Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Опубликуйте свой материал в официальном Печатном сборнике методических разработок проекта «Инфоурок»

(с присвоением ISBN)

Выберите любой материал на Вашем учительском сайте или загрузите новый

Оформите заявку на публикацию в сборник(займет не более 3 минут)

+

Получите свой экземпляр сборника и свидетельство о публикации в нем

Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок по теме "Решение тригонометрических уравнений"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Урок по теме "Решение тригонометрических уравнений"

библиотека
материалов


УРОК

«РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ»

Цель урока:

Образовательная: 1. Закрепить навык решения простейших тригонометрических

уравнений;

2. Рассмотреть различные виды тригонометрических

уравнений;

3. Способствовать развитию навыков самостоятельного

применения знаний при решении тригонометрических

уравнений.

Развивающая: 1. Работать над развитием понятийного аппарата;

2. Развивать навыки самоконтроля.

Воспитательная: 1. Воспитывать ответственное отношение к труду;

2. Воспитывать волю и настойчивость для достижения

конечных результатов.

Тип урока: применение знаний.

ПЛАН УРОКА:

  1. Организационный момент.

  2. Объяснение цели урока.

  3. Устная работа.

  4. Работа по технологическим картам (с проверкой ответов и решений)

  5. Объяснение других способов решения тригонометрических уравнений.

  6. Дифференцированная самостоятельная работа (с самопроверкой).

  7. Подведение итогов урока, выставление оценок.

  8. Получение домашнего задания.

  9. Рефлексия.

ХОД УРОКА:

  1. Организационный момент.

  2. Объяснение цели урока.

  3. Устный счет.

В следующих формулах найти ошибки –


1. sin2x + cos2x = 1

2. tg x = hello_html_m6b9f4fa.gif [ hello_html_4a79a0a6.gif]

3. sin 2x = sin x cos x [ 2sin x cos x]

4. cos 2x = cos2 x + sin2 x [cos2 x - sin2 x ]

5. sin x = a , a = (-1)n arcsin a + hello_html_1bfc1af9.gifn [x = (-1)n arcsin a + hello_html_1bfc1af9.gifn ]

6. cos x = a, x = hello_html_m78531b32.gif arccos a + hello_html_1bfc1af9.gifn, [x = hello_html_m78531b32.gif arccos a + 2hello_html_1bfc1af9.gifn ]

7. tg x = a, a = arctg a + 2hello_html_1bfc1af9.gifn, [ x = arctg a + hello_html_1bfc1af9.gifn ]

  1. Работа по технологическим картам.

Прочитать текст, разобрать приведенный пример, записать в тетрадь. Выполнить первое задание своего варианта. Второе задание варианта выполняют только после того, как будет выполнено первое задание из каждого пункта.




ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА


  1. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ, ПРИВОДИМЫХ К КВАДРАТНОМУ.


1) Заметим, что если тригонометрическое уравнение целого вида содержит только синусы или косинусы (синусы и косинусы), то область допустимых значений переменной – множество действительных чисел, так как эти функции определены для любого действительного значения. Область допустимых значений для уравнений вида

a sin2f(x) + b sin f(x) + c = 0 или a cos2f(x) + b sin f(x) + c = 0 не устанавливается.

2) Справедливы соотношения:

а) sin 2 hello_html_2e28ff68.gif= 1 – cos2 hello_html_2e28ff68.gif (1)

б) cos2 hello_html_2e28ff68.gif = 1 – sin2 hello_html_2e28ff68.gif (2)

3) Формулы корней уравнений:

а) sin x = a, x = (-1)n arcsin a + hello_html_1bfc1af9.gifn, n hello_html_m12b0ef1f.gif (3)

б) cos x = a, x = hello_html_m78531b32.gif arcos a + 2hello_html_1bfc1af9.gifn, n hello_html_m12b0ef1f.gif (4)

в) ax2 + bx + c = 0, x =hello_html_m1ed40670.gif (5)


ОБРАЗЕЦ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ:


8 sin2x – 6 sin x – 5 = 0

Обозначим sin x = у, тогда данное уравнение можно записать в виде

8 у2 – 6у – 5 = 0

D = b2 – 4ac= (-6)2 – 4hello_html_m3c62c67f.gif 8hello_html_m3c62c67f.gif(-5)= 36 + 160 = 196

у1 = hello_html_m1278bef1.gif

у2 = hello_html_1ed5332c.gif.

Значит sin x = -hello_html_m3907a0ac.gif или sin x = hello_html_m341de10.gif - уравнение не

имеет корней, так как sin х

x= (-1)n+1hello_html_m576e20f6.gif + hello_html_1bfc1af9.gifn, n hello_html_m12b0ef1f.gif не может быть больше единицы.

Ответ: x= (-1)n+1hello_html_m576e20f6.gif + hello_html_1bfc1af9.gifn, n hello_html_m12b0ef1f.gif

РЕШИТЬ УРАВНЕНИЯ:


1 вариант: 1) sin2x – 2 sin x – 3 = 0

2) 2 cos2x + 3 sin2 x + 2 cosx = 0


2 вариант: 1) cos2x - 2 cos x – 3 = 0

2) 2 sin2 x + 3 cos2x + 2sin x = 0







П. РЕШЕНИЕ ОДНОРОДНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ:


1) Справедливы соотношения:

a) tghello_html_2e28ff68.gif ctghello_html_2e28ff68.gif =1; б) tg hello_html_2e28ff68.gif = hello_html_5a56be91.gif; в) ctg hello_html_2e28ff68.gif = hello_html_m7c35165b.gif ;

г) 1 + tg2hello_html_2e28ff68.gif = hello_html_10660f6a.gif ; д) 1 + ctg2hello_html_2e28ff68.gif = hello_html_37070523.gif

2) Уравнение вида a tg x + b ctg x + c = 0 приводится к квадратному уравнению одной

тригонометрической функции путем замены ctg x = hello_html_7e32bd0d.gif.

  1. Уравнение вида a sin x + b cos x = 0 (a hello_html_3750bfcb.gif0, b hello_html_3750bfcb.gif 0) называется однородным первой степени

относительно sin x и cos x. Оно решается делением обеих частей на cos x hello_html_3750bfcb.gif 0. В результате

получается уравнение вида a tg x + b = 0.

4) Уравнение вида a sin2f(x) + b sin f(x) cos f(x) + k cos2f(x) = 0 называется однородным

Уравнением второй степени относительно sin f(x) и cos f(x), если все три

коэффициента а, b, k или какие-либо два из них hello_html_3750bfcb.gif0.

Разделим обе части уравнения на cos2f(x) hello_html_3750bfcb.gif0. Получим

а tg2f(x) + b tg f(x) + k = 0, которое решается заменой переменной.


ОБРАЗЕЦ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ:


sin x + hello_html_774d1622.gif cos x = 0.

Разделим каждое слагаемое на cos x.

hello_html_m79e960c.gif

hello_html_m616f2420.gif

hello_html_m53d4ecad.giftg x + hello_html_774d1622.gif = 0

tg x = - hello_html_774d1622.gif

x = -hello_html_m2f245c67.gif + hello_html_1bfc1af9.gifn, n hello_html_m12b0ef1f.gif.

Ответ: x = -hello_html_m2f245c67.gif + hello_html_1bfc1af9.gifn, n hello_html_m12b0ef1f.gif.



РЕШИТЬ УРАВНЕНИЯ:


1 ВАРИАНТ 1) 2sin x – 3 cos x = 0

2) sin x - hello_html_774d1622.gifcos x = 0


2 ВАРИАНТ 1) hello_html_774d1622.gifsin x + cos x = 0

2) 2 cos2 x + 2 sin x = 2.5













Ш. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ РАЗЛОЖЕНИЯ НА

МНОЖИТЕЛИ.



ОБРАЗЕЦ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ:


hello_html_774d1622.gif cos x = sinx cos x


hello_html_774d1622.gif cos x - sinx cos x = 0


Вынесем за скобки cos x


cos x (hello_html_774d1622.gif - sinx) = 0


cos x = 0 или hello_html_774d1622.gif - sin x = 0

х = hello_html_m3ea3a2d4.gif + hello_html_1bfc1af9.gifn, n hello_html_m12b0ef1f.gif sinx = hello_html_774d1622.gif, hello_html_774d1622.gif hello_html_m3132e3c.gif 1,7

решений нет

Ответ: х = hello_html_m3ea3a2d4.gif + hello_html_1bfc1af9.gifn, n hello_html_m12b0ef1f.gif.


РЕШИТЬ УРАВНЕНИЯ:


1 ВАРИАНТ 1) hello_html_m62632d12.gifsin x = cos x sin x


2) sin 2x = hello_html_m62632d12.gifcos x



2 ВАРИАНТ 1) sin 2x = hello_html_m62632d12.gifsin x


2) sin 2x – cos x = 0
















Результаты работы по технологическим картам учащиеся записывают на листочках, которые сдают учителю. Проверку производят по тетрадям, выполняя некоторые, где было сделано много ошибок на доске. Оценки ставят себе сами (выполнено 6 заданий – «5», выполнено 4 -5 заданий – «4», выполнено 3 задания «3»).

1. Рассмотрим однородные тригонометрические уравнения:

3 sin2x – 4 sin x cos x + cos2x = 0

Разделим обе части уравнения на cos2x.

3 tg2x – 4 tg x + 1 = 0

Мы получили тригонометрическое уравнения, приводимое к квадратному.

Заменим tg x = y

3y2 – 4 y + 1 = 0 tg x = 1, x = hello_html_1e11b5f9.gif

D = 4, y1 = 1, y2 = hello_html_m233bf45f.gif tg x = hello_html_m233bf45f.gif, x = arctg hello_html_m233bf45f.gif + hello_html_m78ca7e91.gif

ответ: x = hello_html_1e11b5f9.gif, x = arctg hello_html_m233bf45f.gif + hello_html_m78ca7e91.gif

2.Решим уравнение, применяя универсальную подстановку:

Sin 2x + 2 cos 2x = 1

Делаем замену: sin 2x = hello_html_mc34f3ee.gif , cos 2x = hello_html_76113759.gif

hello_html_mc34f3ee.gif + 2 hello_html_76113759.gif = 1. Pазделим обе части на 1 + tg2x

2 tg x + 2 – 2 tg2x = 1 + tg2x

3 tg2 x – 2 tg x – 1 = 0, tg x = y tg x = 1, x = hello_html_1e11b5f9.gif

3y2 – 2y – 1 = 0 tg x = - hello_html_m233bf45f.gif, x = - arctg hello_html_m233bf45f.gif + hello_html_m78ca7e91.gif

D = 16, y1 = 1, y2 = - hello_html_m233bf45f.gifОтвет: x = hello_html_1e11b5f9.gif, x = - arctg hello_html_m233bf45f.gif + hello_html_m78ca7e91.gif

3.Решение тригонометрических уравнений с помощью формул сложения, формул суммы и разности синусов (косинусов):

2 sin 11x + hello_html_774d1622.gif sin 5x + cos 5x = 0.

Разделим левую и правую части этого уравнения на 2, получим

sin 11x + hello_html_m33610a6a.gif sin 5x + hello_html_m3907a0ac.gif cos 5x = 0

так как hello_html_m33610a6a.gif = cos hello_html_m576e20f6.gif, a hello_html_m3907a0ac.gif = sin hello_html_m576e20f6.gif, то это уравнение имеет вид:

sin 11x + cos hello_html_m576e20f6.gif sin 5x + sin hello_html_m576e20f6.gif cos 5x = 0

sin 11x + sin (5x + hello_html_m576e20f6.gif) = 0; 2 sin hello_html_5eb4246d.gif = 0

sin hello_html_m26e03d36.gif = 0, hello_html_m26e03d36.gif = hello_html_1bfc1af9.gifn, 16x + hello_html_m576e20f6.gif = 2hello_html_1bfc1af9.gifn, x = - hello_html_7ecdcca8.gif + hello_html_7660e241.gif

cos hello_html_m6d01d546.gif = 0, hello_html_m6d01d546.gif = hello_html_m3ea3a2d4.gif + hello_html_1bfc1af9.gifn, 6x - hello_html_m576e20f6.gif = hello_html_1bfc1af9.gif + 2hello_html_1bfc1af9.gifn, x = hello_html_m1d64ff6f.gif

Ответ: x = - hello_html_7ecdcca8.gif + hello_html_7660e241.gif, x = hello_html_m1d64ff6f.gif

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА



ВАРИАНТ 1


Решить уравнения:


  1. 2cos2x + 3 sin x = 0

  2. sin x + cos x = 0

  3. 2 sin x cos x + sin x = 0




ВАРИАНТ 1


Решить уравнения:


  1. 2cos2 x + 3 sin x = 0

  2. sin x + cos x = 0

  3. 2 sin x cos x + sin x = 0





ВАРИАНТ 2

Решить уравнения:


  1. 2 cos2 x = 3 sin x

  2. 3 sin x + 4 sin (hello_html_m3ea3a2d4.gif + x ) = 0

  3. hello_html_774d1622.gifcos x + sin 2x = 0






ВАРИАНТ 2

Решить уравнения:


  1. 2 cos2 x = 3 sin x

  2. 3 sin x + 4 sin (hello_html_m3ea3a2d4.gif + x ) = 0

  3. hello_html_774d1622.gifcos x + sin 2x = 0





ВАРИАНТ 3


Решить уравнения:


  1. 2 sin2 x – 5 = - 5 cos x

2. 7 sin2 x = 8 sin x cos x – cos2 x

3. 2 sin x cos x = cos x






ВАРИАНТ 3


Решить уравнения:


  1. 2 sin2 x – 5 = - 5 cos x

  2. 7 sin2 x = 8 sin x cos x – cos2 x

  3. 2 sin x cos x = cos x






Самостоятельную работу выполняют на листочках, в листах ответов записывают результат.

Проверка самостоятельной работы (по плакату).


РЕФЛЕКСИЯ:

Среди уравнений, данных на плакате выбрать те, которые решаются

а) приведением к квадратному (ответ: № 3, 4, 8)

б) как однородные (ответ: № 1, 5, 9)

в) с помощью формул суммы и разности (ответ: № 6, 7)

г) вынесением множителя за скобки (2, 10)

д) с помощью универсальной подстановки (ответ: № 11)


      1. 2 sin2 x + cos2 x = 5 sin x cos x

      2. Sin 2x – cos x = 0

      3. Sin2 x - hello_html_m5a24acab.gif sin 2x = cos2 x

      4. Sin2 x – 2 sin x – 3 = 0

      5. hello_html_m62632d12.gifcos x – sin x = 0

      6. Sin x + sin 3x = sin 5x – sin x

      7. Sin x – sin 2x + sin 3x – sin 4x = 0

      8. 2 cos2 x + 3 sin2 x + 2 cos x = 0

      9. Cos2 x + 3 sin2 x + 2 hello_html_774d1622.gif sin x cos x = 3

10) hello_html_m62632d12.gif sin x = cos x sin x

11) sin x + cos x = 1


Ф.И.

вариант

1.

1)


2)


П.

1)


2)


Ш.

1)


2)





ЛИСТ ОТВЕТОВ

Ф.И.

Вариант

1.


2.


3.




Разработала учитель математики средней школы № 6 г.Павлодара

Смагулова Шолпан Жазкеновна

Краткое описание документа:

       Цель урока:

       Образовательная: 1. Закрепить навык решения простейших тригонометрических

                                             уравнений;

                                        2. Рассмотреть различные виды тригонометрических

                                            уравнений;

                                        3. Способствовать  развитию навыков самостоятельного

                                             применения знаний при решении тригонометрических

                                             уравнений.                                   

       Развивающая:       1. Работать над развитием понятийного аппарата;

                                         2. Развивать навыки самоконтроля.

       Воспитательная:   1. Воспитывать ответственное отношение к труду;

                                         2. Воспитывать волю и настойчивость для достижения

                                             конечных   результатов.

      Тип урока:   применение знаний.                     

ПЛАН УРОКА:

 

  1. Организационный момент.
  2. Объяснение цели урока.
  3. Устная работа.
  4. Работа по технологическим картам (с проверкой ответов и решений)
  5. Объяснение  других способов  решения тригонометрических уравнений.
  6. Дифференцированная  самостоятельная работа (с самопроверкой).
  7. Подведение итогов урока, выставление оценок.
  8. Получение  домашнего  задания.
  9. Рефлексия.
Автор
Дата добавления 11.12.2014
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров728
Номер материала 183582
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх