Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Опубликуйте свой материал в официальном Печатном сборнике методических разработок проекта «Инфоурок»

(с присвоением ISBN)

Выберите любой материал на Вашем учительском сайте или загрузите новый

Оформите заявку на публикацию в сборник(займет не более 3 минут)

+

Получите свой экземпляр сборника и свидетельство о публикации в нем

Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок по математике "Решение систем линейных уравнений с параметрами"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Урок по математике "Решение систем линейных уравнений с параметрами"

библиотека
материалов

hello_html_m5fff65db.gifhello_html_m6e67941c.gifhello_html_m6393f32f.gifhello_html_m6393f32f.gifhello_html_m6e67941c.gifhello_html_m6393f32f.gifhello_html_m6e67941c.gifhello_html_m6e67941c.gifhello_html_m6393f32f.gifhello_html_1bb8bed.gifhello_html_m34f687a9.gifhello_html_1f32c5a0.gifhello_html_1f32c5a0.gifhello_html_2c11a342.gifhello_html_565a7189.gifhello_html_4304201f.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m6ef8ac88.gifhello_html_4634e1d8.gifhello_html_m469bf65e.gifhello_html_m8bdb506.gifhello_html_763618ee.gifhello_html_m1bb31837.gifhello_html_m3a9e1d51.gifhello_html_7f1601e3.gifhello_html_17dc13df.gifhello_html_1c5030f9.gifhello_html_m6393f32f.gifhello_html_m6e67941c.gifhello_html_76450f47.gifhello_html_76450f47.gifhello_html_m6e67941c.gifhello_html_m6e67941c.gifhello_html_m196b8d26.gifhello_html_m40e8d706.gifhello_html_m40e8d706.gifhello_html_m5be7b08d.gifhello_html_m24a3c437.gifhello_html_4634e1d8.gifhello_html_m68ac0aca.gifhello_html_m65f92467.gifhello_html_4058e720.gifhello_html_60fc01ee.gifhello_html_m2bad78c4.gifhello_html_m636099e0.gifhello_html_6e1920ea.gifhello_html_6e1920ea.gifhello_html_6e1920ea.gifhello_html_m50690e9.gifhello_html_m50690e9.gifhello_html_m57d3208f.gifhello_html_3e9e429c.gifhello_html_3054a04b.gifhello_html_3e9e429c.gifhello_html_m316567ed.gifhello_html_3f022e08.gifhello_html_m55960050.gifhello_html_m55960050.gifhello_html_3f022e08.gifhello_html_m55960050.gifhello_html_3f022e08.gifhello_html_m57d3208f.gifhello_html_3f022e08.gifhello_html_m55960050.gifhello_html_m55960050.gifhello_html_3f022e08.gifhello_html_m55960050.gifhello_html_3f022e08.gifhello_html_m34f687a9.gifhello_html_m348b9345.gifhello_html_m183e7b57.gifhello_html_2c11a342.gifhello_html_3f022e08.gifhello_html_m55960050.gifhello_html_m55960050.gifhello_html_3f022e08.gifhello_html_m55960050.gifhello_html_3f022e08.gifhello_html_m34f687a9.gifhello_html_3f022e08.gifhello_html_m55960050.gifhello_html_m55960050.gifhello_html_3f022e08.gifhello_html_3f022e08.gifhello_html_m55960050.gifhello_html_m182a8e94.gifhello_html_64e6fb10.gifhello_html_m57d3208f.gifhello_html_m57d3208f.gifhello_html_5b80d333.gifhello_html_36a7495e.gifhello_html_3f022e08.gifhello_html_m55960050.gifhello_html_m55960050.gifhello_html_3f022e08.gifhello_html_3f022e08.gifhello_html_m55960050.gifhello_html_4bae27aa.gifhello_html_4bae27aa.gifhello_html_m79f670e6.gifhello_html_m182a8e94.gifhello_html_4cdb85e6.gifhello_html_3f022e08.gifhello_html_m55960050.gifhello_html_3f022e08.gifhello_html_m55960050.gifhello_html_m55960050.gifhello_html_3f022e08.gifhello_html_m6271b154.gifhello_html_m182a8e94.gifhello_html_m7d511ed6.gifhello_html_m55960050.gifhello_html_3f022e08.gifhello_html_m55960050.gifhello_html_3f022e08.gifОткрытый урок по теме:

« Решение систем двух линейных уравнений

с двумя неизвестными и с параметрами»

(Урок подходит для учащихся 7-х -11-х классов)

подготовила: учитель математики

МОУ СОШ г. Мамоново

Калининградской области

Васильева Наталья Николаевна

Цель урока: рассмотреть новые способы решения систем линейных уравнений без параметров и с параметрами с помощью определителей.

Рассмотрим вид системы линейных уравнений .

а 1х+в1у=с1 (1)

а2х+в 2у=с2,

где а121212-некоторые числа и а12+ в 12≠0; а22+ в 22≠0;

называется системой двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Одним из основных методов решения данной системы является метод Крамера или метод определителей. По коэффициентам системы (1) составляем три определителя.

а 1 в1

= а 2 в21в 2- а 2в 1,



с 1 в1

х = с 2 в21в 2- с 2в 1,





а 1 с1

у = а 2 с21с 2- а 2с 1,

где -называется главным определителем системы (1), ∆ х -определителем неизвестного Х, а у -определителем неизвестного у .

Выражения для определителя системы получается из коэффициентов при неизвестных Х и У;

для х из определителя системы (1), если в нем столбец, составленный из коэффициентов при Х, заменить столбцом из свободных членов. Аналогично получается у из заменой столбца коэффициентов при У на столбец свободных членов.

1)Если главный определит системы отличен от нуля, т. е.



а 1 в1

= а 2 в2 ≠0, то система (1) имеет единственное решение, которое находится по формулам:



Х=х / , У= у /∆ .

Эти формулы носят название формул КРАМЕРА .

2) Если определитель системы равен нулю, а хотя бы один из определителей неизвестных отличен от нуля, т. е. =0, х ≠0 или ( =0, у ≠0), то система не имеет решений.

3) Если же равны нулю и главный определитель системы и определители неизвестных, т.е.

=0, х =0, у =0, то система имеет бесконечное множество решений.

Примечание. Если на систему (1) не наложить условий : а12+ в 12≠0; а22+ в 22≠0, то из условия

=0, х =0, у =0 может и не следовать, что данная система имеет бесконечное множество решений. Например система

0∙х+0∙у=4

0∙х+0∙у=-1, все три определителя которой равны нулю не имеет решений.

Рассмотрим примеры на решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными и параметром.

Пример 1. Найти все значения параметра а, при котором система

4Х+5У=8

аХ- 6У=2 имеет единственное решение.

Решение: Данная система имеет единственное решение, при условии, что ≠0. Так как

= 4 5 =-24-5а, то система имеет единственное решение, если а≠-24/5, или а≠-4,8

а -6

Ответ: при а≠-4,8 система имеет единственное решение.

Пример 2. Найти все значения параметра р, при котором система

рХ-2У=10

3Х+4У=15 не имеет решений.

Решение: Поскольку х0, т.е.

10 -2 =40+30=70≠0, то данная система не имеет решений, если ∆=0, р -2 =4р+6=0, р=-1,5

15 4 3 4



Ответ: при р=-1,5 система не имеет решений.

Пример3. Найти все значения параметра а, при котором система

8Х - 3аУ =6

(2-3а)Х-4ау=1 не имеет решений.

Решение:

8 -3а

= (2-3а) -4а =-32а+ 3а(2-3а)= -9а2 -26а,

6 -3а

х = 1 -4а = -21а,

8 6

у = (2-3а) 1 = 8-6(2-3а)=18а-4.

Чтобы данная система не имела решений, необходимо, чтобы =0, а х ≠0 или у ≠0.

-9а2 -26а=0 при а=0 или а=-26/9 .

При а=≠0 и х=0, а у=-4 ≠0.

При а=-26/9 =0, а х ≠0, значит система не имеет решений.

Ответ: при а=0 и а=-26/9 система не имеет решений.


Пример 4. Найти все значения параметра В, при которых система

6Х+ ВУ=-6

Х+2У =-1 имеет бесконечное множество решений.

Решение: Поскольку 622 ≠0 и 12+22 ≠0 и



у= 6 -6 =-6+6=0, то данная система имеет бесконечное множество решений при условии

1 -1



6 В -6 В

= 1 2 = 12-В=0, х= -1 2 =-12+В=0, т.е. при В=12.

Ответ: при В=12 система имеет бесконечное множество решений.

Пример 5. Решить систему.

аХ+ У=а2

Х+ аУ=1. а 1 а2 1 а а2

Решение: Найдем = 1 а =а2-1, х= 1 а =а2-1 , у= 1 1 =а-а2.

При а ≠±1 имеем ≠0. В этом случае система имеет единственное решение

Х= х/∆= (а3 -1)/( а2-1)=(а2+а+1)/(а+1)

У= у/∆=(а-а2)/( а2-1)=- а/(а+1). (2)

При а=1 имеем = х= у =0 и получаем систему х+у=1не имеет решений

Х+у=1, т.е. ее решение можно записать в виде х=t

У=1- t, где tЄR.

При а=-1 имеем = 0, х=-2≠0, и значит данная система не имеет решений.

В итоге получаем: при а Є (-; -1) (-1;1) u(1; +∞) система имеет единственное решение (2);

При а=1 система имеет бесконечное множество решений.

При а =-1 система решений не имеет.

Ответ: при а ≠±1 Х=(а2+а+1)/(а+1), У=- а/(а+1).

При а =1 решений бесконечно много

х=t

У=1- t, где tЄR.



При а =-1 решений нет.

Пример 6. Решите систему.

(2а+4 )Х-(5а+3)У =2а-4

(а+2)Х-3аУ=а-2 .

Решение:

2а+4 -(5а+3)

= а+2 -3а =--3а(2а+4)+(а+2)( 5а+3)=-а2+а+6.



х= 2а+4 -(5а+3)

а-2 -3а =-3а(2а+4)+(а-2)(5а+3)=-а2 +5а-6.





у= 2а+4 2а-4

а+2 а-2 = (2а+4)(а-2)-(а+2)(2а-4)=2а2 -8-2а2+8=0

  1. =02+а+6=0, а1=3, а2=-2.

  2. х= 0 2 +5а-6=0, а1=3, а2=2

Х= х/∆=(-а2 +5а-6)/( -а2+а+6)=(а-3)(а-2)/(а-3)(а+2)



У= у/∆=0/( -а2+а+6)=0.

Значит, при а≠-2,а≠3 имеем Х=(а-2)/(а+2)

У=0;



При а=3 Х=t

У=(5t-1)/9, где tЄR;

При а=-2 ∆=0,х= 20≠0, т.е. система не имеет решений.

Ответ: при а≠-2,а≠3 имеем Х=(а-2)/(а+2)

У=0;



При а=3 Х=t

У=(5t-1)/9, где tЄR;

При а=-2 решений нет.

Пример 7.Найдите числа а,в,с , если система



5Х+7У=15

аХ+вУ=с

решений не имеет, а уравнение аХ+вУ=с имеет решение

Х=4; У=1.

Решение: Имеем

5 7

= а в =5в- 7а



1 5 7

х = с в =15в- 7с



5 15

у= а с =5с -15а

Система не имеет решений, если ∆=0, а ∆х0 или у 0.

=0, 5в- 7а=0, в=1,4а.

Так как уравнения аХ+вУ=с имеет решение Х=4, У=1, то 4а+в=с, поэтому с =5,4а.

Значит , х=-16,8а, у=12а.

Система не имеет решения, если а≠0, в=1,4а, с=5,4а, т.к. ∆ =0, а ∆х ≠0 , ∆ у ≠0.

Ответ: при а=t, в=1,4t, с=5,4t, где t€ (-∞; 0)U(0; +∞) система не имеет решений.

Пример 8. Найдите все значения параметра а, при которых решение системы

3Х-6У=1,

5Х-аУ=2 удовлетворяет условию Х<0 и У<0.

Решение: Найдем

3 -6-

= 5 -а = -3а+30,



1 -6

х = 2 -а = -а +12,



3 1

у = 5 2 = 6-5 =1.

Так как ∆у = 1≠0, то система имеет единственное решение при ∆≠0, т.е. а ≠10.

Х=∆х/∆=(-а+12)/(-3а+30), У=∆у/∆=1/(-3а+30).

Найдем значения а, при которых Х<0, и У<0.

(а-12)/(3а-30)<0,

1/(-3а+30).

Найдем значения а, при которых Х<0, и У<0.

(а-12)/(3а-30)<0, 10<а<12,

1/(30-3а)<0 <=> а>10 <=> 10<а<12, значит, при аЄ(10;12)

система имеет единственное решение, удовлетворяющее условию Х<0 и У<0.

Ответ: аЄ(10;12).

Пример 9.Найдите все значения а , при которых система

2Х+(9а2- 2)У=3а,

Х+У=1 не имеет решений.

Решение:

= 1 1 =2-9а2+2=4-9а2,

2 9а2-2

3а 9а2-2

х = 1 1 = 3а-9а2+2,





2 3а

у = 1 1 = 2-3а.

=0 при а=±- 2/3.

  1. а =2/3 ; ∆х=3∙(2/3)-9∙(4/9)+2=0, ∆у=2-3∙2/3=0.

Система имеет бесконечно много решений при а=2/3.

  1. а=-2/3; ∆х=3∙(-2/3)-9∙(4/9)+2 ≠0

Система не имеет решений при а=-2/3.

Ответ: при а =-2/3 система не имеет решений.

Пример 10. При всех значениях параметра а решите систему

аХ+У= |а|,

Х+аУ= а2.

Решение: Имеем



а 1

= 1 а =а2-1,



|а| 1

х = а2 а =а∙ |а| - а2,



а |а|

у = 1 а2 = а2- |а|.

  1. при а=1 ∆=∆х=∆у=0 система имеет бесконечно много решений

Х=t,

У=1-t, где t € R.

  1. При а =-1 ∆=0, ∆х=-2≠0 система не имеет решений.

  2. При а≠±1 ∆≠0.

а) при аЄ [0;1)U(1;+∞)

Х= ∆х/∆=(а |а|- а2)/(а2- 1)=0, У=∆у/∆=( а3- |а|)/(а2-1)=а;

б) при а Є (-∞;-1)U(-1;0)

Х= ∆х/∆=( а |а|- а2)/(а2- 1)=2а2/(1-а2), , У=∆у/∆=( а3- |а|)/(а2-1)=а(а2+1)/(а2-1).

Ответ: при а =-1 система не имеет решений;

при а =1 система имеет бесконечно много решений: Х=t,

У=1-t, где t € R;

при а Є [0;1)U(1;+∞) система имеет решение Х=0,

У=а;

При а Є (-∞;-1)U(-1;0) система имеет решение Х=2а2/(1-а2)

У=а(а2+1)/(а2-1).

Пример 11. Решите систему

аХ=ав

Ув=в2 при всех значениях параметров а и в.

Решение: Перепишем систему в виде

аХ + 0∙У=ав

0∙Х + вУ=в2.



а 0

= 0 в =ав,



ав 0

х = в2 в = ав2,



а ав

у = 0 в2 = ав2



1) При а≠0, в ≠0 и ∆≠0 имеем: Х= ∆х/∆=ав2/ав=в; У=∆у/∆= ав2/ав=в.

2) При а=о, в≠0

=∆х=∆у=0 Х=t,

У=в, где t Є R;

3)При а≠0, в=0 Х=0,

=∆х=∆у=0 У=t, где t Є R;

  1. При а=0 и в=0

=∆х=∆у=0 Х=t,

У=m, где t, m Є R.



Ответ: при а≠0, в≠0 (в;в);

при а=0, в≠0 (t;в), где t Є R;

при а≠0 и в=0 (0;t),где tЄR;

при а=о и в=0 (t; m), где t,m Є R.

Пример 12. Решите систему

Х+У=1,

а|Х|-У=1, при всех значениях параметра а.

Решение: 1) При Х≥0 Х+У=1

аХ-У=1.



1 1

= а -1 =-1-а,



1 1

х = 1 -1 = -1-1=-2≠0,



1 1

у = а 1 = 1-а.

а) при а≠-1 ∆≠0 и Х=∆х/∆=2/(1+а), 2/(1+а)≥0;

а>-1 У=∆у/∆=(а-1)/(а+1).

б) при а=-1 ∆=0, ∆х =-2≠0. Система решений не имеет.



2) при Х<0 Х+У=1 1 1

-аХ-У=1. = -а -1 =-1+а,

1 1

х = 1 -1 = -1-1=-2≠0,



1 1

у = - а 1 = 1+а.

а) При а≠-1, ∆≠0, Х=∆х/∆=2/(1-а), где 2/(1-а), где

2/(1-а)<0, а>1; У=∆у/∆=(а-1)/(а+1).

б) При а =1 ∆=0, ∆х=-2≠0. Система не имеет решений;

Ответ: при а Є (-∞;-1] нет решений;

при а Є (-1;1] (2/(а+1); (а-1)/ (а+1));

при а Є (1;+∞) (2/(а+1); (а-1)/(а+1)) и (2/(1-а); (1+а)/(а-1)).









































































Краткое описание документа:

  Урок по математике "Решение систем линейных уравнений с параметрами" предназначен для учащихся 7-х-11-х классов. Интересен урок тем, что включает в себя материал, выходящий за рамки школьной программы, хотя решение систем линейных уравнений с параметрами входит в курс экзаменационных заданий  в форме ОГЭ и ЕГЭ.

   Методы решения  систем линейных уравнений с параметрами не совсем обычные, но  для понимания учащимися вполне доступные. Используя схемы и правила решения систем, можно очень легко найти значение нужного параметра.

   Материал подойдёт для учащися 7-11 классов при подготовке к экзамену по математике, а также для учителей математики.

Автор
Дата добавления 19.11.2014
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров522
Номер материала 137852
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх