Урок "Простейшие тригонометрические уравнения"

Скачать материал

План урока

преподавателя – Мачалиной Натальи Ивановны.

по учебной дисциплине – математика.

Дата проведения занятия: 15 декабря 2014 г.

Группа: № 93.

Время, отведенное на занятие: 90 минут.

Тема урока: простейшие тригонометрические уравнения.

Тип урока: изучения и первичного закрепления новых знаний.

Форма обучения: классно-урочная.

Форма деятельности: фронтальная и индивидуальная.

Цель урока: формирование знаний и умений в решение простейших тригонометрических уравнений. Задачи урока:

1. Образовательные:

- дать формулы решения простейших тригонометрических уравнений;

- рассмотреть частные случаи решения тригонометрических уравнений;

- рассмотреть примеры решений тригонометрических уравнений;

- сформировать знания и умения в решение простейших тригонометрических уравнений.

2. Развивающие:

- способствовать развитию умений анализировать, устанавливать связи, причины и следствия;

- предвидеть возможные ошибки и способы их устранения;

- способствовать повышению концентрации внимания, развитию памяти и речи.

3. Воспитательные:

- способствовать развитию интереса к предмету «Математика»;

- способствовать развитию самостоятельности мышления;

- способствовать формированию нравственных качеств личности (уверенность в себе, целеустремленность).

Методы обучения: словесные методы (рассказ, объяснение); наглядные методы (демонстрация, ТСО); практические методы. Оборудование: компьютер, проектор, раздаточный материал.

Дидактическая структура урока	Содержание	Методическая структура урока			Признаки решения дидактических задач
Дидактическая структура урока	Содержание	Методы обучения	Форма деятельности	Средства обучения	Признаки решения дидактических задач
Организационный момент	- приветствие; - определение цели и задач урока.	словесные методы	фронтальная		Обучающиеся готовы к занятию
Актуализация знаний	Вопросы к группе: - какие обратные тригонометрические функции вы знаете? - найдите значения выражений: arctg ,  3  arccos , arcctg^_ _ _2 _   2  и arcsin_ ₂_. 	словесные методы (рассказ, объяснение); наглядные методы (демонстрация, ТСО)	фронтальная	компьютер, проектор, слайды с вопросами	Обучающиеся отвечают на вопросы
Сообщение нового материала	Дать формулы решения простейших тригонометрических уравнений. Показать частные случаи решения простейших тригонометрических уравнений.	словесные методы (рассказ, объяснение); наглядные методы (демонстрация, ТСО); практические методы.	фронтальная и индивидуальная	компьютер, проектор, слайды с формулами	Обучающиеся: - воспринимают материал; - находят решения простейших тригонометрических уравнений; - сравнивая решения с формулами, самостоятельно обнаруживают ошибки и

					корректируют решение.
Закрепление изученного материала	Самостоятельная работа обучающихся по теме урока	словесные методы (рассказ, объяснение); наглядные методы (демонстрация, ТСО); практические методы.	индивидуальная	раздаточный материал	Обучающиеся выполняют самостоятельную работу
Подведение итогов, рефлексия	Педагог анализирует и оценивает успешность выполнения поставленных задач. Педагог просит обучающихся оценить урок с помощью карточек трѐх цветов: «красная» - «отлично», «зелѐная» - «хорошо», «синяя» - «удовлетворительно».	словесные методы	фронтальная, индивидуальная	карточки трѐх цветов	Обучающиеся оценивают урок
Домашнее задание	Выполнить дома следующие задания: - выучить формулы решения простейших тригонометрических уравнений; - выучить частные случаи решения простейших тригонометрических уравнений. - решить уравнения: 1. 2sin 2x   1.  3 4 	словесные методы (рассказ, объяснение); наглядные методы (демонстрация, ТСО).	фронтальная	компьютер, проектор, слайды с заданиями	Обучающиеся записывают домашнее задание
	2. cos^_^3x^_1.  9  3. tg x   1 .  3 3  3 4. ctg^_^_6x^_ 0.  4  5. 3tgx  3.  4  6. sin^_^ 3x^_ 1.  6  7. cos x 1.  3 4 

План - конспект

Простейшие тригонометрические уравнения.

Уравнения f x a , где a- данное число, а f x- одна из основных тригонометрических функций, называют простейшим тригонометрическим уравнением.

1. Уравнение sinx  a.

Данное уравнение имеет решение только при a1;1. Формула корней уравнения sinx  a имеет вид:

x  1ⁿarcsina n, где n_Z. (1)

2. Уравнение cosx  a.

Данное уравнение имеет решение только при a1;1.

Формула корней уравнения cosx  a имеет вид:

x _arccosa _2_n, где n_Z. (2)

3. Уравнение tgx  a. Данное уравнение имеет решение при любом a.

Формула корней уравнения tgx  a имеет вид:

x _arctga__n , где n_Z. (3)

4. Уравнение ctgx  a.

Данное уравнение имеет решение при любом a.

Формула корней уравнения ctgx  a имеет вид:

x _arcctga__n, где n_Z. (4)

Упражнения с решениями.

Пример 1. Решите уравнения:

а) sin x ; б) sinx ; в) sinx 3 .

Решение: а) Решим уравнение sin x .

По формуле (1) x  1ⁿarcsinn,n_Z.

1 ^

Так как arcsin  , то ответ имеет вид:

2 6

x __1ⁿ^_n,n_Z.

б) Решим уравнение sinx .

По формуле (1)

x 1ⁿarcsin^_ ₂²^_n,n_Z.

_

2 ^

Так как arcsin  , то

2 4

x __1ⁿ^_^^_n,n_Z.

 4 

Так как 1ⁿ^_^^_ 1ⁿ1^ 1ⁿ^¹^ , то ответ имеет вид:

 4  4 4 x __1ⁿ^¹^_n,n_Z.

в) Решим уравнение: sinx 3. Так как 3 1,7 и 1,7>1, то 3 1;1. Значит, уравнение sinx 3 не имеет решения.

Пример 2. Решите уравнения:

а) cosx ; б) cosx ; в) cosx  2.

Решение. а) Решим уравнение cosx .

По формуле (2) x arccos^_ ¹^_ 2n,nZ.

 2

Согласно формуле (2) имеем: x arccos ² 2n,nZ.

2 ^

Так как arccos  , то

2 4

x _^_2_n,n_Z.

б) Решим уравнение cosx .

Так как arccos^_ ¹^_ ²^, то

 2 3

x _²^_2_n,n_Z.

в) Решим уравнение cosx  2. Так как 2>1, то уравнение cosx  2 не имеет решения.

Пример 3. Решить уравнения:

а) tgx  3; б) tgx 1; в) tgx  3.

Решение: а) Решим уравнение tgx  3.

По формуле (3)

x  arctg 3 n,nZ.

Так как arctg 3 ^, то 3

x _^__n,n_Z.

б) Решим уравнение tgx 1.

По формуле (3)

x  arctg(1) n,nZ.

Так как arctg(1) ^ , то

x _^__n,n_Z.

в) Решим уравнение tgx  3.

По формуле (3)

x  arctg3n,nZ.

Пример 4. Решить уравнения:

а) ctgx 1; б) ctgx ; в) ctgx  4 .

Решение: а) Решим уравнение ctgx 1.

По формуле (4)

x  arcctg1n,nZ.

Так как arcctg1^ , то 4

x _^__n,n_Z.

б) Решим уравнение ctgx .

По формуле (4)

x  ^arcctg^_ ¹3 ^_n,nZ.

Так как arcctg 13  23, то

x _²^__n,n_Z.

в) Решим уравнение ctgx  4 . По формуле (4)

x  arcctg4 n,nZ.

Частные случаи.

В частных случаях при a 1,a  0,a 1 получаются следующие формулы:

1) sinx  0. 5) cosx 1. xn,n_Z. x  2n,nZ. 2) sinx 1. 6) cosx 1.

x _^_2_n,n_Z.x  2n,n^Z.

3) sinx 1. 7) tgx  0.

x  2n,nZ. xn,nZ.

4) cosx  0. 8) ctgx  0.

x ^n,nZ. x _^_n,nZ.

2 2

Уравнения вида

sinx a, cosx a, tgx b, ctgx b, где  0 , 1 a 1, _ и b - любые действительные числа, так же относятся к простейшим тригонометрическим уравнениям. Их следует решать по тем же формулам, заменив x на x b.

Упражнения с решениями.

Пример 5. Решить уравнения:

а) 2sin x  2 ; б) sin 2x 1 .

 3 4   8  2

Решение. а) Решим уравнение 2sin^_^x^^_ 2 .

 3 4 

Разделим данное уравнение на 2, получим:

sin x  2 .

 3 4  2

По формуле (1)

x  1n arcsin 2 n,nZ.

3 4 2

2 ^

Так как arcsin  , то

2 4

x  1n n,nZ.

3 4 4 x  1n n,nZ.

3 4 4

Умножим обе части равенства на 3 и запишем ответ:

x  1ⁿ³^_³^_3n,nZ.

4 4

б) Решим уравнение sin^_^ 2x^_ ¹.

 8  2

Так как синус нечѐтная функция, то

sin2x  1 .

 8  2

По формуле (1)

2x ^  1ⁿarcsin^_ ¹^_n,nZ.

8  2

Так как arcsin^_ ¹^_^, то

 2 6

2x ^  1ⁿ^_^^_n,nZ.

8  6 

2x ^ 1ⁿ^¹^n,nZ.

8 6

2x  1ⁿ^¹^^n,nZ.

6 8

Разделим обе части равенства на 2 и запишем ответ:

x  1ⁿ^¹^^n,nZ.

12 16

Пример 6. Решить уравнения:

а) cos3x 1; б) cos x 3 .

 2 3   4 3 2

Решение. а) Решим уравнение cos^_^3x^^_1.

 2 3 

По формуле (10)

3x 

  2n,nZ.

2 3

3x 

  2n,nZ.

2 3

3x 2   2n,nZ.

2 3

Умножим обе части равенства на и запишем ответ.

x  4 4n,nZ.

9 3

б) Решим уравнение cos^_^ ^x^_ ³.

 4 3 2

Косинус чѐтная функция. Значит

cos x  3 .

 3 4  2

По формуле (2)

x  3

 arccos 2n,nZ.

3 4 2

Так как arccos ³^, имеем

2 6

x  

   2n,nZ.

3 4 6

x  

   2n,nZ.

3 6 4

Умножим обе части равенства на 3 и запишем ответ:

x _^_3^_6n,nZ.

2 4

Пример 7. Решить уравнения:

а) 3tg^_2x ^^_ 3; б) tg^_^ ^x^_1.

 4   3 6

Решение. а) Решим уравнение 3tg^2x ^^ 3.

 4 

Данное уравнение разделим на 3.

tg2x  3 .

 4  3

tg2x  1 .

 4  3

По формуле (3):

2x ^ arctg ¹n,nZ.

4 3

1 ^

Так как arctg  , то

3 6

2x ^^n,nZ.

4 6

2x ^^n,nZ.

6 4

2x ^n,nZ.

12 Разделим полученное равенство на 2 и запишем ответ.

x _^_^ò ,nZ.

24 2

б) Решим уравнение tg^_^ ^x^_1.

 3 6

Функция тангенс нечѐтная. Поэтому:

tg x 1.

 6 3 

По формуле (3):

x 

  arctg1n,nZ.

6 3

Так как arctg1^ , то 4

x  

-  n,nZ.

6 3 4

x  

  n,nZ.

6 4 3 x 

 n,nZ.

6 12

Умножим полученное равенство на 6 и запишем ответ.

x ^ 6n,nZ.

Пример 8. Решить уравнения:

а) ctg^_3x ^^_ 0; б) ctg^_^ ^x^_1.

 4   8 2

Решение. а) Решим уравнение ctg^_3x ^^_ 0.

 4 

По формуле (12)

3x ^^n.nZ.

4 2

3x ^^n.nZ.

2 4

3x ^n.nZ.

4 Разделим полученное равенство на 3 и запишем ответ.

x ò .nZ.

12 3

б) Решим уравнение ctg^_^ ^x^_1.

 8 2

Функция котангенс нечѐтная. Поэтому:

ctg x 1.

 2 8 

По формуле (4):

x 

  arcctg1n,nZ.

2 8

3^

Так как arcctg1 , то 4

x  3

-  n,nZ.

2 8 4 x 3 

  n,nZ.

2 4 8 x 7

 n,nZ.

2 8

Умножим обе части равенства на 2 и запишем ответ.

7^

x   2n,nZ.

Самостоятельная работа

Вариант №1.

Решить уравнения (1-8).

1. sin3x _0; 5. sin^_^_^x^_²;

10 5  2

2. _cos^x_1; 6. cos^_^x_^^_1;

4  4 6 

3.tg4x _0; 7.ctgx _3 ;

4._ctg^5x_0; 8. tg^_^2x_^^_3.

6  3 9 

Вариант №2.

1. sin x _³; 5. sin^_^_5x^_1;

2  7 

2. _cos^x_0; 6. cos^_3x _^^_0;

2  6 

3.tg8x _0; 7. tg^_³^_^5x^_0;

 4 4 

4._ctg^3x_0; 8. ctg_^^7x_^^_¹.

2  3 7  3

Скачать материал

Скачать материал "Урок "Простейшие тригонометрические уравнения""

Как учитель может зарабатывать на Инфоуроке?

Краткое описание документа:

Тема урока: простейшие тригонометрические уравнения.

Тип урока: изучения и первичного закрепления новых знаний.

Форма обучения: классно-урочная.

Форма деятельности: фронтальная и индивидуальная.

Цель урока: формирование знаний и умений в решение простейших тригонометрических уравнений.

Задачи урока:

1. Образовательные:

- дать формулы решения простейших тригонометрических уравнений;

- рассмотреть частные случаи решения тригонометрических уравнений;

-рассмотреть примеры решений тригонометрических уравнений;

- сформировать знания и умения в решение простейших тригонометрических уравнений.

2. Развивающие:

- способствовать развитию умений анализировать, устанавливать связи, причины и следствия;

- предвидеть возможные ошибки и способы их устранения;

- способствовать повышению концентрации внимания, развитию памяти и речи.

3. Воспитательные:

- способствовать развитию интереса к предмету «Математика»;

- способствовать развитию самостоятельности мышления;

- способствовать формированию нравственных качеств личности (уверенность в себе, целеустремленность).

Методы обучения: словесные методы (рассказ, объяснение); наглядные методы (демонстрация, ТСО); практические методы.

Оборудование: компьютер, проектор, раздаточный материал.

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 656 277 материалов в базе

Найти материалы

Скачать материал

Другие материалы

pdf

Урок "Тригонометрические функции, их свойства и графики"

07.03.2015
888
6

docx

Урок алгебры в 8 классе

07.03.2015
1705
155

pptx

Презентация на тему "Схема Горнера и ее применение"

07.03.2015
2568
42

pdf

Урок "Обратные тригонометрические функции"

07.03.2015
765
1

docx

Рабочая программа по математике 6 класс

07.03.2015
643
0

rar

Урок математики в 5 классе"Сложение и вычитание смешанных чисел"

07.03.2015
1633
1

docx

Задание для учащихся на тему "Вычитание дробей"

07.03.2015
585
0

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Скачать материал
- 07.03.2015 513
- PDF 0 байт
- Оцените материал:
Настоящий материал опубликован пользователем Пчелинцев Вячеслав Иванович. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Автор материала

Пчелинцев Вячеслав Иванович
- На сайте: 4 года
- Подписчики: 0
- Всего просмотров: 6044
- Всего материалов: 8