Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Другое / Конспекты / Урок по математике "Теорема Пифагора" (8 класс)

Урок по математике "Теорема Пифагора" (8 класс)



Осталось всего 4 дня приёма заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)


  • Другое

Поделитесь материалом с коллегами:

Урок по геометрии в 8 классе

«Пифагоровы штаны»

«Да, путь познания не гладок.

Но знаем мы со школьных лет,

Загадок больше, чем разгадок,

И поискам предела нет!»

Цели:

1. Существенно расширить круг геометрических задач, решаемых с помощью теоремы Пифагора.

2. Познакомить учащихся с основными этапами жизни и деятельности Пифагора.

3. Осуществить межпредметную связь геометрии с алгеброй, географией, историей, литературой.

Ход урока.

  1. Вступительное слово учителя.

Теорема Пифагора – одна из важнейших теорем геометрии, потому что с ее помощью можно доказать много других теорем и решить множество задач.

Суть истины вся в том, что нам она – навечно,

Когда хоть раз в прозрении ее увидим свет,

И теорема Пифагора через столько лет

Для нас, как для него, бесспорна, безупречна…

(Отрывок из стихотворения А. Шамиссо)

  1. Повторение теории.

Теорема Пифагора – важнейшее утверждение геометрии.

Если дан нам треугольник

И притом с прямым углом,

То квадрат гипотенузы

Мы всегда легко найдем:

Катеты в квадрат возводим,

Сумму степеней находим —

И таким простым путем

К результату мы придем.

И. Дырченко

3. Историческая справка.

Изучение вавилонских, древнекитайских рукописей показало, что утверждение было известно задолго до Пифагора. Его же заслуга состояла в том, что он доказал эту теорему. Древняя легенда свидетельствует о том, что Пифагор в честь этого открытия принес в жертву быка или даже сто быков.

О теореме Пифагора

   Пребудет вечной истина, как скоро
   Все познает слабый человек!
   И ныне теорема Пифагора
   Верна, как и в его далекий век.

   Обильно было жертвоприношенье
   Богам от Пифагора. Сто быков
   Он отдал на закланье и сожженье
   За света луч, пришедший с облаков.

   Поэтому всегда с тех самых пор,
   Чуть истина рождается на свет,
   Быки ревут, ее почуя, вслед.

   Они не в силах свету помешать,
   А могут лишь закрыв глаза дрожать
   От страха, что вселил в них Пифагор.

A.Шамиссо

Существует более 150 доказательств теоремы Пифагора. Мы изучили одно из доказательств, основанное на использовании понятия равновеликих фигур (рис.1).

hello_html_m517f3b3e.png hello_html_m420b36cf.gif

рис. 1 рис.2

Доказательство теоремы Пифагора считалось в кругах учащихся средних веков очень трудным и называлось Pons Asinorum «Ослиный мост» или elefuga «бегство убогих» , так как некоторые ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теорему наизусть. Без понимания, и прозванные «ослами», были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста.

Теорема Пифагора вначале звучала так: квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах (рис. 2).

Вероятно, факт, изложенный в теореме Пифагора, был сначала установлен для равнобедренных прямоугольных треугольников.

hello_html_4b6c69ea.jpg hello_html_75c01b7a.png

рис. 3 рис. 4

Данный чертеж похож на пчелу. В Древней Греции слова «пчела» и «невеста» звучали одинаково, поэтому теорему Пифагора иногда называли «теоремой невесты» (рис. 3).

Смотрите, а вот и «Пифагоровы штаны» во все стороны равны (рис. 4)

Характерный чертеж теоремы Пифагора иногда превращается школьниками в забавные шаржи (рис. 5).

hello_html_1e5be8ab.jpg hello_html_621db44a.png

рис. 5 рис. 6

Благодаря большому количеству доказательств, теорема Пифагора попала в Книгу рекордов Гиннеса, как теорема с наибольшим количеством доказательств. Существует так называемое дерево Пифагора – гипотетическое дерево, которое составлено из соединенных между собой прямоугольников, с построенными на катетах и гипотенузе квадратами (рис. 6).

Теорема Пифагора всегда имела широкое применение при решении геометрических задач.

  1. Решение исторических задач .

Задача индийского математика XII века Бхаскары

hello_html_m65ce39a7.jpg

«На берегу реки рос тополь одинокий.

Вдруг ветра порыв его ствол надломал.

