:

б) это же число в двубайтовом формате:

в) число 65535 в двубайтовом формате:

Представление целых положительных чисел.

Алгоритм№1.  Получения внутреннего представления целого положительного числа N, хранящегося в k разрядном машинном слове:

1. Перевести число N в двоичную систему счисления.

2. Полученный результат дополнить слева незначащими нулями до k  разрядов.

2).Представление целых чисел со знаком. Прямой код числа.

Для хранения целых чисел со знакомотводится две ячей­ки памяти (16 битов), причем старший (левый)разряд отво­дится под знак числа (если число положительное, то в знако­вый разряд записывается 0, если число отрицательное — 1).

Число 39₁₀ = 100111 ₂ в однобайтовом формате:

Число 39₁₀ = 100111 ₂ в двубайтовомформате:

Число 65 535₁₀ = 11111111 11111111₂ в двубайтовом формате:

Максимальное положительное число (с учетом выделения одного разряда на знак) для целых чисел со знаком в n-раз­рядном представлении равно:

А = 2^п-1- 1. (один разряд на знак).

Слайд №4

Целые числа со знаком обычно занимают в памяти компьютера один, два или четыре байта, при этом самый левый (старший) разряд содержит информацию о знаке числа. Знак “плюс” кодируется нулем, а “минус” — единицей.

Диапазоны значений целых чисел со знаком

Слайд №5

Числа, для хранения которых отводится четыре ячейки памяти –32 бита,  это числа, хранящиеся в оперативной памяти в формате длинных целых чисел со знаком.Значения минимального отрицательного и максимального положительного чисел ограничены. Это недостаток представления чисел в формате с фиксированной  запятой.

Алгоритм№2 .Получение внутреннего представления целого числа со знаком, хранящегося в k разрядном машинном слове (запись числа в прямом коде):

1.        Перевести число N в двоичную систему счисления.

2.        Полученный результат дополнить слева незначащими нулями до k-1  разрядов.

3.        Записать в самый левый (старший) разряд информацию о знаке числа: знак “плюс” кодируется нулем, а “минус” — единицей.

Дополнительный код. Обратный код.

Итак, в компьютерной технике применяются три формы записи (кодирования) целых чиселсо знаком:

·         прямой код (в формате «знак-величина»),

·         обратный код (получается инвертированием всех цифр двоичного кода абсолютной величины числа, включая разряд знака: нули заменяются единицами, а единицы — нулями,

·         дополнительный код (получается образованием обратного кода с последующим прибавлением единицы к его младшему разряду).

Слайд №7,Слайд №8

Для представления отрицательных чисел используется дополнительный код. Дополнительный код позволяет заменить арифметическую операцию вычитания операцией сложения, что существенно упрощает работу процессора и увеличивает его быстродействие. Последние две формы применяются особенно широко, так как позволяют упростить конструкцию арифметико-логического устройства компьютера путем замены разнообразных арифметических операций операцией cложения.

Рассмотрим особенности записи целых чисел со знаком на примере однобайтового формата, при котором для знака отводится один разряд, а для цифр абсолютной величины – семь разрядов.

Слайд №6

Положительные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах изображаются одинаково — двоичными кодами с цифрой 0 в знаковом разряде.

Например:

Слайд №9

Отрицательные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах имеют разное изображение.

1. Прямой код. В знаковый разряд помещается цифра 1, а в разряды цифровой части числа — двоичный код его абсолютной величины. Например:

2. Обратный код. Получается инвертированием всех цифр двоичного кода абсолютной величины числа (модуля числа), включая разряд знака: нули заменяются единицами, а единицы — нулями. Например:

3.Дополнительный код. Получается образованием обратного кода с последующим прибавлением единицы к его младшему разряду. Например:

Обычно отрицательные десятичные числа при вводе в машину автоматически преобразуются в обратный или дополнительный двоичный код и в таком виде хранятся, перемещаются и участвуют в операциях. При выводе таких чисел из машины происходит обратное преобразование в отрицательные десятичные числа.

Слайд № 10

3)Как компьютер выполняет арифметические действия над целыми числами?

Сложение и вычитание

В большинстве компьютеров операция вычитания не используется. Вместо нее производится сложение уменьшаемого с обратным или дополнительным кодом вычитаемого. Это позволяет существенно упростить конструкцию АЛУ.

     При сложении обратных кодов чисел А и В имеют место четыре основных и два особых случая:

1.А и В положительные. При суммировании складываются все разряды, включая разряд знака. Так как знаковые разряды положительных слагаемых равны нулю, разряд знака суммы тоже равен нулю. Например:

Получен правильный результат.

Слайд №13

2.А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А. Например:

Получен правильный результат в обратном коде. При переводе в прямой код биты цифровой части результата инвертируются: 1 0000111 = –7₁₀.

Слайд №13

3.А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А. Например:

Компьютер исправляет полученный первоначально неправильный результат (6 вместо 7) переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы!!!

Слайд № 14

4.А и В отрицательные. Например:

Слайд №15

Полученный первоначально неправильный результат (обратный код числа –11₁₀ вместо обратного кода числа –10₁₀) компьютер исправляет переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы.

При переводе результата в прямой код биты цифровой части числа инвертируются: 1 0001010 = –10₁₀.

При сложении может возникнуть ситуация, когда старшие разряды результата операции не помещаются в отведенной для него области памяти. Такая ситуация называется переполнением разрядной сетки формата числа. Для обнаружения переполнения и оповещения о возникшей ошибке в компьютере используются специальные средства. Ниже приведены два возможных случая переполнения (используем калькулятор для быстрого перевода: МС –очистка памяти, МР- чтение памяти, М+ добавить в память).

5.А и В положительные, сумма А+В больше, либо равна 2^n–1, где n – количество разрядов формата чисел (для однобайтового формата n=8, 2^n–1 = 2⁷ = 128). Например:

Семи разрядов цифровой части числового формата недостаточно для размещения восьмиразрядной суммы (162₁₀ = 10100010₂), поэтому старший разряд суммы оказывается в знаковом разряде. Это вызывает несовпадение знака суммы и знаков слагаемых (знак суммы – отрицателен, знак слагаемых – положительный), что является свидетельством переполнения разрядной сетки.

Слайд №16

6.А и В отрицательные, сумма абсолютных величин А и В больше, либо равна 2^n–1.

Например:

63₂ =0111111₂

Здесь знак суммы тоже не совпадает со знаками слагаемых, что свидетельствует о переполнении разрядной сетки.

Слайд №17

Все эти случаи имеют место и при сложении дополнительных кодов чисел:

1.А и В положительные. Здесь нет отличий от случая 1, рассмотренного для обратного кода, т.к. дополнительный код используется только для отрицательных чисел.

Слайд №18

2.А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А. Например:

Получен правильный результат в дополнительном коде.

При переводе в прямой код биты цифровой части результатаинвертируются и к младшему разряду прибавляется единица:1 0000110 + 1 = 1 0000111 = –7₁₀.

Слайд №19

3.А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А. Например:

Получен правильный результат. Единицу переноса из знакового разряда компьютер отбрасывает.

Слайд №20

4.А и В отрицательные. Например:

Получен правильный результат в дополнительном коде. Единицу переноса из знакового разряда компьютер отбрасывает.

Слайд №21

Случаи переполнения для дополнительных кодов рассматриваются по аналогии со случаями 5 и 6 для обратных кодов.

4). Представление чисел  с плавающей точкой.

     Этот способ представления опирается на нормализованную (экспоненциальную) запись действительных чисел.
Нормализованная запись отличного от нуля действительного числа A - это запись вида:
А= m* qⁿ,
где m – мантисса числа (правильная дробь, у которой первая цифра после запятой не равна нулю),
q – основание системы,
n – порядок числа.

Слайд №25

Примеры:
1. Мантисса числа 64.5 – это число 0.645, а порядок – число 2, так как 64.5 = 0.645*10 степень (2).

    2. Мантисса числа 0.0000012 – это число 0.12, а порядок – число  -5, потому что 0.0000012= =0.12*10 степень(-5).

При представлении чисел с плавающей запятой часть разрядов ячейки отводится для записи порядка числа, остальные разряды - для записи мантиссы. По одному разряду в каждой группе отводится для изображения знака порядка и знака мантиссы.

Операции над  числами  с плавающей точкой.

Слайд №28. Слайд №29

4.        Закрепление полученных знаний.

Алгоритм№3 (перевод числа в обратный код)

Обратный код.

1.        Записать двоичный код абсолютной величины числа.

2.        Инвертировать все цифры двоичного кода абсолютной величины числа (модуля числа), включая разряд знака: нули заменяются единицами, а единицы — нулями.

Алгоритм№4 (перевод отрицательного  числа в дополнительный код).

Дополнительный код отрицательного числа.

1.        Модуль числа записать в прямом коде в пдвоичных раз­рядах. (Для этого получить внутреннее представление положительного числа N: перевести число N в двоичную систему счисления, полученный результат дополнить слева незначащими нулями до k  разрядов)

2.        Получить обратный код числа, для этого значения всех битовинвертировать (все единицы заменить на нули и все нули заменить на единицы).

3.        К полученному обратному коду прибавить единицу.

3. Назовите алгоритм перевода дополнительного кода в десятичное число

Алгоритм №5перевода дополнительного кода в десятичное число.

1.        Инвертировать дополнительный код

2.        Прибавить к полученному коду 1 и получить модуль отрицательного числа:

3.        Перевести в десятичное число и приписать знак отрицательного числа.

4. В чем вы видите достоинства представления чисел в формате с фиксированной запятой?

Ответ: простота и наглядность представления чисел, простота алгоритмов реализации арифметических операций

4. Домашнее задание:

1. И.Г.Семакин, Е.К. Хеннер стр. 34-43.

2. Заполнить выданные карточки.

3. И.Г.Семакин, Е.К. Хеннер стр. 204 зад. 5,6 письменно

Карточка №1

Выполнить задания по карточкам: перевести  десятичное число в двоичную систему счисления, выполнить сложение, записывая числа в прямом и дополнительном кодах.

Условие: X=A+B, где  A= -548,  B=292

Решение:

A= -548₍₁₀₎ = ____________________________________________

B=292₍₁₀₎ = ________________________________________________

Карточка №10

Выполнить задания по карточкам: перевести  десятичное число в двоичную систему счисления, выполнить сложение, записывая числа в прямом и дополнительном кодах.

Условие: X=A+B, где  A= -222,  B=-290

Решение:

A= -220₍₁₀₎ = ____________________________________________

B=-290₍₁₀₎ = ________________________________________________

Карточка №2

Выполнить задания по карточкам: перевести  десятичное число в двоичную систему счисления, выполнить сложение, записывая числа в прямом и дополнительном кодах.

Условие: X=A+B, где  A= 330,  B=-509

Решение:

A= 330₍₁₀₎ = ____________________________________________

B=-509₍₁₀₎ = ________________________________________________

Карточка №3

Выполнить задания по карточкам: перевести  десятичное число в двоичную систему счисления, выполнить сложение, записывая числа в прямом и дополнительном кодах.

Условие: X=A+B, где  A= 490,  B=-491

Решение:

A= 490₍₁₀₎ = ____________________________________________

B=-491₍₁₀₎ = ________________________________________________

Карточка №4

Выполнить задания по карточкам: перевести  десятичное число в двоичную систему счисления, выполнить сложение, записывая числа в прямом и дополнительном кодах.

Условие: X=A+B, где  A= -256,  B=-128

Решение:

A= -256₍₁₀₎ = ____________________________________________

B=-128₍₁₀₎ = ________________________________________________

Карточка №5

Выполнить задания по карточкам: перевести  десятичное число в двоичную систему счисления, выполнить сложение, записывая числа в прямом и дополнительном кодах.

Условие: X=A+B, где  A= 440,  B=-563

Решение:

A= 440₍₁₀₎ = ____________________________________________

B=-563₍₁₀₎ = ________________________________________________

Карточка №6

Выполнить задания по карточкам: перевести  десятичное число в двоичную систему счисления, выполнить сложение, записывая числа в прямом и дополнительном кодах.

Условие: X=A+B, где  A= -264,  B=-336

Решение:

A= -264₍₁₀₎ = ____________________________________________

B=-336₍₁₀₎ = ________________________________________________

Карточка №7

Выполнить задания по карточкам: перевести  десятичное число в двоичную систему счисления, выполнить сложение, записывая числа в прямом и дополнительном кодах.

Условие: X=A+B, где  A= 268,  B=-368

Решение:

A= 268₍₁₀₎ = ____________________________________________

B=-368₍₁₀₎ = ________________________________________________

Карточка №8

Выполнить задания по карточкам: перевести  десятичное число в двоичную систему счисления, выполнить сложение, записывая числа в прямом и дополнительном кодах.

Условие: X=A+B, где  A= -260,  B=-252

Решение:

A= -260₍₁₀₎ = ____________________________________________

B=-252₍₁₀₎ = ________________________________________________

Карточка №9

Выполнить задания по карточкам: перевести  десятичное число в двоичную систему счисления, выполнить сложение, записывая числа в прямом и дополнительном кодах.

Условие: X=A+B, где  A= 198,  B=-580

Решение:

A= 198₍₁₀₎ = ____________________________________________

B=-580₍₁₀₎ = ________________________________________________