124125
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 6.900 руб.;
- курсы повышения квалификации от 1.500 руб.
Престижные документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ 50%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО сейчас!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности № 5201 выдана ООО "Инфоурок")

ИнфоурокМатематикаКонспектыУрок по теме "Решение тригонометрических уравнений"

Урок по теме "Решение тригонометрических уравнений"

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.


УРОК

«РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ»

Цель урока:

Образовательная: 1. Закрепить навык решения простейших тригонометрических

уравнений;

2. Рассмотреть различные виды тригонометрических

уравнений;

3. Способствовать развитию навыков самостоятельного

применения знаний при решении тригонометрических

уравнений.

Развивающая: 1. Работать над развитием понятийного аппарата;

2. Развивать навыки самоконтроля.

Воспитательная: 1. Воспитывать ответственное отношение к труду;

2. Воспитывать волю и настойчивость для достижения

конечных результатов.

Тип урока: применение знаний.

ПЛАН УРОКА:

  1. Организационный момент.

  2. Объяснение цели урока.

  3. Устная работа.

  4. Работа по технологическим картам (с проверкой ответов и решений)

  5. Объяснение других способов решения тригонометрических уравнений.

  6. Дифференцированная самостоятельная работа (с самопроверкой).

  7. Подведение итогов урока, выставление оценок.

  8. Получение домашнего задания.

  9. Рефлексия.

ХОД УРОКА:

  1. Организационный момент.

  2. Объяснение цели урока.

  3. Устный счет.

В следующих формулах найти ошибки –


1. sin2x + cos2x = 1

2. tg x = hello_html_m6b9f4fa.gif [ hello_html_4a79a0a6.gif]

3. sin 2x = sin x cos x [ 2sin x cos x]

4. cos 2x = cos2 x + sin2 x [cos2 x - sin2 x ]

5. sin x = a , a = (-1)n arcsin a + hello_html_1bfc1af9.gifn [x = (-1)n arcsin a + hello_html_1bfc1af9.gifn ]

6. cos x = a, x = hello_html_m78531b32.gif arccos a + hello_html_1bfc1af9.gifn, [x = hello_html_m78531b32.gif arccos a + 2hello_html_1bfc1af9.gifn ]

7. tg x = a, a = arctg a + 2hello_html_1bfc1af9.gifn, [ x = arctg a + hello_html_1bfc1af9.gifn ]

  1. Работа по технологическим картам.

Прочитать текст, разобрать приведенный пример, записать в тетрадь. Выполнить первое задание своего варианта. Второе задание варианта выполняют только после того, как будет выполнено первое задание из каждого пункта.




ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА


  1. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ, ПРИВОДИМЫХ К КВАДРАТНОМУ.


1) Заметим, что если тригонометрическое уравнение целого вида содержит только синусы или косинусы (синусы и косинусы), то область допустимых значений переменной – множество действительных чисел, так как эти функции определены для любого действительного значения. Область допустимых значений для уравнений вида

a sin2f(x) + b sin f(x) + c = 0 или a cos2f(x) + b sin f(x) + c = 0 не устанавливается.

2) Справедливы соотношения:

а) sin 2 hello_html_2e28ff68.gif= 1 – cos2 hello_html_2e28ff68.gif (1)

б) cos2 hello_html_2e28ff68.gif = 1 – sin2 hello_html_2e28ff68.gif (2)

3) Формулы корней уравнений:

а) sin x = a, x = (-1)n arcsin a + hello_html_1bfc1af9.gifn, n hello_html_m12b0ef1f.gif (3)

б) cos x = a, x = hello_html_m78531b32.gif arcos a + 2hello_html_1bfc1af9.gifn, n hello_html_m12b0ef1f.gif (4)

в) ax2 + bx + c = 0, x =hello_html_m1ed40670.gif (5)


ОБРАЗЕЦ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ:


8 sin2x – 6 sin x – 5 = 0

Обозначим sin x = у, тогда данное уравнение можно записать в виде

8 у2 – 6у – 5 = 0

D = b2 – 4ac= (-6)2 – 4hello_html_m3c62c67f.gif 8hello_html_m3c62c67f.gif(-5)= 36 + 160 = 196

у1 = hello_html_m1278bef1.gif

у2 = hello_html_1ed5332c.gif.

Значит sin x = -hello_html_m3907a0ac.gif или sin x = hello_html_m341de10.gif - уравнение не

имеет корней, так как sin х

x= (-1)n+1hello_html_m576e20f6.gif + hello_html_1bfc1af9.gifn, n hello_html_m12b0ef1f.gif не может быть больше единицы.

Ответ: x= (-1)n+1hello_html_m576e20f6.gif + hello_html_1bfc1af9.gifn, n hello_html_m12b0ef1f.gif

РЕШИТЬ УРАВНЕНИЯ:


1 вариант: 1) sin2x – 2 sin x – 3 = 0

2) 2 cos2x + 3 sin2 x + 2 cosx = 0


2 вариант: 1) cos2x - 2 cos x – 3 = 0

2) 2 sin2 x + 3 cos2x + 2sin x = 0







П. РЕШЕНИЕ ОДНОРОДНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ:


1) Справедливы соотношения:

a) tghello_html_2e28ff68.gif ctghello_html_2e28ff68.gif =1; б) tg hello_html_2e28ff68.gif = hello_html_5a56be91.gif; в) ctg hello_html_2e28ff68.gif = hello_html_m7c35165b.gif ;

г) 1 + tg2hello_html_2e28ff68.gif = hello_html_10660f6a.gif ; д) 1 + ctg2hello_html_2e28ff68.gif = hello_html_37070523.gif

2) Уравнение вида a tg x + b ctg x + c = 0 приводится к квадратному уравнению одной

тригонометрической функции путем замены ctg x = hello_html_7e32bd0d.gif.

  1. Уравнение вида a sin x + b cos x = 0 (a hello_html_3750bfcb.gif0, b hello_html_3750bfcb.gif 0) называется однородным первой степени

относительно sin x и cos x. Оно решается делением обеих частей на cos x hello_html_3750bfcb.gif 0. В результате

получается уравнение вида a tg x + b = 0.

4) Уравнение вида a sin2f(x) + b sin f(x) cos f(x) + k cos2f(x) = 0 называется однородным

Уравнением второй степени относительно sin f(x) и cos f(x), если все три

коэффициента а, b, k или какие-либо два из них hello_html_3750bfcb.gif0.

Разделим обе части уравнения на cos2f(x) hello_html_3750bfcb.gif0. Получим

а tg2f(x) + b tg f(x) + k = 0, которое решается заменой переменной.


ОБРАЗЕЦ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ:


sin x + hello_html_774d1622.gif cos x = 0.

Разделим каждое слагаемое на cos x.

hello_html_m79e960c.gif

hello_html_m616f2420.gif

hello_html_m53d4ecad.giftg x + hello_html_774d1622.gif = 0

tg x = - hello_html_774d1622.gif

x = -hello_html_m2f245c67.gif + hello_html_1bfc1af9.gifn, n hello_html_m12b0ef1f.gif.

Ответ: x = -hello_html_m2f245c67.gif + hello_html_1bfc1af9.gifn, n hello_html_m12b0ef1f.gif.



РЕШИТЬ УРАВНЕНИЯ:


1 ВАРИАНТ 1) 2sin x – 3 cos x = 0

2) sin x - hello_html_774d1622.gifcos x = 0


2 ВАРИАНТ 1) hello_html_774d1622.gifsin x + cos x = 0

2) 2 cos2 x + 2 sin x = 2.5













Ш. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ РАЗЛОЖЕНИЯ НА

МНОЖИТЕЛИ.



ОБРАЗЕЦ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ:


hello_html_774d1622.gif cos x = sinx cos x


hello_html_774d1622.gif cos x - sinx cos x = 0


Вынесем за скобки cos x


cos x (hello_html_774d1622.gif - sinx) = 0


cos x = 0 или hello_html_774d1622.gif - sin x = 0

х = hello_html_m3ea3a2d4.gif + hello_html_1bfc1af9.gifn, n hello_html_m12b0ef1f.gif sinx = hello_html_774d1622.gif, hello_html_774d1622.gif hello_html_m3132e3c.gif 1,7

решений нет

Ответ: х = hello_html_m3ea3a2d4.gif + hello_html_1bfc1af9.gifn, n hello_html_m12b0ef1f.gif.


РЕШИТЬ УРАВНЕНИЯ:


1 ВАРИАНТ 1) hello_html_m62632d12.gifsin x = cos x sin x


2) sin 2x = hello_html_m62632d12.gifcos x



2 ВАРИАНТ 1) sin 2x = hello_html_m62632d12.gifsin x


2) sin 2x – cos x = 0
















Результаты работы по технологическим картам учащиеся записывают на листочках, которые сдают учителю. Проверку производят по тетрадям, выполняя некоторые, где было сделано много ошибок на доске. Оценки ставят себе сами (выполнено 6 заданий – «5», выполнено 4 -5 заданий – «4», выполнено 3 задания «3»).

1. Рассмотрим однородные тригонометрические уравнения:

3 sin2x – 4 sin x cos x + cos2x = 0

Разделим обе части уравнения на cos2x.

3 tg2x – 4 tg x + 1 = 0

Мы получили тригонометрическое уравнения, приводимое к квадратному.

Заменим tg x = y

3y2 – 4 y + 1 = 0 tg x = 1, x = hello_html_1e11b5f9.gif

D = 4, y1 = 1, y2 = hello_html_m233bf45f.gif tg x = hello_html_m233bf45f.gif, x = arctg hello_html_m233bf45f.gif + hello_html_m78ca7e91.gif

ответ: x = hello_html_1e11b5f9.gif, x = arctg hello_html_m233bf45f.gif + hello_html_m78ca7e91.gif

2.Решим уравнение, применяя универсальную подстановку:

Sin 2x + 2 cos 2x = 1

Делаем замену: sin 2x = hello_html_mc34f3ee.gif , cos 2x = hello_html_76113759.gif

hello_html_mc34f3ee.gif + 2 hello_html_76113759.gif = 1. Pазделим обе части на 1 + tg2x

2 tg x + 2 – 2 tg2x = 1 + tg2x

3 tg2 x – 2 tg x – 1 = 0, tg x = y tg x = 1, x = hello_html_1e11b5f9.gif

3y2 – 2y – 1 = 0 tg x = - hello_html_m233bf45f.gif, x = - arctg hello_html_m233bf45f.gif + hello_html_m78ca7e91.gif

D = 16, y1 = 1, y2 = - hello_html_m233bf45f.gifОтвет: x = hello_html_1e11b5f9.gif, x = - arctg hello_html_m233bf45f.gif + hello_html_m78ca7e91.gif

3.Решение тригонометрических уравнений с помощью формул сложения, формул суммы и разности синусов (косинусов):

2 sin 11x + hello_html_774d1622.gif sin 5x + cos 5x = 0.

Разделим левую и правую части этого уравнения на 2, получим

sin 11x + hello_html_m33610a6a.gif sin 5x + hello_html_m3907a0ac.gif cos 5x = 0

так как hello_html_m33610a6a.gif = cos hello_html_m576e20f6.gif, a hello_html_m3907a0ac.gif = sin hello_html_m576e20f6.gif, то это уравнение имеет вид:

sin 11x + cos hello_html_m576e20f6.gif sin 5x + sin hello_html_m576e20f6.gif cos 5x = 0

sin 11x + sin (5x + hello_html_m576e20f6.gif) = 0; 2 sin hello_html_5eb4246d.gif = 0

sin hello_html_m26e03d36.gif = 0, hello_html_m26e03d36.gif = hello_html_1bfc1af9.gifn, 16x + hello_html_m576e20f6.gif = 2hello_html_1bfc1af9.gifn, x = - hello_html_7ecdcca8.gif + hello_html_7660e241.gif

cos hello_html_m6d01d546.gif = 0, hello_html_m6d01d546.gif = hello_html_m3ea3a2d4.gif + hello_html_1bfc1af9.gifn, 6x - hello_html_m576e20f6.gif = hello_html_1bfc1af9.gif + 2hello_html_1bfc1af9.gifn, x = hello_html_m1d64ff6f.gif

Ответ: x = - hello_html_7ecdcca8.gif + hello_html_7660e241.gif, x = hello_html_m1d64ff6f.gif

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА



ВАРИАНТ 1


Решить уравнения:


  1. 2cos2x + 3 sin x = 0

  2. sin x + cos x = 0

  3. 2 sin x cos x + sin x = 0




ВАРИАНТ 1


Решить уравнения:


  1. 2cos2 x + 3 sin x = 0

  2. sin x + cos x = 0

  3. 2 sin x cos x + sin x = 0





ВАРИАНТ 2

Решить уравнения:


  1. 2 cos2 x = 3 sin x

  2. 3 sin x + 4 sin (hello_html_m3ea3a2d4.gif + x ) = 0

  3. hello_html_774d1622.gifcos x + sin 2x = 0






ВАРИАНТ 2

Решить уравнения:


  1. 2 cos2 x = 3 sin x

  2. 3 sin x + 4 sin (hello_html_m3ea3a2d4.gif + x ) = 0

  3. hello_html_774d1622.gifcos x + sin 2x = 0





ВАРИАНТ 3


Решить уравнения:


  1. 2 sin2 x – 5 = - 5 cos x

2. 7 sin2 x = 8 sin x cos x – cos2 x

3. 2 sin x cos x = cos x






ВАРИАНТ 3


Решить уравнения:


  1. 2 sin2 x – 5 = - 5 cos x

  2. 7 sin2 x = 8 sin x cos x – cos2 x

  3. 2 sin x cos x = cos x






Самостоятельную работу выполняют на листочках, в листах ответов записывают результат.

Проверка самостоятельной работы (по плакату).


РЕФЛЕКСИЯ:

Среди уравнений, данных на плакате выбрать те, которые решаются

а) приведением к квадратному (ответ: № 3, 4, 8)

б) как однородные (ответ: № 1, 5, 9)

в) с помощью формул суммы и разности (ответ: № 6, 7)

г) вынесением множителя за скобки (2, 10)

д) с помощью универсальной подстановки (ответ: № 11)


      1. 2 sin2 x + cos2 x = 5 sin x cos x

      2. Sin 2x – cos x = 0

      3. Sin2 x - hello_html_m5a24acab.gif sin 2x = cos2 x

      4. Sin2 x – 2 sin x – 3 = 0

      5. hello_html_m62632d12.gifcos x – sin x = 0

      6. Sin x + sin 3x = sin 5x – sin x

      7. Sin x – sin 2x + sin 3x – sin 4x = 0

      8. 2 cos2 x + 3 sin2 x + 2 cos x = 0

      9. Cos2 x + 3 sin2 x + 2 hello_html_774d1622.gif sin x cos x = 3

10) hello_html_m62632d12.gif sin x = cos x sin x

11) sin x + cos x = 1


Ф.И.

вариант

1.

1)


2)


П.

1)


2)


Ш.

1)


2)





ЛИСТ ОТВЕТОВ

Ф.И.

Вариант

1.


2.


3.




Разработала учитель математики средней школы № 6 г.Павлодара

Смагулова Шолпан Жазкеновна

Краткое описание документа:

       Цель урока:

       Образовательная: 1. Закрепить навык решения простейших тригонометрических

                                             уравнений;

                                        2. Рассмотреть различные виды тригонометрических

                                            уравнений;

                                        3. Способствовать  развитию навыков самостоятельного

                                             применения знаний при решении тригонометрических

                                             уравнений.                                   

       Развивающая:       1. Работать над развитием понятийного аппарата;

                                         2. Развивать навыки самоконтроля.

       Воспитательная:   1. Воспитывать ответственное отношение к труду;

                                         2. Воспитывать волю и настойчивость для достижения

                                             конечных   результатов.

      Тип урока:   применение знаний.                     

ПЛАН УРОКА:

 

  1. Организационный момент.
  2. Объяснение цели урока.
  3. Устная работа.
  4. Работа по технологическим картам (с проверкой ответов и решений)
  5. Объяснение  других способов  решения тригонометрических уравнений.
  6. Дифференцированная  самостоятельная работа (с самопроверкой).
  7. Подведение итогов урока, выставление оценок.
  8. Получение  домашнего  задания.
  9. Рефлексия.
Общая информация

Номер материала: 183582

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Оставьте свой комментарий
Для того чтобы задавать вопросы нужно авторизироватся.
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.