Бедный тополь упал. И угол прямой

С теченьем реки его ствол составлял.

Запомни теперь, что в этом месте река

В четыре лишь фута была широка

Верхушка склонилась у края реки.

Осталось три фута всего от ствола,

Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:

У тополя как велика высота?»


Решение:

  • АВ2=32+42=25

  • АВ=5

  • DВ=АВ

  • СD=ВС+ DВ=3+5=8

Ответ: 8 фунтов

Как называется треугольник со сторонами 3, 4, 5? (Египетский)

  1. Сценка. Древний Египет.

Мать. У нас опять беда. Разлился Нил, а когда сошла вода, невозможно определить границы нашего участка, где мы обрабатываем землю. Когда же придут гарпедонавты?

Дочь. А кто они?

Мать. Это очень уважаемые люди, они размечают землю, строят пирамиды.

Дочь. Мама, мама, они пришли. А что это за палки у них в руках?

Гарпеданавт. Это не палки. А вехи, с их помощью мы «провешиваем» прямые. А еще, при строительстве пирамид, мы строим прямой угол с помощью каната или обычной веревки. На веревке завязаны 12 узлов на равном расстоянии. Когда мы натягиваем веревку, то получаем треугольник со сторонами 3, 4, 5, в этом треугольнике есть прямой угол. Этот треугольник называется египетским.

  1. Решение исторических задач.

У египтян была известная задача о лотосе.

«На глубине 12 футов растет лотос с 13-фунтовым стеблем. Определите на какое расстояние цветок может отклониться от вертикали, проходящей через точку крепления стебля ко дну».

Решение:

  • 132-122 = 25

Ответ: может отклониться на 5 метров

Задача из учебника «Арифметика» Леонтия Магницкого.

hello_html_m4a910799.png

«Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать».


Решение:

  • ВС2=1252-1172 =(125-117)(125+117)=8*242=8*2*121

  • ВС=44

Ответ: 44 стопы

Задача из китайской «Математики в девяти книгах»

hello_html_m640f73ee.jpg

«Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его. Спрашивается: каковаглубина воды и какова длина камыша?».


Решение:

  • (х+1)22+52

  • х2+2х+1=х2+25

  • 2х=24

  • х=12

Ответ: 12 чи.

  1. Историческая справка.

Пифагор.

Пифагор – не только самый популярный ученый, но и самая загадочная личность, человек – символ. Философ, пророк. Известно, что Пифагор родился на острове Самос в Эгейском море у берегов Малой Азии около 570 г до н. э. По многим античным свидетельствам родившийся мальчик был сказочно красив, а вскоре проявил и незаурядные способности. Увлекался музыкой и поэзией. Неугомонному воображению Пифагора очень скоро стало тесно на маленьком острове. Мудрый Ферекид – один из учителей Пифагора – однажды сказал: «Ты вырос из Самоса, отправляйся путешествовать – только так ты утолишь жажду познаний. Помни: путешествие и память – суть два средства, возвышающие человека и открывающие ему врата мудрости»

Для жителей Самоса все дороги вели в Милет (греческую колонию). Там юный Пифагор встречается с Фалесом, мудрецом, слава о котором гремела по всей Элладе. Под его руководством Пифагор изучает математику и небесную механику. По совету Фалеса двадцатилетний Пифагор принимает решение отправиться в Египет. Там он прожил 11 лет. Пифагор овладевает премудростями тайнами египетских жрецов и достигает высших степеней в храмовой иерархии.

В 526 г до н. э. в Египет вторглись войска персидского царя Камбиза, и Пифагор вместе с другими жрецами попал в плен. Так он оказался в Вавилоне, где и прожил12 лет.

С приездом Пифагора в Кротон начинается самый яркий период его биографии. Пифагор основал сообщество своих учеников и последователей – пифагорейскую школу – которое было одновременно научно-философской школой, религиозно-мистическим союзом, духовным братством.

Пифагорейская школа.

В Кротоне Пифагор учредил нечто вроде религиозно – этического братства, тайного монашеского ордена, члены которого обязывались вести «пифагорейский образ жизни». Это был одновременно и религиозный союз, и политический клуб, и научное общество. Не только сила личности и мудрость Пифагора, но и высокая нравственность проповедуемых им идей и жизненных принципов притягивала к нему единомышленников.

Нравственные принципы и правила, проповедуемые Пифагором, и сегодня достойны подражания. Для всех было у него одно правило: беги от всякой хитрости; отсекай огнем, железом и любым оружием от тела болезнь, от души – невежество, от утробы – роскошь, от города – смуту, от семьи – ссору.

Пифагор выработал для себя и своих учеников особый распорядок дня. Встав до восхода солнца, пифагорейцы с равным усердием заботились о физическом и духовном развитии. В основе религиозно – философского учения Пифагора лежало представление о числе, как основе всего существующего в мире.

Важнейшей научной заслугой Пифагора считается систематическое введение доказательства в математику и, прежде всего, в геометрию. Гениальная догадка Пифагора состоит в том, что в геометрии можно выбрать конечное число истин (аксиом), из которых с помощью логических правил выводимо неограниченное число геометрических предложений. В геометрии впервые возник аксиоматический метод построения науки.

Пифагорейский союз – союз истины, добра и красоты – был любимым детищем великого мудреца. И, конечно, трудно найти человека, у которого бы имя Пифагора не ассоциировалось с теоремой Пифагора.

Пифагор был настолько знаменит, что его изображали на гравюрах, а так же была выпущена монета с его изображением.

  1. Заключение.

Значение теоремы Пифагора состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии и решить множество задач. Теорема Пифагора замечательна и тем, что сама по себе она вовсе не очевидна. Например, свойства равнобедренного треугольника можно видеть непосредственно на чертеже. Но сколько не смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между сторонами есть простое соотношение: с22+b2.

Кроме того, практическое значение теоремы Пифагора и обратной ей теоремы заключается в том, что с их помощью можно найти длины отрезков, не измеряя их самих. Это как бы открывает путь от прямой к плоскости, от плоскости к объемному пространству и дальше. Именно по этой причине теорема Пифагора так важна для человечества, которое стремится открывать все больше измерений и создавать технологии в этих измерениях. Например, в Германии недавно открылся кинотеатр, где показывают кино в шести измерениях: первые три даже перечислять не стоит, а так же время, запах, вкус. Вы спросите: а как связаны между собой теорема Пифагора и запахи, вкусы? А все очень «просто»: ведь при показе кино надо рассчитать куда и какие запахи направлять и т. д. Представьте: на экране показывают джунгли, и вы чувствуете запах листьев, показывают обедающего человека, а вы чувствуете вкус еды… Захватывает? Конечно да, и это говорит о том, насколько много направлений деятельности еще будет у теоремы Пифагора и связанных с ней.

Но не надо думать, что теорема Пифагора больше не имеет других значений. Например, при строительстве любого сооружения, рассчитывают расстояния, центры тяжести, размещение опор, балок и т. д. В целом, значение теоремы, кроме вышесказанного, заключается в том, что она применяется практически во всех современных технологиях, а также открывает простор для создания и придумывания новых.

hello_html_39002ca7.jpg hello_html_m1b0fe524.jpg

В шутку, хотя и не совсем безосновательно, было предложено передать обитателям «Марса» или иной планеты световой сигнал в виде чертежа теоремы Пифагора. Математический факт, выраженной теоремой Пифагора, имеет место всюду и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны понять такой сигнал.

  1. Домашнее задание.

Задача о бамбуке из древнекитайского трактата "Гоу-гу"

Имеется бамбук высотой в 1 чжан. Вершину его согнули так, что она касается земли на расстоянии 3 чи от корня (1 чжан = 10 чи).

Какова высота бамбука после сгибания?



hello_html_14214064.jpg

Решение:

  • (10-х)22+32

  • 100-20х+х22+9

  • -20х= -91

  • Х=4,55

Ответ: 4,55 чи


  1. Итог урока. Выставление оценок.









57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Краткое описание документа:

Разработка  по геометрии "Теорема Пифагора" составлена для проведения нестандартного урока по геометрии для учащихся 8 классов. В конспекте отражены основные этапы жизни и деятельности Пифагора, исторические факты, связанные с доказательством теоремы. Для решения предложены задачи, взятые из древнекитайский, древнегреческих, древнеиндийских рукописей, а так же задача из учебника Магнитского. Данный урок формирует устойчивый интерес учащихся к доказательству теоремы и решению задач, осуществляет межпредметную связь геометрии с географией, историей, литературой.

К конспекту урока предложена презентация.

Автор
Дата добавления 24.03.2015
Раздел Другое
Подраздел Конспекты
Просмотров434
Номер материала 456855
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх